一道數學創新壓軸題的思路探析

◇ 北京 龔浩生(特級教師)

北京高考壓軸大題一直以創新的問題情境設計、沒有常規解題套路、需要靈活的研究探索能力、需要較強的閱讀理解和符號語言表達要求等為鮮明特色,能起到考查學生創新思維能力、區分拔尖學生的作用.2020年朝陽區二模數學試題第21題就是這樣一種題型,很多學生對第(3)問無從下手,不知怎樣思考.下面我們對該題的解題思路進行探析,期望對同學們有些啟發.

題目設集合A＝{a1,a2,a3,a4},其中a1,a2,a3,a4是正整數,記SA＝a1＋a2＋a3＋a4.對于ai,aj∈A(1≤i＜j≤4),若存在整數k,滿足k(ai＋aj)＝SA,則稱ai＋aj整除SA,設nA是滿足ai＋aj整除SA的數對(i,j)(i＜j)的個數.

(1)若A＝{1,2,4,8},B＝{1,5,7,11},寫出nA,nB的值;

(2)求nA的最大值;

(3)設A中最小的元素為a,求使得nA取到最大值時的所有集合A.

【思路探析】首先理解問題:一個集合A中含有四個正整數,要研究其中的兩個數之和整除四個數之和SA的個數nA.(1)易得nA＝2,nB＝4.

對于(2),要求nA的最大值,即確定所有ai＋aj的值最多有幾個能整除SA,也可以求所有ai＋aj的值最少有幾個不能整除SA.根據整除的概念,若存在整數k,滿足k(ai＋aj)＝SA,則ai＋aj整除SA,那么,若不存在整數k,使k(ai＋aj)＝SA,則ai＋aj不整除SA.這就應該研究所有ai＋aj的大小,不妨設0＜a1＜a2＜a3＜a4.則a1＋a2＜a3＋a4,a1＋a3＜a2＋a4,從而a4＜a3＋a4＜SA,所以a2＋a4,a3＋a4不能整除SA.可見不能整除的最少有兩個,從而nA≤4,再聯系第(1)問說明能取到4,所以nA的最大值為4.

對于(3),給出了集合A的一個最小元素為a,要在nA取到最大值時,求出所有集合A.這要以(2)的結論為基礎,同樣設定0＜a＝a1＜a2＜a3＜a4,則在nA＝4時,有a1＋a2,a1＋a3,a1＋a4,a2＋a3均能整除SA.這時,應注意到a1＋a4＋a2＋a3＝SA,故(a1＋a4)|SA,則(a1＋a4)|(a2＋a3),同樣(a2＋a3)|(a1＋a4),所以a1＋a4＝a2＋a3.

另外,再由a1＋a2,a1＋a3整除SA,得(a1＋a2)|(a3＋a4),(a1＋a3)|(a2＋a4),故存在整數k1,k2,使得a3＋a4＝k1(a1＋a2),a2＋a4＝k2(a1＋a3),由a1＋a2＜a1＋a3＜a2＋a4＜a3＋a4,知k1＞k2≥2.至此,要求得a2,a3,a4,就還要進一步確定k1,k2的值,于是再分別考慮k1,k2的上界.

結合a1＋a4＝a2＋a3,可得k2(a1＋a3)＝a2＋a4＝2a2＋a3－a1＜3a3－a1＜3(a3＋a1),故k2＜3,從而得k2＝2,即a2＋a4＝2(a1＋a3).

由a1＋a4＝a2＋a3與a2＋a4＝2(a1＋a3),可得a3＝2a2－3a1,a4＝3a2－4a1,于是,k1(a1＋a2)＝a4＋a3＝5a2－7a1＜5(a1＋a2),所以3≤k1＜5,即k1＝3或4.當k1＝3時,由解得集合A為{a,5a,7a,11a}.當k1＝4時,由集合A為{a,11a,19a,29a}.

綜上,使得nA取到最大值時的所有集合A為{a,5a,7a,11a}和{a,11a,19a,29a}.

【反思領悟】解決這個問題,首先是要對“整除”的定義理解到位;其次要設定四個數的大小,從而便于對四個數中每兩個數構成的和的大小進行分析,從而判斷整除性.第(3)問要求出集合A,就是要求得其中的三個數用一個已知的最小數表達,所以就要充分利用整除關系導出四個數之間的關系式,其中對后兩個關系式中k1,k2的確定是本題最大的難點,這就要有范圍估算的意識,要能靈活運用大小關系放縮,體現出較強的分析思維能力.

【解法再探】(3)給出了集合中的一個最小元素,可以想到另外三個元素應該用最小元素來表達,以最小元素為參照.設a2＝a＋x,a3＝a＋y,a4＝a＋z,且x,y,z∈N?,x＜y＜z,則SA＝4a＋x＋y＋z.

由(2)可知,當nA取到最大值4時,a1＋a2＝2a＋x,a1＋a3＝2a＋y,a1＋a4＝2a＋z,a2＋a3＝2a＋x＋y均能整除SA.

由(a1＋a4)|SA,可得(a1＋a4)|(a2＋a3),同理(a2＋a3)|(a1＋a4),故a1＋a4＝a2＋a3,即z＝x＋y,所以SA＝4a＋2x＋2y,

又由a1＋a2＝2a＋x整除SA＝4a＋2x＋2y,得(2a＋x)|2y,同理(2a＋y)|2x,故2a＋y≤2x＜2y＜2(2a＋y),從而2a＋y＝2x,y必為偶數,令y＝2t,t∈N?,則x＝a＋t,2a＋x＝3a＋t整除2y＝4t,令4t＝k(3a＋t),易知1＜k＜4,所以k＝2或3,所以t＝3a,或t＝9a.當t＝3a時,x＝4a,y＝6a,A＝{a,5a,7a,11a};當t＝9a時,x＝10a,y＝18a,A＝{a,11a,19a,29a}.

綜上,當nA取到最大值4時,A＝{a,5a,7a,11a}或{a,11a,19a,29a}.

【領悟】把握整除的概念,抓住四個整除關系,用好符號語言表達,充分運用整除的基本性質靈活化解整除關系,這是突破本題難點、解決問題的關鍵.

【自主訓練】以下再給出幾道考題給同學們自主思考練習.

練習1已知數列{an}滿足:a1∈N?,a1≤36,且.記集合M＝{an|n∈N?}.

(1)若a1＝6,寫出集合M的所有元素;

(2)若集合M存在一個元素是3的倍數,證明:M的所有元素都是3的倍數;

(3)求集合M的元素個數的最大值.

練習2已知a1,a2,…,an,…是由正整數組成的無窮數列,對任意n∈N?,an滿足如下兩個條件:①an是n的倍數;②|an－an＋1|≤5.

(1)若a1＝30,a2＝32,寫出滿足條件的所有a3的值;

(2)求證:當n≥11時,an≤5n;

(3)求a1所有可能取值中的最大值.

練習3設正整數數列A:a1,a2,…,aN(N＞3)滿足ai＜aj,其中1≤i＜j≤N.如果存在k∈{2,3,…,N},使得數列A中任意k項的算術平均值均為整數,則稱A為“k階平衡數列”.

(1)判斷數列2,4,6,8,10和數列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數列”;

(2)若N為偶數,證明:數列A:1,2,3,…,N不是“k階平衡數列”,其中k∈{2,3,…,N};

(3)如果aN≤2019,且對于任意k∈{2,3,…,N},數列A均為“k階平衡數列”,求數列A中所有元素之和的最大值.