基于柱坐標系的隧道空間全波場數值模擬與分析

魯光銀，羅帥，朱自強，石克亮，夏成志

基于柱坐標系的隧道空間全波場數值模擬與分析

魯光銀，羅帥，朱自強，石克亮，夏成志

(中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083)

不同于地面地震，隧道空間的特殊結構使得其波場十分復雜，基于實際隧道模型的全波場數值模擬是有效認識隧道空間內波場傳播規律的重要手段。關于這方面的研究以往多是基于直角坐標系，而隧道作為類似空氣柱的特殊地質模型，采用柱坐標系下的全波場數值模擬對認識隧道空間的波場特征更有意義。基于柱坐標系下的一階彈性波速度-應力方程，推導任意偶數階交錯網格差分格式，設計了人工截斷邊界和隧道自由邊界，對巖性分界面、斷層破碎帶、溶洞等隧道典型不良地質模型進行數值模擬與波場特征分析。研究結果表明：基于柱坐標系下的一階彈性波速度-應力方程，采用交錯網格有限差分算法結合FCT技術，可實現隧道空間全波場高精度數值模擬，波場特征符合波的運動學與動力學特征，為隧道空間復雜波場特征的認識和資料解譯提供有效的依據。

超前預報；隧道空間；柱坐標系；全波場；數值模擬

隨著交通運輸的快速發展，越來越多的隧道被建造。然而，隧道作為一項隱蔽性地下工程，在勘察設計階段很難精確的發現不良地質體。在隧道開挖過程中，有可能遇到斷層、溶洞，暗河等不良地質現象，極易誘發突水、涌泥、巖爆等地質災害，進而造成工期延誤，經濟損失，甚至人員傷亡等重大安全事故[1?2]。地震法作為隧道超前預報的主要方法之一，包括TSP，TST，HSP，TRT和陸地聲納法等[3?8]，以其長距離、相對高精度而得以廣泛應用。但是隧道空間內的波場是十分復雜的，接收記錄上往往存在直達波、反射波、面波、縱波、橫波轉換波[9]，這無疑為數據處理與成果解譯增加了難度。基于隧道空間的全波場數值模擬是認識隧道空間內復雜波場傳播規律的基礎，同時也是觀測系統設計，數據采集、處理、解釋的重要依據。近年來有不少學者進行了相關研究，其中絕大部分是基于直角坐標系，魯光銀等[10]采用直接法處理隧道自由邊界條件，并進行了地質界面模型的正演模擬與偏移成像；劉江平，程飛等[9, 11]采用吸收邊界條件處理隧道自由邊界，并進行了不同觀測系統和不同傾角地質界面對波場特征和偏移成像的影響研究；凌飛等[12]基于黏彈性介質并在隧道周圍引入一開挖損傷帶對隧道典型不良地質現象進行了全波場數值模擬；宋杰[13]針對隧道工程建設中可能遇到的典型不良地質體，建立了巖性分界面、斷層以及巖溶體等多個三維地質模型，進行了三維地震波探測正演模擬，分析總結了隧道典型不良地質體三維波場響應和地震成像特征；王京[14]基于二階彈性波位移波動方程采用有限元方法對隧道典型不良地質體進行了數值模擬，并重點探討了有限元方法實現自由邊界條件的處理方法；Jetschny等[15]考慮了隧道空間的影響，利用面波和轉換橫波對隧道前方的地質構造進行預測，并且討論了這2種波的轉換機理；YANG等[16]基于三維彈性波方程交錯網格有限差分算法，實現了煤礦巷道模型的三維槽波勘探數值模擬；Harmankaya等[17]實現了利用隧道掘進過程中產生的噪聲作為震源進行超前探測的數值模擬，并驗證了該方法對散射體的定位能力；LIU等[18]進行了極坐標系下的全波場數值模擬，并處理了復雜的邊界條件；查欣杰等[19]通過構建二維含低速異常的隧道介質模型，研究了隧道彈性波場傳播規律和異常體邊界成像準確性。模擬隧道空間三維波場最經濟的方法是把構造模型包括震源近似為軸對稱模型。而相較于直角坐標系采用柱坐標系進行數值模擬具有以下2點優勢[20]：1) 直角坐標系中的有限差分算法的公式比較簡單, 但是處理軸對稱地質構造需要比較多的計算成本；2) 對于具有軸對稱性的波場問題, 可以轉化為二維問題, 大大簡化計算。論文基于柱坐標系下的一階彈性波速度?應力方程，將隧道與圍巖邊界作自由邊界處理，同時引入柱坐標系下的分裂式完全匹配層，采用時間二階，空間十階的高階交錯網格有限差分法并結合FCT技術，實現了柱坐標系下隧道空間的高精度全波場數值模擬，通過計算巖性分界面、斷層破碎帶、溶洞等復雜地質模型，分析了隧道典型不良地質現象的波場特征，為隧道空間復雜波場特征的認識和資料解譯提供了依據。

1 波動方程及其有限差分離散

考慮到隧道空間的近似軸對稱結構以及三維數值模擬的計算成本，本文將隧道空間作軸對稱處理。對于具有軸對稱的完全彈性介質，介質參數僅是和的函數，三維模型可以簡化為二維。此時柱坐標系下的一階彈性波速度?應力方程為：

式中：為介質密度；和為拉梅常數；v和v分別為軸向(方向)和徑向(方向)的速度；和分別為軸向和徑向的正應力；為切應力。

對上述方程采用交錯網格[21]進行離散，得到任意偶數階差分格式：

2 穩定性條件與邊界條件

正演模擬過程中為保證離散數值計算的穩定性需要設置穩定性條件，與直角坐標系不同, 柱坐標系要求時間步長更小,穩定性條件為[22]：

式中：min為最小波長；min(Δ,Δ)為空間最小網格步長；max為最大波速。

若考慮為深埋隧道，軸對稱柱坐標系下隧道空間全波場數值模擬需要處理2種邊界條件，即計算區域外的人工截斷邊界和隧道自由邊界條件(圖1)。對于人工截斷邊界采用LIU[23]提出的柱坐標系下的分裂式完全匹配層處理；而隧道自由邊界條件則采用橫向各項同性介質替換法處理[24]，即用橫向各向同性介質近似代替自由邊界，直接令自由邊界處的正應力為0，切應力為0的條件則通過對自由邊界上物性參數的設定，在波動方程交錯網格有限差分迭代求解中實現。二維情況下的處理方式為：

式中：τxx和τrr分別為隧道掌子面和側壁的正應力；ρ0，λ0和μ0為自由邊界上的密度和拉梅常數。ρ，λ和μ為彈性介質的密度和拉梅常數。

3 觀測系統與地質模型

為了獲取較好的波場記錄，采用如圖2所示的觀測系統。隧道長70 m，寬10 m，與實際隧道相仿。炮點置于隧道掌子面與右邊墻的交點處，埋深1 m；在隧道左右邊墻各布置了47檢波器，偏移距15 m，道間距0.5 m，埋深1.5 m。

圖2 觀測系統示意圖

為驗證本文算法的正確性，以及分析隧道典型不良地質現象的波場特征設計了如圖3所示的3個地質模型。模型Ⅰ為垂直巖性分界面，界面距掌子面40 m；模型Ⅱ為斷層破碎帶，破碎帶寬10 m，傾角45°；模型Ⅲ為溶洞，溶洞半徑5 m，各模型的彈性參數見表1。

(a) ModelⅠ；(b) ModelⅡ；(c) Model Ⅲ

表1 模型彈性參數表

4 數值模擬結果及分析

針對上述理論模型采用高階差分格式進行數值模擬，其中模型大小為，200 m×200 m，Δ=Δ=0.25 m，Δ=0.025 ms，震源選擇中心頻率為100 Hz的雷克子波。

4.1 巖性分界面模型

如圖4為垂直界面模型徑向分量20，35和50 ms的波場快照。由圖4可知，在=20 ms時，由于沒有遇到巖性分界面，在波場快照中可以看到直達縱波(P波)、直達橫波(S波)、隧道自由表面上產生的面波(R波)；同時可以看到，面波延隧道側壁傳播并在掌子面與側壁交點處轉換為繞射橫波(RS波)[25]，繞射橫波傳至側壁時又重新轉換成面波；在=35 ms時，在巖性分界面處處產生的反射縱波(PP波)和透射縱波(TP波)，以及由P波產生的反射轉換橫波(PS波)以及透射轉換橫波(TPS波)；在=50 ms時SS波出現，但由橫波產生的轉換縱波(SP波)能量較弱，不太明顯。從數值模擬結果可以看出，波場傳播特征符合波的運動學和動力學規律，證明了本文算法的正確性。

圖5為垂直界面模型模擬記錄。由圖5可知，徑向分量中的SS波、PS波能量強于軸向分量，而軸向分量中的PP波能量則強于徑向分量；軸向分量中炮檢同側接收的PP波能量弱于炮檢異側，而徑向分量中炮檢同側接收的PS波、SS波弱炮檢異側；界面一次反射縱波到達掌子面時發生反射，該反射波向前傳至界面處再次反射形成多次反射波(MV波)，當其到達檢波器的時間和界面一次反射波相近時就會與界面一次反射波相互疊加，若該多次反射波能量較強，就會嚴重影響有效波的識別，這在軸向分量的記錄中體現的十分明顯；同時，由單炮記錄可估算出P波和R波的視速度分別約為1 879 m/s和1 000 m/s，而PP波和SS波的旅行時分別約為48.5 ms和83.5 ms這與模型設計相符，進一步證明了數值模擬的正確性。

(a) t=20 ms；(b) t=35 ms；(c) t=50 ms

(a) X分量炮檢同側接收；(b) X分量炮檢異側接收；(c) R分量炮檢同側接收；(d) R分量炮檢異側接收

4.2 斷層破碎帶模型

圖6為斷層破碎帶模型模擬記錄。如圖6所示，與巖性分界面模型相比斷層破碎帶模型仍然具有軸向分量PP波能量較強，徑向分量PS波、SS波能量較強的特征；炮檢同側接收的記錄中頂、底界面的反射縱波(PP1，PP2)能量較強且同相軸較為清晰，可較好的區分破碎帶頂、底界面，但在一定程度上受波場疊加干擾，而炮檢波異側接收記錄波場疊加干擾嚴重，影響了有效波的識別；同時頂、底界面的反射橫波(SS1，SS2)受波場疊加干擾較小，利于頂、底界面的的識別與橫波成像；不同于單反射界面模型，斷層破碎帶模型在其頂底界面均會產生反射及透射，并且在頂底界面之間還會發生多次反射，因此模擬記錄上波場比較復雜。

4.3 溶洞模型

圖7為溶洞模型模擬記錄。如圖7所示，對于上述溶洞作模型，溶洞頂部的反射縱波(PP1)在軸向分量及徑向分量的炮檢同側的接收記錄中有比較清晰的體現，但溶洞底部的反射縱波(PP2)由于受波場疊加影響，對溶洞底部的識別會有一定程度的干擾，徑向分量炮檢異側接收的反射縱波能量十分微弱，在記錄中幾乎無法體現；溶洞頂、底的反射橫波(SS1，SS2)在徑向分量的記錄中有較好的體現，利于橫波成像；由于溶洞內部的低速填充物對地震波能量具有聚集作用[26]，所以溶洞底部的反射波PP2能量較溶洞頂部反射波PP1能量更強；不同于界面反射，溶洞作為局部地質體，產生的繞射波會嚴重干擾有效波的識別。

(a) X分量炮檢同側接收；(b) X分量炮檢異側接收；(c) R分量炮檢同側接收；(d) R分量炮檢異側接收

(a) X分量炮檢同側接收；(b) X分量炮檢異側接收；(c) R分量炮檢同側接收；(d) R分量炮檢異側接收

5 結論

1) 考慮隧道空間的情況下，基于柱坐標系下的一階彈性波速度?應力方程，采用高階交錯網格算法結合FCT技術，實現了柱坐標系下隧道空間典型不良地質模型的高精度全波場數值模擬，系統分析了其傳播機理與波場特征，為隧道空間復雜波場的認識以及數據處理和解譯提供了有效的依據。

2) 巖性分界面模型，當界面傾角為90°時，掌子面及地質界面間的多次反射波對有效波的識別會產生干擾，在數據處理和解譯時應當加以區分。

3) 斷層破碎帶模型，炮檢同側接收的記錄中，頂、底界面的反射縱波能量較強且同相軸較為連續，可較好的區分頂、底界面，但多次波以及波場疊加干擾會影響有效波的識別。

4) 溶洞頂底邊界的反射縱波以及反射橫波在記錄中均有體現，但是溶洞底部反射縱波受波場疊加的影響，會對溶洞頂底邊界的識別造成一定程度的影響，而反射橫波能夠有效的區分溶洞頂底邊界，利于橫波成像。

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Full wave filed numerical simulation and analysis of tunnel space based on cylindrical coordinate system

LU Guangyin, LUO Shuai, ZHU Ziqiang, SHI Keliang, XIA Chengzhi

(School of Geosciences and Info-physic, Central South University, Changsha 410083, China)

Differing from ground seismic exploration, the special structure of tunnel space makes its wave field very complex. Full-wave field numerical simulation based on actual tunnel model is an important method to effectively understand the propagation law of wave field in tunnel space. Previous studies on this field are mostly based on Cartesian coordinate system. As a special geological model similar to air column, numerical simulation of full wave field in cylindrical coordinate system is more meaningful for understanding the characteristics of wave field in tunnel space. An arbitrary even-order staggered grid difference scheme was deduced, artificial truncated boundary and tunnel free boundary were designed, and numerical simulation and wave field characteristics analysis were performed for typical problematic geological models of tunnels such as lithologic interface, fault fracture zone and karst cave based on the first-order elastic wave velocity-stress equation in cylindrical coordinates. The results show that the staggered grid finite difference method based on the first-order elastic wave velocity-stress equation in cylindrical coordinates combined with FCT technology can achieve high-precision numerical simulation of the full-wave field in tunnel space. The wave field characteristics are in accordance with the kinematic and dynamic characteristics of the wave, which provides an effective basis for understanding the complex wave field characteristics in tunnel space and interpreting the data.

advance prediction; tunnel space; cylindrical coordinates; full wave field; numerical simulation

P631.4

A

1672 ? 7029(2020)02 ? 0388 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190267

2019?04?08

國家自然科學基金資助項目(41974148)；湖南省安全生產監督管理局資助項目(201907)

魯光銀(1976?)，男，湖北宜昌人，教授，博士，從事工程地球物理勘探研究；E?mail：13975894898@139.com

(編輯 蔣學東)