基于Bayes 概率模型的圓鋼管混凝土短柱軸壓承載力計算

呂貝貝 ，何曉升 ，2，高 峰 ，譚朝明 ，曲廣龍

（1.山西大同大學 建筑與測繪工程學院，山西 大同037003；2.中國礦業大學（北京）力學與建筑工程學院，北京 100083；3.山東科技大學 礦山災害預防控制省部共建國家重點實驗室培育基地，山東 青島 266590）

與普通混凝土相比，鋼管混凝土由于改善了核心混凝土的受力狀態，從而具有了塑性高，韌性好，承載力高等顯著優點，被廣泛應用于建筑結構和橋梁工程中。近年來，隨著煤炭開采深度的增加，開采條件日益復雜，支護困難巷道帶來的問題越來越突出，鋼管混凝土支架作為巷道中新的支護結構形式在深埋軟巖巷道中取得了良好的應用效果[1-2]。目前，各國學者對于鋼管混凝土柱抗壓性能進行了大量的試驗研究及理論分析，并取得了很多成果，為工程設計提供了重要依據。各國現行設計規范中鋼管混凝土柱受壓承載力計算方法多為基于試驗結果回歸的半經驗半理論公式，缺乏合理的理論模型，鋼管混凝土柱抗壓理論模型始終未形成統一認識。且這種半經驗半理論公式都是基于地面建筑應用的鋼管混凝土結構，與地面建筑中使用的鋼管混凝土結構相比，井下使用的鋼管混凝土結構徑厚比較小。因此建立1 種統一的理論模型進行鋼管混凝土短柱軸壓承載力估算有助于更準確估算鋼管混凝土支架的承載能力。貝葉斯統計推斷理論綜合考慮樣本信息和先驗信息，近年來已逐漸被引入結構分析的相關計算中[3-4]。利用無信息先驗分布貝葉斯多元線性參數估計方法，建立基于影響參數的圓鋼管混凝土短柱貝葉斯概率抗壓模型，基于該模型和收集到的170 組圓鋼管混凝土柱試驗結果完成了模型參數計算及基于貝葉斯理論的試件短柱軸壓承載力計算，并利用貝葉斯參數剔除法進行模型簡化，進而得到了簡化概率抗壓模型，與GB 50396—2014《鋼管混凝土結構技術規范》、AISC 美國鋼結構協會規范以及AIJ 日本建筑協會規范計算結果進行對比分析，驗證了該模型的有效性及優越性。

1 規范計算模型

GB 50396—2014《鋼管混凝土結構技術規范》[5]中對圓鋼管混凝土柱抗壓強度計算模型，反映了工程結構中構件軸壓破壞的內在規律，根據式（1）進行承載力N0計算：

式中：Ac為核心混凝土橫截面面積；fc為核心混凝土抗壓強度設計值；θ 為套箍系數；a 為與混凝土強度等級有關的系數；As為鋼管橫截面面積；fs為鋼管抗拉強度設計值。

AISC 美國鋼結構協會規范采用塑性應力分布法來進行圓鋼管混凝土軸心受壓短柱承載力NAISC的計算，見式（3），并考慮了構件的局部屈曲，定義當鋼管屈服時核心混凝土強度降低5%，即為0.95fc′。

式中：pno為鋼管混凝土柱的名義強度；pc為彈性屈曲臨界荷載。

式中：fc′為混凝土圓柱體抗壓強度；As、Ac為核心混凝土和鋼管截面面積；c2為核心混凝土強度折減系數，取 0.95。

式中：K 為長度等效系數；L 為柱的有效計算長度；（EI）eff為有效截面剛度。

式中：Es、Ec為鋼管和核心混凝土強度模量；Is、Ic為鋼管和核心混凝土的截面慣性矩；c3為考慮混凝土開裂后而對混凝土抗彎剛度進行折減的系數。

AIJ 日本建筑協會規范中關于圓鋼管混凝土軸心受壓短柱承載力NAIJ計算，見式（8）。主要是通過對鋼管承載力定義1 個提升系數來考慮鋼管混凝土柱的強度提升。

式中：γc為混凝土圓柱體抗壓強度折減系數，取0.85；η 為強度提升系數，取 0.27。

2 貝葉斯參數估計

2.1 貝葉斯理論簡介

與經典統計學“從無到有”的理念不同，貝葉斯統計是“從有到有”的過程[6]，其推斷模式為先驗信息⊕樣本信息?后驗信息，即：將有關參數的歷史信息作為先驗信息，結合樣本信息進行未知參數估計，此處“⊕”表示貝葉斯定理的作用。在統計過程中，如果先驗信息很少或沒有，則取未知參數的先驗分布為無信息先驗分布。

2.2 無信息先驗分布參數估計

假設隨機變量 y 和自變量 x1、x2、…、xm之間存在線性關系：

式中：εi為獨立同分布于 N（0，1）的隨機變量，即 εi～N（0，1）；αi和 σ 為未知模型參數，并假設其先驗信息是無知的。

則據貝葉斯假設可得參數的先驗分布為：

據貝葉斯定理可得未知參數α 和σ 的后驗信息，其中α 的后驗分布為多元t 分布，據t 分布性質可求得α 的后驗期望值和協方差值。σ2的后驗分布為逆Gamma 分布，據逆Gamma 分布的性質可求得σ2的后驗期望值。

3 模型建立

3.1 樣本信息

查閱國內外關于圓鋼管混凝土軸心受壓短柱的抗壓試驗資料，從文獻[7-27]中共收集到170 組試驗數據，基本情況見表1。主要考慮了構件截面尺寸（D×t×L，D 為柱子直徑，t 為鋼管壁厚，L 為柱子長度）、混凝土抗壓強度fc、鋼管抗壓強度fs、套箍指數θ 等因素，試驗數據關于不同影響參數的分布情況如圖1。

3.2 概率模型建立

通過對圓鋼管混凝土軸心受壓短柱抗壓承載力的研究，綜合貝葉斯理論，假設公式（11）來計算構件抗壓承載力。

表1 試驗數據Table 1 Test results

圖1 試驗數據關于不同參數的分布情況Fig.1 Distribution of parameter values of 170 test results

式中：x 表示圓鋼管混凝土短柱抗壓承載力影響因素的向量形式；A=（α，σ）為未知的模型參數，可利用上述貝葉斯參數估計方法，并結合樣本信息對其進行估計；cd為先驗模型，是基于影響參數的概率模型，無先驗模型；γ（x，α）為誤差修正項，形式未知；ε 為正態隨機變量；α=［α1，α2，…，αp］T，為對 x 的修正系數；σ 為后驗分布所產生的方差。

本次研究只包含破壞試驗數據，根據需要對式（11）進行對數運算，則確定鋼管混凝土短柱抗壓概率模型形式為：

式中：hi（x）是根據力學理論選擇的函數，是對影響參數的評估，取h1（x）＝ln2 為修正常數，h2（x）＝ln（D/t）考慮徑厚比影響，h3（x）＝ln（L/D）考慮長徑比影響，h4（x）＝lnθ 考慮套箍指標影響，h5（x）＝ln（fs/fc）考慮混凝土與鋼管相對強度影響，h6（x）＝lnfc考慮混凝土強度影響，h7（x）＝lnAc考慮核心混凝土面積影響；σ 表示模型誤差。

3.3 計算結果

采用貝葉斯無信息先驗分布，以表1 中試驗數據為樣本信息，根據式（13）利用貝葉斯多元線性參數估計方法對未知參數進行估計。最終概率模型如式（14）。為與規范及試驗結果進行對比，利用《鋼管混凝土結構技術規范》、AISC 美國鋼結構協會規范以及AIJ 日本建筑協會規范中鋼管混凝土柱抗壓承載能力的計算模型對170 根試件進行計算，貝葉斯承載能力NB計算結果及對比結果見表1。

3.4 模型簡化

后驗分布的σ 為0.169，可以剔除對抗壓承載能力影響不顯著的修正項，達到對式（14）的簡化。根據參數 α＝［α1，α2，…，α9］T的后驗分布可計算每 1個分量 αi的后驗變異系數（coefficient of variation），即：

式中：μi、σi分別為 αi后驗分布的期望值和標準差值。

變異系數的大小與修正項對圓鋼管混凝土短柱抗壓承載力的影響程度直接相關，變異系數cov（αi）越大，說明修正項hi（x）對抗壓承載力的影響越不顯著。尋找最大的cov（αi），并將與其對應的hi（x）項刪除，由剩余的hi（x）項組成新的修正函數γ（x，α），再利用樣本信息和貝葉斯無信息參數估計法對剩余未知參數（α，σ）重新進行估計。重復此步驟，直至σ 的后驗期望值顯著增大則停止剔除，至此完成簡化，具體的參數剔除過程見表2。

表2 參數剔除過程Table 2 Stepwise deletion process

從表2 中可以看出當剔除影響參數h3（x）＝ln（L/D）時，σ 值沒有顯著變化，但當剔除參數h2（x）＝ln（D/t）時，σ 值顯著增大到0.229，可見h1（x），h2（x），h4（x），h5（x），h6（x），h7（x）對構件抗壓承載能力影響顯著，不能剔除，可得簡化后的概率模型為：

4 概率模型優越性證明

現將收集到的170 根圓鋼管混凝土軸心受壓短柱試件的抗壓試驗值按照大小重新排列，并結合基于影響參數的簡化概率模型的抗壓承載能力計算值，概率模型性能如圖2。由圖可見，抗壓承載能力試驗值與計算值走勢相同，且大部分的試驗值落入了概率模型的陰影部分。說明基于影響參數的概率模型與試驗值吻合良好，可對圓鋼管混凝土短柱抗壓承載能力進行無偏估計。證明了概率模型具有精度高隨機性小的優越性能。

圖2 概率模型性能Fig.2 Performance of probabilistic model

各個模型計算值與試驗值對比結果見表1，統計結果見表3。以中國規范為例，其中利用基于影響參數的貝葉斯簡化概率模型計算170 根鋼管混凝土軸心受壓短柱試件的抗壓承載力時，μ（Ntest/NB）為1.010，σ（Ntest/NB）為 0.161，較利用《鋼管混凝土結構技術規范》模型計算同樣試件抗壓承載能力時的μ（Ntest/NGB）=1.147，σ（Ntest/NGB）=0.179 均減小。說明基于影響參數的簡化概率模型對鋼管混凝土短柱抗壓承載能力的計算值，較規范模型計算值更接近試驗值，且隨機性較小。

以散點圖的形式對基于影響參數的簡化概率模型計算結果Ntest/NB與各規范模型計算結果Ntest/NGB、Ntest/NAISC、Ntest/NAIJ進行了對比如圖3～圖5。以中國規范為例說明：由圖可見，Ntest/NB與Ntest/NGB分布相同，但較Ntest/NGB分布更集中。說明簡化概率模型合理考慮了各影響因素對鋼管混凝土短柱抗壓承載能力的影響，證明了該模型的合理性和準確性。

表3 各模型與試驗值比值統計結果Table 3 Statistical results between different models

圖3 GB 規范模型與貝葉斯模型對比Fig.3 Comparison between GB model and Bayes model

圖4 AISC 規范模型與貝葉斯模型對比Fig.4 Comparison between AISC model and Bayes model

5 結 論

研究以收集到的170 組國內外關于圓鋼管混凝土短柱抗壓試驗的試驗數據為基礎，從貝葉斯統計推斷理論出發，利用其無信息先驗分布參數估計法，建立了圓鋼管混凝土短柱基于影響參數的概率抗壓模型。采用貝葉斯統計推斷理論推得的概率模型計算結果與試驗值相比，誤差很??；當與各國規范模型相比時，概率模型計算結果與規范模型計算結果分布相同，但更接近試驗值。說明基于影響參數的簡化概率模型具有合理性，且精度高隨機性小，可對圓鋼管混凝土短柱的抗壓承載能力進行無偏估計。為圓鋼管混凝土短柱的優化設計提供了可靠的理論依據。

圖5 AIJ 規范模型與貝葉斯模型對比Fig.5 Comparison between AIJ model and Bayes model