探究高中數(shù)學(xué)中利用導(dǎo)函數(shù)解答單調(diào)性問題的技巧

◇ 廣西 農(nóng) 燕

從近幾年高考數(shù)學(xué)全國卷來看,導(dǎo)數(shù)解答題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用,涉及知識點有單調(diào)性、極值、最值、零點、不等式等．函數(shù)的單調(diào)性是研究其他性質(zhì)的基礎(chǔ),能準確地討論一個新函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生得分的關(guān)鍵,因此本文以導(dǎo)函數(shù)為例,探討導(dǎo)函數(shù)問題的解答技巧．

1 思維導(dǎo)圖在規(guī)范答題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)解答題一般以考查函數(shù)單調(diào)性為基礎(chǔ),拓展考查其他性質(zhì)．在做導(dǎo)數(shù)解答題時,學(xué)生常常感覺會做但是得分不高,主要原因是高考中的導(dǎo)數(shù)題常常含有參數(shù),學(xué)生不知道怎樣討論參數(shù),書寫的過程中涂涂擦擦,改了又改,這些就是沒有規(guī)范解題思路帶來的后果．

2 分層與例題解析

我們將訓(xùn)練分為3個層次：

1)不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,這個訓(xùn)練的主要目的是讓學(xué)生規(guī)范解題思路,為解決后面含參數(shù)的單調(diào)性問題打下基礎(chǔ)．

2)對含參數(shù)的三次函數(shù)單調(diào)性問題進行訓(xùn)練．三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),多數(shù)高考題考查的函數(shù)在求導(dǎo)化簡后都可歸結(jié)為二次函數(shù)問題．因此熟練掌握三次函數(shù)的單調(diào)性問題是解決含參數(shù)單調(diào)性問題的本質(zhì)所在．

3)高考真題訓(xùn)練．這就要求學(xué)生不但會而且要規(guī)范解答．會而不對,令人惋惜；對而不全,得分不高．表述不規(guī)范、字跡不工整是造成高考中因非智力因素失分的一大原因．

例1求f(x)＝x2＋1－lnx的單調(diào)區(qū)間．

解析

函數(shù)的定義域為x∈(0,＋∞),f′(x)＝．令f(x)＝0,即2x2－1＝0,解得故易知當(dāng)．時,(),f′x＜0函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時,()f′x＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

綜上所述,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．

解析

很多學(xué)生求解原函數(shù)單調(diào)區(qū)間時會考慮求解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0,但是教材對求解高次分式不等式不作要求,因此很多學(xué)生不能正確求解．對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,在保持以上解答步驟不變的情況下要增加對參數(shù)的討論．

對導(dǎo)數(shù)f′(x)中參數(shù)a的討論往往考慮幾個方面：1)方程f′(x)＝0的根是否存在；2)比較根的大小；3)f′(x)＝0的根是否在定義域內(nèi)；4)遇到導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)時,還要考慮二次函數(shù)圖象的開口方向．

例2已知a∈R,討論函數(shù)f(x)＝x2(x－a)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性．

解析

f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a),f′(x)＝0,解得

當(dāng)3≤a時．當(dāng)x∈[0,2]時,f′(x)≤0,則f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減．

當(dāng)0＜a＜3時,當(dāng)時,f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．

當(dāng)a＝0時,則x1＝x2,當(dāng)x∈[0,2]時,f′(x)≥0,則f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．

當(dāng)a＜0時,x2＜x1≤0,當(dāng)x∈[0,2]時,f′(x)≥0,則f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．

綜上所述,當(dāng)a≤0時,則f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜3時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；當(dāng)a≥3時,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減．

點評

學(xué)生遇到含參數(shù)問題時常常會出現(xiàn)考慮不全、分類討論的標準不清楚等現(xiàn)象．教師在講解時要注意兩點：1)求單調(diào)區(qū)間的過程要始終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想,因為有圖象在心里學(xué)生才明白分類討論的含義；2)讓學(xué)生牢記分類討論的要點和討論的標準,這樣學(xué)生解題時才能完整地對參數(shù)進行討論．