翼梁腹板復(fù)合型裂紋擴(kuò)展分析及試驗(yàn)驗(yàn)證

李玉蓮，王虎林，何龍龍

哈爾濱哈飛航空工業(yè)有限責(zé)任公司，黑龍江哈爾濱150066

飛機(jī)的服役經(jīng)驗(yàn)表明，很多構(gòu)件的斷裂是由于其內(nèi)部存在各種類型的裂紋，這些裂紋的存在和擴(kuò)展，使結(jié)構(gòu)承載能力在一定程度上削弱，從而影響飛機(jī)結(jié)構(gòu)安全。因此研究裂紋開(kāi)裂以及擴(kuò)展規(guī)律，對(duì)飛機(jī)設(shè)計(jì)有重大指導(dǎo)意義。基于以上的目的，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從理論、試驗(yàn)、數(shù)字仿真方面開(kāi)展了大量的研究工作[1,2]。損傷容限分析的主要任務(wù)是以基于斷裂力學(xué)的裂紋擴(kuò)展為分析基礎(chǔ),結(jié)合剩余強(qiáng)度分析確定結(jié)構(gòu)的檢查門(mén)檻值和檢查間隔，從而保證飛行安全并得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)效率。飛機(jī)結(jié)構(gòu)損傷容限分析的基礎(chǔ)是飛機(jī)結(jié)構(gòu)應(yīng)力強(qiáng)度因子的確定。因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算的重要性，國(guó)內(nèi)外將應(yīng)力強(qiáng)度因子的研究作為疲勞損傷容限設(shè)計(jì)的重點(diǎn)之一。

有限元法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子由于不受幾何以及載荷的復(fù)雜性限制而在工程上得到廣泛應(yīng)用。有限元法需要模擬裂紋尖端的奇異性，在固定裂紋長(zhǎng)度下，傳統(tǒng)有限元法計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子精度已經(jīng)非常高，而在裂紋擴(kuò)展中，必須每次在裂紋擴(kuò)展后重新劃分網(wǎng)格，工作量巨大。而擴(kuò)展有限元[3]的提出很好地解決了這個(gè)矛盾。

擴(kuò)展有限元技術(shù)是用于模擬不連續(xù)問(wèn)題的有限元技術(shù)，它是在傳統(tǒng)有限元框架內(nèi)，保留了有限元所有的優(yōu)點(diǎn)，并基于單位分解的思想，在連續(xù)位移場(chǎng)上加入特殊函數(shù)對(duì)不連續(xù)問(wèn)題進(jìn)行建模的方法。它克服了傳統(tǒng)有限元在裂紋尖端應(yīng)力區(qū)必須細(xì)化網(wǎng)格帶來(lái)的困難，大大提高了分析效率。近年來(lái)擴(kuò)展有限元法在裂紋擴(kuò)展分析中得到了廣泛的應(yīng)用[4]，本文針對(duì)翼梁腹板的復(fù)合型裂紋擴(kuò)展問(wèn)題，使用擴(kuò)展有限元分析手段，著重分析了網(wǎng)格密度和積分區(qū)域?qū)?yīng)力強(qiáng)度因子以及復(fù)合型裂紋開(kāi)裂角度計(jì)算精度的影響，并使用單翼梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 擴(kuò)展有限元法

對(duì)于含有裂紋的彈性體，一方面在裂紋面上產(chǎn)生不連續(xù)位移場(chǎng)，另一方面在裂紋尖端又會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中，而采用基于連續(xù)介質(zhì)理論的傳統(tǒng)有限元法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，通常需要對(duì)裂紋尖端網(wǎng)格加密或引入奇異單元，造成操作復(fù)雜、通用性差等不便。美國(guó)西北大學(xué)Belytchko等[5]基于差值函數(shù)單元分解的思想，在常規(guī)有限元的基礎(chǔ)上，提出了適合描述裂紋面的近似位移插值函數(shù)：

式中：N為所有常規(guī)點(diǎn)的集合；Ndic為被裂紋完全貫穿的單元節(jié)點(diǎn)的集合（圖1中的方塊節(jié)點(diǎn)）；Nasy為含裂尖單元點(diǎn)的集合（圖1中的圓圈節(jié)點(diǎn)）；ui，αj，分別表示常規(guī)單元節(jié)點(diǎn)、貫穿單元節(jié)點(diǎn)和裂尖單元節(jié)點(diǎn)的位移；H(x)為跳躍函數(shù)，用于反映裂紋面位移的不連續(xù)性，在裂紋面上、下側(cè)分別取+1和-1。

圖1 附加函數(shù)的加強(qiáng)節(jié)點(diǎn)和裂尖極坐標(biāo)Fig.1 Enriched nodes of addition function and local coordinate system of crack tip

φa(x)為裂尖漸進(jìn)位移場(chǎng)附加函數(shù)，反映裂尖的應(yīng)力奇異性。具體由以下基函數(shù)構(gòu)成：

式中：r，θ為以裂紋尖端為原點(diǎn)的極坐標(biāo)系，如圖1 右側(cè)所示。

擴(kuò)展有限元采用子區(qū)域積分法對(duì)不連續(xù)場(chǎng)進(jìn)行精確積分。

2 復(fù)合型裂紋

實(shí)際航空結(jié)構(gòu)斷裂力學(xué)的工程應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，裂紋形式不局限于一種，常以復(fù)合形式存在，判定復(fù)合裂紋擴(kuò)展的斷裂準(zhǔn)則主要有最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則[6]和應(yīng)變能密度理論兩種。

最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則：假定裂紋初始擴(kuò)展沿著周向應(yīng)力σθ最大的方向，當(dāng)最大應(yīng)力達(dá)到臨界值時(shí)，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。對(duì)于I型和Ⅱ型裂紋復(fù)合的情況，結(jié)合Irwin得到的裂尖區(qū)域應(yīng)力值，由應(yīng)力強(qiáng)度因子疊加原理可以得到I型和Ⅱ型復(fù)合裂紋的裂尖正應(yīng)力值：

取r=r0圓周上各點(diǎn)的σθ，有進(jìn)而有：

則開(kāi)裂條件為：

復(fù)合裂紋作用下，裂紋將向與原裂紋成θ0的方向擴(kuò)展[7]，θ0的正負(fù)取決于的正負(fù)。

3 翼梁裂紋擴(kuò)展分析

3.1 翼梁受力以及應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

機(jī)翼翼梁是飛機(jī)結(jié)構(gòu)疲勞及損傷容限設(shè)計(jì)中的危險(xiǎn)部位，翼梁結(jié)構(gòu)失效直接關(guān)系到飛機(jī)的飛行安全。對(duì)于航空結(jié)構(gòu)的機(jī)翼翼梁，總體受力為承受剪力和彎矩的聯(lián)合作用，如圖2 所示。對(duì)于使用損傷容限設(shè)計(jì)的翼梁結(jié)構(gòu)，當(dāng)受拉緣條裂紋擴(kuò)展失效以后，裂紋擴(kuò)展到翼梁腹板，在腹板上的擴(kuò)展過(guò)程由于受到腹板切應(yīng)力和整個(gè)翼梁承受彎矩的共同作用時(shí)，裂紋擴(kuò)展速度較快，裂紋方向更為復(fù)雜，是飛機(jī)結(jié)構(gòu)的一種較為危險(xiǎn)的失效模式，對(duì)于在翼梁腹板上的裂紋擴(kuò)展分析在工程上的應(yīng)用尤為重要。

圖2 翼梁受力示意圖Fig.2 Wing spar subjected to moment and force

在整個(gè)機(jī)翼翼盒結(jié)構(gòu)中，翼梁緣條裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，翼梁承受的彎矩會(huì)小部分轉(zhuǎn)移到蒙皮結(jié)構(gòu)，翼梁腹板的切應(yīng)力保持不變，緣條完全斷裂后，腹板承受彎矩引起的拉應(yīng)力以及切應(yīng)力，屬于典型的I型和Ⅱ型裂紋同時(shí)存在的復(fù)合型裂紋擴(kuò)展。緣條斷裂以后裂紋會(huì)沿著一個(gè)角度繼續(xù)在腹板擴(kuò)展。裂紋擴(kuò)展示意圖如圖3所示。

翼梁的I型裂紋（見(jiàn)圖4）為彎矩引起的，根據(jù)手冊(cè)[8]的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)梁腹板承受純彎曲應(yīng)力時(shí)，腹板邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式為：

圖3 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.3 Crack growth trajectory of wing spar web

圖4 翼梁腹板Ⅰ型裂紋擴(kuò)展Fig.4 The Ⅰmodel crack growth of wing spar web

有限寬度板只承受切應(yīng)力時(shí)，裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)驗(yàn)公式[9]為：

對(duì)于純Ⅱ型裂紋[10]，可以令KI=0，得出純Ⅱ型裂紋的擴(kuò)展角度為70.5°。當(dāng)機(jī)翼翼梁腹板為復(fù)合型裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂紋擴(kuò)展角度的取值范圍為-70.5°～+70.5°。

3.2 翼梁裂紋擴(kuò)展有限元分析結(jié)果

在翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析中，翼梁組件包括緣條和腹板以及立柱結(jié)構(gòu)，翼梁選取三個(gè)肋間距的單翼梁長(zhǎng)度進(jìn)行分析，僅研究裂紋在梁腹板的面內(nèi)擴(kuò)展時(shí)，初始裂紋切割為下緣條高度40mm完全斷裂。翼梁長(zhǎng)度為1200mm，翼梁高度為330mm，翼梁腹板厚度為2mm，翼梁上下緣條為T(mén) 型材剖面，腹板材料為2014T3，詳細(xì)的翼梁材料性能以及翼梁的幾何參數(shù)見(jiàn)表1。

在翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析中，腹板厚度為2mm 時(shí)，有限元模型在外圍網(wǎng)格不變的情況下，在裂紋定義區(qū)域分別采用了三種網(wǎng)格尺寸，為1mm×1mm 網(wǎng)格、2mm×2mm 和4mm×4mm 的局部細(xì)化，主要分析網(wǎng)格密度對(duì)于擴(kuò)展有限元計(jì)算結(jié)果的影響，并與單翼梁結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)的裂紋方向結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

表1 2014T3材料力學(xué)性能和翼梁幾何參數(shù)Table 1 Mechanical properties of 2014T3 and geometric parameter of wing spar

在翼梁腹板裂紋擴(kuò)展有限元模型中，翼梁一端施加剪力以及彎矩，在另一端為懸臂約束端，如圖5所示。

圖5 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析示意圖Fig.5 Crack growth analysis of wing spar web

使用擴(kuò)展有限元的翼梁腹板裂紋擴(kuò)展分析計(jì)算結(jié)果如圖6 所示。在使用擴(kuò)展有限元分析過(guò)程中，使用單翼梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。在腹板的裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，翼梁結(jié)構(gòu)開(kāi)剖面的彎心會(huì)隨著裂紋長(zhǎng)度的增長(zhǎng)發(fā)生變化，而實(shí)際結(jié)構(gòu)中，翼盒中的翼梁與蒙皮組成閉剖面結(jié)構(gòu)，為簡(jiǎn)便分析，有限元約束模擬簡(jiǎn)化時(shí)，在翼梁緣條與腹板的交界線處增加垂直于腹板面的約束來(lái)限制翼梁的扭轉(zhuǎn)。

有限元分析結(jié)果表明，擴(kuò)展有限元在不重新劃分網(wǎng)格情況下，裂紋可以穿透單元，進(jìn)行裂紋擴(kuò)展模擬，大大提高分析效率，同時(shí)為復(fù)雜航空結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展分析提供方便途徑。

圖6 擴(kuò)展有限元裂紋擴(kuò)展計(jì)算示意圖Fig.6 XFEM crack growth analysis

4 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)簡(jiǎn)化

翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)，翼梁組件包括緣條和腹板，翼梁選取4 個(gè)肋間距的單翼梁長(zhǎng)度進(jìn)行分析及試驗(yàn)，相鄰肋間距為300mm，腹板厚度為2mm，由于翼梁緣條斷裂后的裂紋擴(kuò)展過(guò)程直接威脅結(jié)構(gòu)安全，因此僅研究裂紋在梁腹板的面內(nèi)擴(kuò)展時(shí)，初始裂紋切割為下緣條高度40mm 的完全斷裂。

試驗(yàn)過(guò)程中，翼梁加載端通過(guò)作動(dòng)筒施加剪力以及彎矩，在試驗(yàn)件翼梁另一端通過(guò)與實(shí)驗(yàn)室承力墻連接進(jìn)行約束，同時(shí)使用三組防失穩(wěn)夾具限制翼梁的扭轉(zhuǎn)變形，翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)的安裝圖如圖7所示。

圖7 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)圖Fig.7 Crack growth experiment of wing spar web

翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)的過(guò)程結(jié)果如圖8 所示，裂紋擴(kuò)展方向發(fā)生轉(zhuǎn)折，以一定的角度擴(kuò)展。

4.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子對(duì)比分析

在擴(kuò)展有限元分析中，針對(duì)某一固定長(zhǎng)度裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不需要重新劃分網(wǎng)格，但是需要定義增強(qiáng)函數(shù)的半徑，針對(duì)翼梁腹板的裂紋擴(kuò)展分析，著重分析了定義半徑對(duì)于裂紋的無(wú)量綱化應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。擴(kuò)展有限元模型在裂紋擴(kuò)展區(qū)域分別采用三種較為精細(xì)的網(wǎng)格尺寸，分別為1mm×1mm、2mm×2mm和4mm×4mm時(shí)，網(wǎng)格結(jié)果對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響不大，其中1mm×1mm 網(wǎng)格尺寸計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

圖8 翼梁腹板裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)過(guò)程Fig.8 Crack growth experiment process of spar web

表2 增強(qiáng)函數(shù)半徑對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響Table 2 The effect of addition function R on stress intensity factor

隨著增強(qiáng)函數(shù)定義的半徑不同，無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子變化較大。

從圖9 中可以看出，增強(qiáng)函數(shù)半徑大于2.5 時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值區(qū)域穩(wěn)定，收斂性較好，因此對(duì)于有限寬度的腹板裂紋擴(kuò)展，建議擴(kuò)展有限元的增強(qiáng)函數(shù)半徑取≥2.5。

4.3 混合裂紋擴(kuò)展角度對(duì)比分析

擴(kuò)展有限元模型在裂紋擴(kuò)展區(qū)域分別采用三種較為精細(xì)的網(wǎng)格尺寸，分別為1mm×1mm、2mm×2mm 和4mm×4mm。計(jì)算裂紋擴(kuò)展方向時(shí)，選用軟件中裂紋定義的XFEM，并允許裂紋擴(kuò)展。

圖9 增強(qiáng)函數(shù)半徑對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響Fig.9 The effect of addition function R on stress intensity factor

根據(jù)式（5），計(jì)算裂紋擴(kuò)展角度，見(jiàn)表3，當(dāng)網(wǎng)格尺寸為1mm×1mm 時(shí)，計(jì)算翼梁腹板的轉(zhuǎn)角為21.92°，翼梁腹板裂紋擴(kuò)展的試驗(yàn)結(jié)果為22.6°，擴(kuò)展有限元計(jì)算分析誤差較小，分析結(jié)果能夠滿足工程計(jì)算的需求，而且在裂紋尖端不需要重新劃分網(wǎng)格。

表3 復(fù)合型裂紋轉(zhuǎn)角對(duì)比Table 3 The mixed-model crack growth angles

擴(kuò)展有限元的裂紋擴(kuò)展路徑計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖10所示，三種網(wǎng)格尺寸的裂紋擴(kuò)展的角度經(jīng)測(cè)量均在21°左右，隨著網(wǎng)格密度的不同，裂紋擴(kuò)展的角度變化不大。

通過(guò)以上的分析及試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明，在擴(kuò)展有限元模型定義的裂紋擴(kuò)展區(qū)域，網(wǎng)格尺寸均為較精細(xì)前提下，網(wǎng)格尺寸對(duì)與復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展角度影響較小。

5 結(jié)論

本文基于擴(kuò)展有限元裂紋擴(kuò)展方法，在翼梁腹板受到彎曲和剪切的載荷聯(lián)合作用下，開(kāi)展了機(jī)翼梁腹板復(fù)合型裂紋擴(kuò)展分析及試驗(yàn)驗(yàn)證工作。分析和試驗(yàn)的裂紋擴(kuò)展結(jié)果表明：

圖10 翼梁腹板復(fù)合裂紋擴(kuò)展角度對(duì)比Fig.10 The mixed-model crack growth angles of wing spar web

（1）擴(kuò)展有限元在不需要重新劃分網(wǎng)格的前提下，能夠模擬機(jī)翼翼梁腹板的復(fù)合型裂紋擴(kuò)展。擴(kuò)展有限元相對(duì)于傳統(tǒng)有限元在模擬不連續(xù)問(wèn)題方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

（2）擴(kuò)展有限元采用多種網(wǎng)格尺寸進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明，擴(kuò)展有限元對(duì)于網(wǎng)格尺寸不敏感，能夠較好地模擬復(fù)合型裂紋的開(kāi)裂角度。

（3）Abaqus擴(kuò)展有限元對(duì)于計(jì)算工程復(fù)雜受力結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強(qiáng)度因子是可行的手段，計(jì)算精度能夠滿足工程實(shí)際的需求。