燃料消耗下吸氣式高超聲速飛行器自適應控制

高剛，張金鵬，李群生

中國空空導彈研究院，河南洛陽471009

高超聲速飛行器因其能夠快速全球可達，具有巨大的軍事價值和潛在的經濟價值，近年來成為各國發展的重點，如中國的WU-14及美國的HTV-2。相對于普通飛行器，高超聲速飛行器具有巨大的速度優勢，更強的載荷攜帶能力，以及可能重復使用的特性。另一方面，就軍事目的而言，高超聲速飛行器優越的機動性大大增加了其攔截難度。

在采用輕質材料的情況下，高超聲速飛行器在快速飛行過程中由于氣流擾動等因素，可能發生氣動彈性振動。考慮沖壓發動機與機體的融合構型和高超聲速飛行器彈性機體，推進系統及氣動力學之間存在強耦合作用。與此同時，高超聲速飛行器具有高馬赫數飛行特性，參數快時變特征。上述特點使得高超聲速飛行器控制具有巨大的挑戰性[1,2]。

高超聲速飛行器控制研究集中于具有X-33或X-38構型無動力高超聲速飛行器(NHV)的再入控制[3,4]，及具有錐體加速器或X-30 構型吸氣式高超聲速飛行器(AHV)的巡航控制[5,6]。

吸氣式高超聲速飛行器方面，現有參考文獻涉及三個主要的飛行器模型。其一是美國航空航天局（NASA）蘭利研究中心提出的剛性NASA-LRC模型，主要考察一個具有錐體加速器構型高超飛行器的縱向動態[5,7]。利用計算流體力學，第二個包含彈性模態的CSULA-GHV是由加州州立大學多學科飛行動態及控制實驗室提出，它描述了一個全尺寸X-30 構型高超聲速飛行器的縱向動態[8,9]。利用Lagrange 方程，對于一個X-30 構型飛行器的縱向動態，美國空軍研究實驗室推導了第三個具有彈性模態的AFRLOSU模型[6,10]。

本文研究基于AFRL-OSU模型，其中部分動力學描述是系統狀態及控制輸入的隱函數，不具有通常控制器設計所要求的相對規范的形式。利用曲線擬合方法，幾位作者給出了AFRL-OSU模型的曲線擬合形式[6,11-13]，大大降低了控制分析的難度，同時保留了原模型的基本動態特征[6]。采用AFRL-OSU 模型，參考文獻[11]、參考文獻[14]、參考文獻[15]中假設彈性模態可以直接測量，將其用于控制反饋。參考文獻[16]利用線性參數時變的建模及控制方法研究AFRL-OSU 模型，參考文獻[17]提出高超聲速飛行器保性能控制，參考文獻[18]利用T-S模糊控制方法設計保性能控制器。基于有限的狀態信息，參考文獻[19]提出輸出反饋控制器。基于反饋線性化系統，參考文獻[20]討論了高超聲速飛行器的魯棒最優控制問題。

對比無動力高超聲速飛行器，吸氣式高超聲速飛行器在飛行過程中必然產生燃料消耗，引起飛行器質量及轉動慣量變化[13]。在此前提下，針對吸氣式高超聲速飛行器控制問題，現有研究并不充分。針對此問題，考慮燃料消耗引起的飛行器質量及轉動慣量變化，本文研究吸氣式高超聲速飛行器的自適應控制問題，在控制律設計過程中注意避免執行器震顫現象。

1 模型分析

1.1 高超聲速飛行器縱向動態

考慮一個X-30 構型的飛行器，本節中的分析基于AFRL-OSU模型。對此高超聲速飛行器模型，其不穩定性及控制難點主要體現在縱向運動平面。在無滾轉的情況下解耦于橫向動態，飛行器的縱向動態可描述為：

模型中的氣動力和力矩具有形式：

以上模型中，包含5個剛性狀態變量，即高度h、速度V、迎角α、俯仰角θ及俯仰角速率Q。同時，模型包含4個彈性狀態變量以上模型中，輸出高度h主要由升降舵偏轉δe調節，而輸出速度V主要受油門開度Φ的影響。可以看到，系統中各變量間存在復雜的耦合，如由于系統發動機與氣動外形的相互作用，除推力外，油門開度Φ間接影響俯仰力矩。另外，對升降舵偏轉δe，其在調節俯仰力矩的同時，通過相對較弱的耦合間接影響升力、阻力及廣義彈性力。此外由式(1)，剛性狀態變量俯仰角速率的動態受彈性模態的影響，同時廣義彈性力依賴于迎角，由此系統彈性模態及剛性動態間存在耦合。

1.2 面向控制的模型設計

對式（1），升降舵與升力及阻力間存在耦合，由此控制輸入δe會出現在輸出h,V的低階導數中。由于耦合相對較弱，可以考慮在控制器設計過程中將其忽略。與此同時，為避免輸入解耦矩陣奇異，考慮油門開度Φ命令實現過程的一個二階動態擴展，將彈性模態忽略，可得：

此時，考慮控制輸入升降舵偏轉δe及油門開度命令Φc，利用Matlab符號計算，對輸出高度h及速度V求高階導數，可以驗證式(2)具有滿相對度。在此模型中，其狀態變量取為高度h、速度V、迎角α、俯仰角θ、俯仰角速率Q、油門開度Φ及選取阻尼系數ζ=0.7，固有頻率ω=20，式(2)中最后一個方程描述真實飛行器中油門開度Φ命令實現過程中的一個滯后效應，具有現實意義。

對式(1)或式(2)，其運行區間見表1。

表1 飛行器運行區間Table 1 The flight envelope of the vehicle

可以驗證，對表1給定的運行區間，考慮控制輸入升降舵偏轉δe及油門開度命令Φc，對輸出高度h及速度V求高階導數，式(2)具有非奇異的輸入解耦矩陣。

在本文中，式(2)主要用于控制器設計及飛行器穩定性分析。對所設計控制器仿真驗證采用式(1)，其中包含式(2)中忽略的弱耦合及彈性模態。

2 模型不確定性分析

2.1 模型不確定性

在真實的高超聲速飛行過程中，由于沖壓發動機的燃料消耗，飛行器質量及轉動慣量均會產生顯著的變化[13]，其可表示為：

式中：m0,I0分別為m,I的標稱值；|Δm|≤50%，|ΔI|≤50%表示相應變量的加性不確定性，其可記為：

2.2 飛行器的反饋線性化模型

在本節，使用反饋線性化技術，得到一個高超聲速飛行器的線性化模型，其中包含由不確定參數導致的未知動態。考慮高超聲速飛行器縱向式(2)，為消除穩態誤差，在系統中增加積分變量：

則式(2)寫為：

式中：

非線性函數：

對于式(4)，可以驗證：

由此，高度積分h*具相對階rh=5，速度積分V*具相對階rV=5，此時式(2)具有滿相對階及零內動態。能線性化非線性式(2)的坐標變換x=T(z)可表示為：

可以驗證，標稱條件下的輸入解耦矩陣G(z)在實際飛行包線內具有非奇異性。

2.3 模型不確定性分析

考慮由式(3)描述的不確定參數，在以上推導中，G1由Matlab符號計算得到，其具有表達式：

這里λi(·)表示括號內矩陣的第i個特征值。

3 控制器設計

吸氣式高超聲速飛行器在飛行過程中的燃料消耗，會引起飛行器的飛行參數變化。針對這種變化，相比于建立精確的燃料消耗模型，本節將此參數變化視為一種不確定因素，基于其對飛行器反饋線性化模型的影響分析，針對高超聲速飛行器的不確定模型設計自適應控制器，同時在控制律設計過程中注意避免執行器震顫現象。

3.1 控制器設計

那么對式(5)，其可寫為：

系統中狀態，輸入及輸出矩陣具有下面的結構：

這里子矩陣具有Brunovsky規范形式：

式(9)中的不確定項滿足：

對于式(9)，它需要跟蹤的參考命令可描述為：

式中：ym1是5階可微的，ym2是4階可微的，令：

這里假設xm∈L∞,rm∈L∞，L∞表示全部有界函數構成的空間。對于以上參考命令，可寫為參考模型：

這里狀態、輸入及輸出矩陣由式(10)給出，其中狀態及輸入矩陣(A,B)是可控的，因此存在一個鎮定的矩陣K0及正定矩陣P,Q滿足：

這里H表示全部Hurwitz 矩陣的集合。考慮反饋線性化式(9)，其控制輸入被不確定項影響，將魯棒控制器設計為：

式中：rm由式(13)給出，跟蹤誤差e=x-xm，K0見式(15)；K(t)被設計來保證不確定參數下非線性系統(9)的參考命令跟蹤，如：

此時，跟蹤誤差e=x-xm滿足由此ym(t))=0。

式中：γ及σ表示某些正常數，函數φ1(z),φ2(z)及參數a1見式(11)及式(12)，信號rm由式(13)定義。

對于具有滿相對階及可逆輸入解耦矩陣（式(6)）的非線性系統（式(4)），考慮不確定參數（式(3)），如果矩陣K0、正定矩陣P,Q設計為滿足條件式(15)，那么控制律式(8)、式(16)與式(18)保證跟蹤誤差e=x-xm全局一致最終有界。

3.2 穩定性分析

對非線性系式(4)，應用魯棒控制律式(8)、式(16)與式(18)，由反饋線性化模型式(9)減去式(14)，得到誤差動態系統：

考慮Lyapunov函數：

令：

可給出Lyapunov 函數的導數：

注意到自適應律式(19)及aw(t0)≥0，由其通解：

可得aw(t)≥0,t≥t0。考慮式(7)，可得：

接下來，由不等式：

給出：

由此可得：

令λmin(·),λmax(·)表示括號內矩陣的最小及最大特征值，式（20）中常數λV,λε具有以下形式：

當時間趨于無窮，式(20)給出：

這就表明對任意δ＞0，存在T＞0，由此對任意t＞T，有此時接下來，令：

同時注意到對t＞T，有：

跟蹤誤差e在有限時間內收斂到剩余集Ωe，這表明跟蹤誤差e=x-xm全局一致最終有界。

4 仿真

選取參考文獻[6]給出的高度參考命令及速度參考命令，驗證所設計控制器的有效性及魯棒性。在滿足約束式(3)，其中|Δm|≤50%，|ΔI|≤50%的前提下，執行以下25 輪Monte Carlo 仿真，每次仿真中不確定參數m,I隨機取值。疊加25輪仿真結果，高超聲速飛行器的高度及速度跟蹤性能如圖1（1ft=0.3048m）～圖3所示。

圖1 飛行器高度跟蹤性能Fig.1 The altitude tracking performance

在所執行的25輪Monte Carlo仿真中，在不確定參數質量及轉動慣量影響下，所設計自適應控制器實現了期望的高度及速度指令跟蹤效果，表明所設計控制器的有效性及魯棒性。

5 結論

圖2 飛行器速度跟蹤性能Fig.2 The velocity tracking performance

圖3 飛行器控制輸入Fig.3 Control inputs of the vehicle

對高超聲速飛行器，考慮其縱向動態模型，在復雜耦合，不確定參數的影響下，本文考慮其參考命令跟蹤控制問題。為降低問題復雜性，對高超聲速飛行器縱向模型進行反饋線性化。考慮燃料消耗導致的模型不確定參數，分析此線性化模型，并基于分析結果設計了自適應控制器，同時在控制律設計過程中注意避免執行器震顫現象。基于Lyapunov函數的穩定性分析結果表明，所設計控制器能保證跟蹤誤差全局一致最終有界。基于高超聲速飛行器的非線性模型進行數值仿真，結果表明所設計控制器具有良好的參考軌跡跟蹤控制性能，實現了期望的魯棒性。