一道數學分析課后習題的多種解法與解后思考

【摘要】分享一道數學分析課程習題的若干解法，并結合解題過程，闡述了解答一系列相關問題的想法.

【關鍵詞】數學分析;習題課;一題多解;多題一解

【基金項目】成都師范學院校級教改一般項目（2020JG38）.

引 言

數學分析課程，即一門引導學生利用極限、微分、積分等概念工具分析函數特性的課程.數學分析是本科數學專業的核心主干課程之一.習題課即引導學生重新分析自己做過的課后習題，發現解題錯誤與漏洞，并重新給出正確完整解答的環節.與其他本科階段的數學課程一樣，數學分析的習題課教學目的任務集中，但是內容繁多，容易跌入教學效率低、課堂組織松散等困境.為成功“避開”這些教學困境，筆者發現選擇一些相關度高的習題（甚至是例題）進行精講、細講是一條有效途徑.本文旨在分享一系列相關且有極高教學價值的課后習題.這其中最經典的問題是：

討論數項級數

∑∞n=1（n+2-2n+1+n）（*）

的收斂性.此題為華東師范大學數學系編撰的《數學分析：第四版》的第十二章第1節的課后習題第1題第（4）問.此題形式結構經典但不算復雜，難度適中，大部分學生經過思考能找到解答它的正確思路，能幫助缺乏解題經驗的學生積累更多經驗，能給解題經驗豐富的學生帶來“正反饋”.因此，級數（*）具有極高的教學研究價值.本文的結構安排是：先給出判定級數（*）收斂的幾種方法，再結合解題過程與教學經驗，分享筆者的若干教學思考.

一、判定級數（*）收斂的若干方法

方法1（按級數收斂的定義） 直接計算，可得

SymbolnB@得出級數收斂的結論，此類方法的優點是想法直接樸素，還可順帶看出級數的和，困難之處在于對部分數列而言，它們的部分和數列很難化簡，從而很難判斷出部分和數列是否發散.

方法2（比較判別法） 經計算，有

n+2-2n+1+n

=1n+2+n+1-1n+1+n=-2（n+n+1）（n+1+n+2）（n+2+n）.

借此可進一步得，n+2-2n+1+n<14nn.

因∑∞n=114nn收斂，故由比較判別法，級數（*）絕對收斂（更是收斂）.

SymbolnB@得出原級數收斂（發散）的結論.此類方法的困難之處在于找到合適的上界（下界）級數，缺點之一是（收斂的情形下）不能直接看出原級數的和，優點是一旦找到了合適的上界（下界）級數，上界（下界）級數的收斂性（發散性）很容易得到判定.

方法3（比較判別法） 經計算，有n+1-n=1n+1+n，12n+1

且12n+2

故0

因∑∞n=11nn收斂，故由比較判別法，級數（*）絕對收斂（更是收斂）.

注3 方法3與方法2本質想法一樣，都是比較判別法.與方法2相比，方法3中的代數運算過程簡潔，但是不等式放縮技術更加高明.比較這兩種方法可以看出，在運用比較判別法討論級數斂散性的過程中，上界級數或下界級數的選取方法并不唯一.另外，借助不等式放縮

1n-1n+2=1n+21+2n-1<2nn+2<2nn，

得到n+2-2n+1+n<2nn.這些不等式放縮經驗實際上具有極大的啟發意義.

方法4（比較判別法） 經計算，有

limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=limn→∞2nn（n+n+1）（n+1+n+2）（n+2+n）=14.

因∑∞n=11nn收斂，故由比較判別法（極限版本），級數（*）絕對收斂（更是收斂）.

SymbolnB@得出原級數的斂散性的結論.方法4與方法2，3有相似的困難，即找到合適的“參考級數”即∑∞n=11nn.方法4的優點之一是，不需要像方法2與3那樣，借助巧妙的不等式放縮技術.在運用極限版本的比較判別法討論級數（*）的斂散性的過程中，還可借助其他方法完成計算極限的環節.例如，借助Taylor公式，可得：當n→∞時，

n+2=n1+2n12=n1+1n-12n2+o1n2

=n+1n-12nn+o1nn，

n+1=n1+1n12

=n+12n-18nn+o1nn.

借此可得limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=14.

二、總結與解后反思

在上一部分內容中，給出了幾種判定級數（*）收斂的方法.從結果可以看出，華東師范大學數學系編撰的《數學分析：第四版》上冊的第二章總練習題第1題第（3）問的答案是limn→∞（n+2-2n+1+n）.還有一類題與級數（*）緊密相關但關聯極其隱蔽.為方便閱讀，首先寫出下述結論：若函數f（x）在點x0處二階可微，則limh→0f（x0+h）+f（x0-h）-2f（x0）h2=f″（x0）.借助這一結論，結合適當的整理變形，可得

n+2-2n+1+n

=n+11+1n+1-2+1-1n+1，

進一步可得

limn→∞1+1n+1-2+1-1n+11（n+1）2

=（x）″x=1=-14.

這一結果事實上加深了對級數（*）的認識.另外，通過這些分析還可發現，下冊教材第2節課后習題第1題第（9）問，即判定∑∞n=1（a1n+a-1n-2）的斂散性，也與級數（*）緊密相關.本文給出的判定級數（*）收斂的方法對解答上冊教材的第二章總練習題第8題第（3）問，即計算數列極限limn→∞[（n+1）α-nα]，上冊教材第2節課后習題第1題第（4）問，即計算數列極限limn→∞（n2+n-n），上冊教材第2節例5，即計算數列極限limn→∞n（n+1-n），都有極大的啟發意義.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王成強.探究式教學在數學分析復習課的應用[J].貴陽學院學報（自然科學版），2020，15（02）：96-99.