邊以類聚 角以類分

何萍

【摘要】“等腰三角形”安排在“三角形”知識模塊的壓軸章節，在學習完“軸對稱”的相關性質后閃亮登場.“等腰三角形”的亮點在于它的邊與角，這種特殊性決定了它在初中數學教材中的位置，只有結合“軸對稱”“全等三角形”“垂直平分線”等相關知識才能更好地解決與“等腰三角形”相關的問題，也正因為如此，“等腰三角形”成為近年來各類考題中的重要考點.

【關鍵詞】等腰三角形;腰;底

數學人教版八年級上冊教材第十三章從性質、判定及相關應用這三個角度對“等腰三角形”層層深入地進行講解，抽絲剝繭，逐步揭開“等腰三角形”的神秘面紗.在揭秘的過程中，它的特殊性逐漸顯現：一是它的邊分“腰”與“底”兩類，滿足三角形中的三邊關系;二是它的三個內角分為“頂角”和“底角”，滿足三角形三個內角的和為180°的性質.正是因為“等腰三角形”中“邊”“角”的這些特殊性，才讓它成為各類考題青睞的對象.近年來的各類考題中，常出現以“等腰三角形”為基礎模型的幾何考題，考查學生的直觀感知能力、邏輯推理能力和空間想象能力.同時，考題的形式也靈活多樣，可能是選擇題、填空題、簡答題或作圖題.為此，教師在教學過程中應歸納總結相關解題方法，化難為易，使學生清楚掌握知識點，游刃有余地解決任何題型，這也是我們探究“等腰三角形”問題的方向與重點.

一、原題呈現

例1 用一條長為18 cm的細繩圍成一個等腰三角形.

（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊的長為4 cm的等腰三角形嗎？為什么？

分析 本題為人教版八年級上冊中的例題，考查“等腰三角形”中“邊”的特殊性.（2）中并未指明“腰”和“底”，此時教師需提醒學生進行分類討論.因此，本題需將“長為4 cm的邊”分為“腰”和“底”兩類分析，再與“三角形”三邊關系相結合，考查學生對三角形基礎知識的掌握情況.

例2 （1）等腰三角形的一個角是110°，它的另外兩個角是;

（2）等腰三角形的一個角是80°，它的另外兩個角是.[1]

分析 本題為人教版八年級上冊中的習題，考查“等腰三角形”中“角”的特殊性.題中并未指明“頂角”和“底角”，需將“110°”和“80°”分為“頂角”和“底角”兩大類討論，再結合“三角形三個內角的和為180°”來完成求解.

感悟 由“三角形內角和為180°”可以確定：當已知等腰三角形中的一個角是銳角時，求另外兩個角有兩個答案;而當已知等腰三角形中的一個角是鈍角時，求另外兩個角只有一個答案.

同樣地，如練習題中常出現“已知等腰三角形的一個外角為130°，求這個等腰三角形的頂角”.結合外角的概念可知，外角對應的內角為50°，則求等腰三角形的頂角需進行分類討論.如果將題中的“130°”改成“50°”，則對應內角為130°，那么結合三角形內角和為180°，則明確該角為頂角，無須分類討論.

二、應用實踐

例3 （1）操作實踐：如圖1，△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成的兩個等腰三角形底角的度數;（要求用兩種不同的分割方法）

（2）分類探究：△ABC中，最小內角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應示意圖并寫出△ABC最大內角的所有可能值.

分析 本題表面上看似考查等腰三角形的作圖，實際上是以“等腰三角形”的“對稱性”為基礎知識點，探究“等腰三角形”的性質、判定及“軸對稱”“垂直平分線”的性質等的應用問題.本題對學生的求解能力要求較高，兩個小題的側重點有所不同，深入考查了學生的幾何直觀能力.

（1）如圖2，3所示.

（2）設分割線為AD，相應的角度如圖4～7所示.

故△ABC的最大內角可能值分別是117°，108°，90°，84°.

感悟 （1）（2）題側重考查“等腰三角形”中“角”的特殊性.學生常見的題型為“將頂角是36°的等腰三角形分割成兩個等腰三角形”，部分參考書稱該特殊三角形為“黃金等腰三角形”.而本題變式為“22.5°的直角三角形”，考查了學生的知識遷移能力.本題可補充“直角三角形斜邊上的中線可將直角三角形分割為兩個等腰三角形”的知識點，能使學生較快地解決部分問題.

例4 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6 m，8 m，現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8 m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長.

分析 上例是將已有的三角形分割成特殊的等腰三角形，本題是將已有的三角形擴充為特殊的等腰三角形，且與直角三角形綜合考查，解題方法類似.如圖8～11所示，分別考慮以AB為腰（分為兩小類，以A為頂點，以B為頂點）和以AB為底兩種情況.

三、實踐提升

例5 （模擬考改編題）如圖12～15所示，在3×3的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，A，B兩點在網格格點上，若C點也在網格格點上，且以A，B，C三點為頂點的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點C有個.

分析 題中并未指明等腰三角形的“腰”和“底”，則需從已知的邊AB入手，考慮AB為“腰”和“底”兩種情況.

（1）當AB為腰時：

①如圖13所示，以A為等腰三角形的頂點時，以A為圓心，AB長為半徑畫圓，交點在格點處的有3個，其中點C2與點A，B共線，去除此類情形后有2個點;

②同理，如圖14所示，當B為等腰三角形的頂點時，同①一樣也有2個點.

（2）當AB為底時，如圖15所示，點C在AB的垂直平分線上，有4個點.

綜上所述，共有8個點使得以A，B，C三點為頂點的三角形為等腰三角形.

例6 （中考改編題）在平面直角坐標系中，已知A（2，2），B（4，0），若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C有幾個？

分析 上例以網格紙作為背景來考查等腰三角形的分類情形，本題將等腰三角形“放”在平面直角坐標系中，分類情況類似：

（1）當AB為腰時：

①如圖16所示，以A為等腰三角形的頂點時，可以通過以A為圓心，AB長為半徑畫圓，求與坐標軸的交點的方法求得頂點坐標.此時可得到交點坐標為（0，0），（0，4），其中點（0，4）與點A，B共線，因此此類情形僅有1個點符合題意;

圖16圖17圖18

②如圖17所示，以B為等腰三角形的頂點時，可以通過以B為圓心，AB長為半徑畫圓，求得與坐標軸的交點坐標為（4-22，0），（4+22，0），因此此類情形有2個點符合題意.

（2）當AB為底時：點C在AB的垂直平分線上，同時要求在坐標軸上，求二者的交點即可，如圖18所示，得交點為（2，0），（0，-2）.

感悟 題目中出現“等腰三角形”時，要根據題目中的條件判斷“腰”和“底”，如無法判定則需分類討論.總體上看，一般題目需分為“腰”和“底”兩大類考慮，對于其中“腰”的情況，又要分兩端點分別為等腰三角形頂點的情況考慮.

（改編變式）（原創）在平面直角坐標系中，已知A（2，2），B（4，0），在拋物線y=x2-8x+22x+16-82上存在幾個點C，使△ABC為等腰三角形？

分析 本題是將等腰三角形的模型“嫁接”在二次函數的問題中，其實解法與例6無異.本題同樣以等腰三角形的邊為研究對象進行分類，只不過上例中是在題中要求的“坐標軸”上找點，本題是在二次函數圖像上找點，方法完全一致.如圖19～21所示，同樣是按照等腰三角形的邊分為兩大類，可以直觀地看出共有7個點符合題意.

感悟 實際上，如果學生能夠完全掌握等腰三角形“邊”的這種分類，那么借助圓的知識就可以很容易求出第三個點.這種分類方式可避免漏解，能夠幫助學生直觀找到各個不同點.無論在哪類題型中，遇到類似情況，都能進行知識的生成演變和應用，從而達到“多題一解”的效果.

平面幾何是初中數學的重要組成部分之一，在中考中所占比例較大，而等腰三角形的特殊性更是近年來重點考查的對象，它可以和圓、垂直平分線、平行等相關知識點綜合考查.2017年中考試卷中，烏魯木齊、南充等地均將等腰三角形與二次函數相結合的問題作為壓軸題的最后一步，可見等腰三角形的重要性.因此，學生只有掌握了等腰三角形的性質、判定的應用方法和技巧，并熟練把握它的特殊性，才能靈活應對中考中相關的題型.

【參考文獻】

[1]林群.義務教育教科書數學八年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2013.