極限工況下主動(dòng)前輪轉(zhuǎn)向汽車穩(wěn)定性控制*

李紹松，郭孔輝，仇 韜，陳 虹，王國(guó)棟，崔高健

（1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130012； 2.長(zhǎng)春孔輝汽車科技股份有限公司，長(zhǎng)春 130000；3.吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130025）

前言

主動(dòng)前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)（active front steering，AFS）在不干預(yù)駕駛員轉(zhuǎn)向輸入的情況下，能夠產(chǎn)生保持車輛穩(wěn)定的橫擺力矩，進(jìn)而改善車輛的橫擺穩(wěn)定性［1-3］。針對(duì)AFS系統(tǒng)，目前已有較多成熟的控制方法，如PID控制、滑?？刂啤⒛：刂坪湍Ｐ皖A(yù)測(cè)控制（model predictive control，MPC）［4-7］等。其中，MPC憑借其在處理多目標(biāo)優(yōu)化及約束問題方面的優(yōu)勢(shì)備受學(xué)者的青睞。MPC能夠預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的變化，并根據(jù)既定的性能指標(biāo)選擇最佳的控制動(dòng)作［8-9］。MPC的滾動(dòng)優(yōu)化策略能夠彌補(bǔ)模型失配、畸變、擾動(dòng)等引起的不確定性，但如果模型的誤差過大，仍會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成嚴(yán)重的影響［10］。

輪胎是影響車輛動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的重要因素。當(dāng)車輛側(cè)向加速度較小時(shí)，輪胎力處于線性區(qū)域。此時(shí)，可以用線性輪胎模型來設(shè)計(jì)AFS控制器，有利于減少M(fèi)PC的計(jì)算負(fù)擔(dān)。當(dāng)車輛的側(cè)向加速度較大，或路面附著系數(shù)較低時(shí)，輪胎力處于非線性區(qū)域，并開始飽和。線性的輪胎模型不再能反映輪胎力的實(shí)際變化趨勢(shì)。因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)采用非線性的輪胎模型是非常必要的［11-12］。然而，非線性MPC需要在線求解帶約束的非線性優(yōu)化問題，計(jì)算負(fù)擔(dān)繁重［13-14］。

線性時(shí)變MPC（LTV-MPC）方法通過對(duì)非線性模型進(jìn)行連續(xù)局部線性化，將非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為時(shí)變的線性優(yōu)化問題，降低了系統(tǒng)的計(jì)算負(fù)擔(dān)，被廣泛使用［14-15］。Choi等［16］基于LTV-MPC設(shè)計(jì)了分層式車輛側(cè)向穩(wěn)定性控制器。該方法通過連續(xù)線性化輪胎力，將輪胎的非線性特性反映在擴(kuò)展的“自行車”模型上。類似的輪胎力線性化方法在文獻(xiàn)［17］和文獻(xiàn)［18］中也有用到。但這些線性化輪胎模型的輪胎力在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)是不變的，在預(yù)測(cè)層不能描述輪胎力的非線性特性，極限工況下的控制效果并不理想。因此，很多學(xué)者通過約束輪胎側(cè)偏角或車輛橫擺角速度的方法，保證車輛在極限操縱時(shí)的穩(wěn)定性。但是，強(qiáng)制性的穩(wěn)定性約束會(huì)導(dǎo)致輪胎力不能被充分利用。Erlien等［19］在研究人機(jī)共駕車輛的避撞控制時(shí)發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)制性執(zhí)行穩(wěn)定性約束可能會(huì)與預(yù)期的避撞軌跡發(fā)生沖突，提出穩(wěn)定性控制器應(yīng)允許車輛在穩(wěn)定性約束之外運(yùn)行，以實(shí)現(xiàn)安全避撞。為充分利用輪胎力，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)考慮輪胎力變化方面，也有了一些研究成果。Brown等［20］根據(jù)上一步求解的輪胎側(cè)偏角序列，對(duì)當(dāng)前預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的后輪輪胎力進(jìn)行線性化，并允許車輛短暫地超出穩(wěn)定性約束。然而，僅使用前一步的輪胎側(cè)偏角可能會(huì)出現(xiàn)抖動(dòng)問題。Funke等［21］在此基礎(chǔ)上，提出了一種輪胎側(cè)偏角的正則化形式，較好地解決了這一問題，但僅通過上一時(shí)刻求解的輪胎側(cè)偏角序列來表征當(dāng)前預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的輪胎側(cè)向力，可能會(huì)出現(xiàn)較大偏差。

本文中提出了一種新型的LTV-MPC方法，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)采用時(shí)變的輪胎模型描述輪胎力的非線性特性。該方法無需施加強(qiáng)制性的穩(wěn)定性約束，能夠充分利用輪胎力，擴(kuò)大AFS系統(tǒng)的工作范圍。

1 車輛動(dòng)力學(xué)模型

所使用的車輛模型是簡(jiǎn)化的“自行車”模型，如圖1所示。lf和lr分別為車輛質(zhì)心到前、后軸的距離；Fy，f和Fy，r分別為前、后輪胎的側(cè)向力；β為車輛質(zhì)心側(cè)偏角；γ為橫擺角速度；vx和vy分別為車輛的縱向和側(cè)向速度；δf為前輪轉(zhuǎn)角；αf和αr分別為前、后輪的側(cè)偏角。

車輛側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：m為整車質(zhì)量；Iz為橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并認(rèn)為存在近似關(guān)系cosδf＝1。

圖1 車輛模型

本文忽略輪胎縱向力的影響，采用純側(cè)向滑移工況下的Pacejka輪胎模型［22］計(jì)算輪胎的側(cè)向力：

式中：μ為路面附著系數(shù)，認(rèn)為是已知量；a0＝1.5；a1＝0；a2＝1050；a3＝1200；a4＝7；a5＝0；a6＝0.2。

圖2給出了不同路面附著系數(shù)和載荷下的輪胎側(cè)向力曲線。

圖2 輪胎的側(cè)偏特性

前、后輪胎的側(cè)偏角和垂直載荷定義如下：

2 控制器設(shè)計(jì)

控制策略邏輯結(jié)構(gòu)如圖3所示，包括參考模型、參數(shù)估計(jì)模塊、輪胎模型、模型預(yù)測(cè)控制器和被控車輛，其中被控車輛選用的是CarSim車輛模型。本文中忽略了轉(zhuǎn)向傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，直接以前輪轉(zhuǎn)角作為輸入。參考模型根據(jù)駕駛員輸入δf，dri計(jì)算出期望橫擺角速度γref。參數(shù)估計(jì)模塊用于估計(jì)輪胎側(cè)偏角αi和輪胎垂直載荷Fz，i（i＝f，r）。輪胎模型根據(jù)輪胎的側(cè)偏角和垂直載荷實(shí)時(shí)得到輪胎側(cè)向力及名義側(cè)偏剛度，用于輪胎模型的線性化。模型預(yù)測(cè)控制器優(yōu)化計(jì)算出被控車輛的前輪轉(zhuǎn)角。

圖3 整體控制邏輯

2.1 參考模型的設(shè)計(jì)

車輛的橫擺角速度與車輛的操縱穩(wěn)定性密切相關(guān)，反映了車輛對(duì)駕駛員輸入的響應(yīng)。因此，本文以橫擺角速度為控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)參考模型［1］如下：

式中：Cf和Cr分別為前、后輪胎的側(cè)偏剛度。

2.2 LTI-MPC控制器設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證所提出的LTV-MPC方法的有效性，首先設(shè)計(jì)傳統(tǒng)的LTV-MPC（記作LTI-MPC）控制器，進(jìn)行性能對(duì)比分析。

基于Pacejka輪胎模型，對(duì)前、后輪胎的側(cè)向力在每一采樣時(shí)刻進(jìn)行局部線性化［18］，得到線性化的輪胎力方程如下：

得到LTI-MPC預(yù)測(cè)模型的狀態(tài)空間方程為

式中：狀態(tài)變量x為橫擺角速度γ；控制輸入u為前輪轉(zhuǎn)角δf；干擾輸入d包括車輛質(zhì)心側(cè)偏角β、殘余側(cè)向力和。輸出矩陣C＝1；狀態(tài)矩陣A、輸入矩陣Bu和干擾輸入矩陣Bd如下：

2.3 LTV-MPC控制器設(shè)計(jì)

圖4為預(yù)測(cè)層輪胎側(cè)向力線性化示意圖。當(dāng)輪胎力處于線性區(qū)域時(shí)LTI-MPC具有很好的控制效果，但是當(dāng)輪胎力接近飽和時(shí)，LTI-MPC的控制性能就會(huì)變差。這是由于LTI-MPC的輪胎模型在當(dāng)前時(shí)刻線性化后，在未來的預(yù)測(cè)過程中將保持不變。如圖4中所示，k＋1時(shí)刻，LTI-MPC認(rèn)為側(cè)偏角處的側(cè)向力為，此時(shí)側(cè)向力與實(shí)際值誤差較小。但在k＋P時(shí)刻，LTI-MPC認(rèn)為側(cè)偏角處的側(cè)向力為，此時(shí)側(cè)向力已經(jīng)嚴(yán)重偏離了實(shí)際值。因此，LTI-MPC在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)會(huì)采用偏離實(shí)際的輪胎力。

為避免這種情況，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)對(duì)非線性輪胎模型進(jìn)行了連續(xù)線性化，見圖4，具體如下：

圖4 預(yù)測(cè)層輪胎側(cè)向力線性化

ρk＋i｜k和ξk＋i｜k是和的調(diào)節(jié)因子。

將式（9）代入式（1），得到LTV-MPC的預(yù)測(cè)模型為

將LTV-MPC的預(yù)測(cè)模型寫成如下狀態(tài)空間形式：

對(duì)式（11）連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化，離散步長(zhǎng)為Ts，得到LTV-MPC增量型的離散預(yù)測(cè)模型為

然后，可以得到預(yù)測(cè)輸出，這里省略了推導(dǎo)過程。

當(dāng)輪胎力因外界不確定性因素從線性區(qū)突然進(jìn)入飽和區(qū)域時(shí)，還需要對(duì)ρk＋i｜kΔ和ξk＋i｜kΔ這兩項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整。

圖5 名義側(cè)偏剛度調(diào)整

情況1：實(shí)際橫擺角速度未跟上期望值。

情況2：實(shí)際橫擺角速度大于期望值。

2.4 目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)

目標(biāo)函數(shù)由橫擺角速度跟蹤誤差和控制輸入變化率的加權(quán)組合構(gòu)成：

式中：Γy＝diag（τy）和Γu＝diag（τu）分別為對(duì)橫擺角速度跟蹤誤差和控制輸入變化率的加權(quán)因子。

以上跟蹤控制問題可以描述為

對(duì)于LTI-MPC還需要對(duì)輸出y進(jìn)行約束，以避免車輛發(fā)生嚴(yán)重的側(cè)滑，約束的設(shè)定參照文獻(xiàn)［10］。

本文中采用二次規(guī)劃（QP）方法求解上述帶約束的優(yōu)化問題，定義如下：

式中：x＝ΔU（k）；H為黑塞矩陣；g為梯度向量；E和b為約束矩陣。

3 仿真試驗(yàn)

搭建Simulink和CarSim聯(lián)合仿真環(huán)境，分別進(jìn)行雙移線工況和正弦工況試驗(yàn)，對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。在CarSim中選擇B級(jí)車作為被控車輛。表1和表2分別給出了被控車輛和MPC控制器的主要參數(shù)。

表1 車輛參數(shù)

表2 MPC控制器參數(shù)

3.1 輪胎模型驗(yàn)證

輪胎模型的精確性是保證輪胎模型線性化的前提。汽車以80 km／h的車速行駛在附著系數(shù)為0.3的路面上，正弦轉(zhuǎn)角輸入下Pacejka模型與CarSim輪胎力的仿真結(jié)果如圖6所示。其中Fy，f和Fy，r在“自行車”模型中指前后輪的輪胎側(cè)向力，在CarSim中是指前后軸的輪胎力。

由圖6可知，前輪輪胎力在波峰處基本保持不變或輕微下降，后輪輪胎力在波峰處下降明顯，說明輪胎力已經(jīng)飽和，且進(jìn)入非線性區(qū)。此外，可以看出Pacejka模型與CarSim的輪胎力在波峰處存在一定偏差，但趨勢(shì)和幅值基本相同。因此，本文中所建的Pacejka模型能夠滿足控制器設(shè)計(jì)要求。

圖6 Pacejka模型與CarSim輪胎力對(duì)比曲線

3.2 雙移線工況試驗(yàn)

該試驗(yàn)中，車輛以60 km／h的速度進(jìn)行雙移線操縱，路面附著系數(shù)為0.3。

圖7 橫擺角速度響應(yīng)

圖7為車輛的橫擺角速度響應(yīng)曲線，其反映了車輛的操縱性和對(duì)駕駛員意圖的跟隨情況。從圖中可以看出，在t＝3.6 s時(shí)，LTV-MPC控制的車輛橫擺角速度偏差最小，為3.75°／s，無控制的車輛則為8.03°／s。LTI-MPC由于受到穩(wěn)定性約束的影響，其橫擺角速度偏差明顯大于LTV-MPC，為5.70°／s。另外，LTI-MPC控制車輛的橫擺角速度響應(yīng)延遲比較明顯。無控制的車輛在t＝3.6 s時(shí)出現(xiàn)了明顯的波動(dòng)，這是因?yàn)榍拜嗇喬チσ呀?jīng)飽和，見圖8，車輛前軸發(fā)生了側(cè)滑。盡管LTV-MPC在t＝3.6 s時(shí)與期望值仍存在偏差，但已經(jīng)充分利用了輪胎力，且能夠避免車輛發(fā)生側(cè)滑。

圖8 前軸側(cè)向力

由圖8可知，LTV-MPC控制車輛的輪胎力在峰值處能夠一直保持在2 000 N，輪胎力利用率最高。LTI-MPC的輪胎利用率最低，峰值僅為1 700 N。無控制的車輛由于發(fā)生了側(cè)滑，輪胎力在峰值處出現(xiàn)了明顯下降。

圖9為質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線。車輛的質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)是描述車輛穩(wěn)定性的重要指標(biāo)。從圖9中可以看出，無控制的車輛質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)波動(dòng)最大，峰值為-0.96°，其次是LTV-MPC控制的車輛，峰值為-0.72°。由于受到穩(wěn)定性約束的影響，LTI-MPC控制的車輛質(zhì)心側(cè)偏角變化最小，但這是以犧牲橫擺角速度的跟蹤性能為代價(jià)的。圖10為前輪轉(zhuǎn)角曲線?？梢钥闯?，LTI-MPC計(jì)算出的轉(zhuǎn)角更加保守，且明顯滯后于LTV-MPC。

圖9 質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)

3.3 正弦工況試驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證LTV-MPC的有效性，在路面附著系數(shù)為0.4的路面上進(jìn)行正弦操縱試驗(yàn)，車速為80 km／h。

圖11為車輛橫擺角速度響應(yīng)曲線。可以看出LTV-MPC控制車輛的橫擺角速度偏差最小，相對(duì)于LTI-MPC控制性能明顯提高。圖12為前軸側(cè)向力曲線，其結(jié)果與雙移線試驗(yàn)類似。圖13為質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線，圖中顯示LTV-MPC控制的車輛質(zhì)心側(cè)偏角最大值為0.41°，明顯小于無控制車輛的最大值0.65°。圖14為前輪轉(zhuǎn)角曲線，可以得到與雙移線試驗(yàn)同樣的結(jié)論。

圖10 前輪轉(zhuǎn)角

圖11 橫擺角速度響應(yīng)

圖12 前軸側(cè)向力

圖14 前輪轉(zhuǎn)角

4 結(jié)論

考慮了輪胎的非線性特性，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)對(duì)非線性輪胎模型進(jìn)行連續(xù)線性化，設(shè)計(jì)了新型的LTVMPC控制方法，并根據(jù)車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)輪胎力的預(yù)測(cè)方向和趨勢(shì)進(jìn)行了修正，拓寬了AFS系統(tǒng)的工作范圍，提高了車輛在極限工況下的穩(wěn)定性。仿真驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性，但是該方法還未進(jìn)行實(shí)車驗(yàn)證，下一步將繼續(xù)完善控制策略，提高控制器的求解速度，達(dá)到實(shí)車試驗(yàn)的要求。