打造線性代數金課的探索與實踐

陳榮三 馬晴霞

【摘要】線性代數是我國高等院校理工類和經管類各專業的一門必修的公共基礎課程.在“金課”背景下，筆者根據金課標準和金課建設目標，結合線性代數的多年教學實踐，對線性代數在打造金課過程中的探索和實踐進行了總結，旨在探索創新線性代數的教學模式，進一步提高線性代數的教學質量，為新工科背景下的高質量人才的培養打下堅實的基礎.

【關鍵詞】線性代數; 金課; 教學研究

2008年6月，教育部陳寶生部長在“新時代全國高等學校本科教育工作會”上首次提出了“金課”這一重要概念，后來“金課”被成功寫入教育部文件.2018年11月，教育部高等教育司司長吳巖在第十一屆“中國大學教學論壇”上做了 “建設中國金課”的報告，在報告中提出了金課的標準.金課標準為高階性、創新性、挑戰度，簡稱“兩性一度”.所謂高階性就是將知識、能力和素質三者有機地結合起來，旨在培養學生處理復雜問題的高級思維能力和綜合能力.相對于“金課”而言， “水課”具有低階性、陳舊性和不用心的特點.吳巖司長在報告中明確提出了建設五大“金課”的目標，即線下“金課”、線上“金課”、線上線下混合式“金課”、虛擬仿真“金課”和社會實踐“金課”.報告中吳巖司長強調要調動社會各方面的積極性，為中國“金課”的建設提供政策保障、機制保障、組織保障、經費保障和評價保障.

線性代數是我國高等院校理工類和經管類各專業的一門必修的公共基礎課程，線性代數的教學質量和教學效果直接與工科院校的人才培養息息相關.線性代數的教學內容主要包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型和線性空間與線性變換.線性代數的教學目標是通過該課程的學習，使學生獲得線性代數的基本知識和基本理論，掌握必要的數學運算技能和利用數學軟件進行線性代數計算的能力.這些基本知識、理論以及計算能力對于學生日后的科學研究和實際工作尤為重要.筆者根據金課標準和金課建設目標，結合線性代數的教學內容和教學目標，對打造線性代數金課進行了探索和實踐.

一、線上教學和線下教學兩種模式

根據不同專業實行分層次教學，將線性代數分成A，B，C三個層次，分別對應56學時、40學時和32學時.線性代數A的教學目標為：通過該課程的學習，使學生獲得線性代數的基本知識和基本理論，掌握必要的數學運算技能和利用數學軟件進行線性代數計算的能力.同時培養和提高學生運用數學方法分析和解決問題的能力，為學生后續其他課程的學習打下堅實的基礎，進一步拓寬學生的知識面，為學生以后的科學研究和工作提供一些基本的數學知識和計算方法.線性代數B和C的教學目標為：線性代數是工科及相關學科學生的一門必修基礎課，在工程技術等領域有著廣泛的應用，也是后續課程必備的數學基礎.教師不僅需要傳授線性代數的基本知識，還需要在教學過程中培養學生各方面的能力，比如抽象概括能力、邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力、自主學習能力以及創新能力.線性代數B和C講授內容只相差一個二次型，線性代數B需要講授二次型，而線性代數C 不需要講授二次型.線性代數A采用中國地質大學出版社出版的教材，線性代數B和C采用同濟版教材.

從時間上來分，授課課程可以分成授課前、授課中和授課后;從空間上來分，授課課程可以分成線上授課、線下授課;從學習的角度來分，授課課程可以分成授課前預習、授課過程中的學習和授課后的復習.打造線性代數金課必須將線上和線下有機地結合起來.線上以學生自主學習為主，難度較大的內容以團隊集體協作學習為輔.線下課堂教學，目的在于激發學生的潛力.愛課程“中國大學MOOC”、超星、智慧樹等網絡教學平臺是目前比較成熟的線上教學平臺，操作容易，適合各個年齡段的老師.每次上課前，在網上發布本次課程的學習資料，要求學生對這些教學資源進行自主學習，使學生通過自主學習掌握本次課程的基本內容，為線下課堂教學做好充分準備.教師根據線上網絡學習平臺學生的學習情況制定線下課堂的教學內容，上課前收集學生反饋的信息，匯總凝練出學生的難點，從而精心準備教學內容.線下課堂教學分成兩部分：第一部分是疑難解析，針對課前線上預習的難點，逐個講解，和學生互動，做到基本知識無死角;第二部分采用研討式教學法，首先將學生分成若干個討論小組，教師事先設置好若干個引導性問題，按照課堂學習進度逐步向學生提出問題，學生通過小組內的討論和小組之間的討論來鞏固線上學習的知識.課堂以啟發和引導為主，這樣不僅可以增長學生的知識、開闊學生的視野，提高學生的綜合能力，還有利于建立密切的師生關系，促進教學相長.研討式教學法重在教師的“導”，需要教師設置的問題有一定現實價值，貼近學生的生活，能激發出學生學習的興趣，這就要求教師對所講授的知識有全面和深刻的理解，對學生所具備的基本知識和能力有所了解，而且老師必須熟悉現代化的教學工具和教學手段.研討式教學法同時注重學生學習的自主性，學生要從“要我學”轉變成“我要學”，課前必須做好充分的準備，包括查資料、師生間和同學間的交流學習.教師收集的資源需要全面和充分，這樣有利于師生雙方節約時間.將以前教師單方面的知識傳授轉變成師生互動討論學習，教師需要引導學生敢于表達自己的看法，鼓勵學生都參與到研討中去，使得研討式教學既有廣度又有深度.下課后，不同的學生對知識的掌握程度是不一樣的，需要通過課后線上教學進一步加強和鞏固.教師需要對課堂研討式教學的內容做詳細的總結，對重點、難點做進一步講解，必要時做成視頻，方便學生回顧復習，同時教師需要布置作業和練習，讓學生熟練掌握所學知識點.超星學習通、QQ和微信是學生和教師常用的溝通工具，對于學生反映的問題，教師可以及時答疑，真正實現線下線上有機結合.

二、教學內容和專業的融合

根據學生專業的不同，制定和專業相關的教學內容，采用案例教學法，每章都設置實際案例，實現教學內容和專業的融合.案例教學法起源于19世紀20年代，由美國哈佛法學院前院長克里斯托弗·哥倫布·朗代爾提出.案例教學法于20世紀80年代引入我國.案例教學法就是以案例為基礎，利用一些典型的案例引導學生進入特定事件的場景并學會分析問題，旨在發現其中的規律并將其反饋給實踐，最終達到理論指導實踐的教學目的.下面筆者通過幾個案例來說明線性代數和其他專業的融合.

1.線性代數和計算數學的融合.

對于一個偏微分方程的定解問題，如果需要求數值解，不管是用有限體積法、有限差分法還是有限元法，最后都歸結成一個線性方程組的求解問題.我們看下面的物理問題：長度為 1，側表面絕熱的均勻細桿，初始溫度已知，細桿兩端的溫度已知，求桿內部的溫度分布函數u（x，t）.該物理問題可以歸結成如下一維熱傳導問題的定解問題：

用有限差分法來求解該問題，h表示空間步長，τ表示時間步長，（xi，tk）表示網格節點，用uki表示溫度分布函數u（x，t）在點（xi，tk）處的網格函數，相當于u（x，t）在該點的近似值.關于時間的一階偏導數用中心差商近似，關于空間的二階偏導數用中心差商近似，可以得到如下Crank-Nicolson差分格式：

2.線性代數和管理會計專業的融合

化妝品配制問題：某化妝品制作工廠用原材料A，B，C，D按照不同的配比制作成五種適合不同年齡人群使用的化妝品，編號為 1—5，具體原料配比如下：

1）問題分析

我們首先分析1號化妝品的配制問題，2號化妝品進行類似討論.要配制出1號化妝品，只需要討論3，4，5號化妝品能否按照某種比例混合后，滿足1號化妝品對四種原料的配比要求.在表中求出了五種化妝品的列和（即單位總數）， 我們假設要配制133個單位的1號化妝品，能否由 3，4，5號化妝品混合而成？

2）模型假設

假設原材料是可分的.

3）符號說明

我們規定五種化妝品在表中顯示的原料配比的列和（單位總量）為一份產品， 設配制1份133個單位的1號化妝品需要3，4，5號化妝品x1份、x2份、x3份.

從而將原材料配制的問題轉化為非齊次線性方程組是否有解問題.

三、結論

線性代數是我國高等院校理工類和經管類各專業的一門必修的公共基礎課程，在“金課”背景下，打造線性代數金課的探索與實踐任重而道遠.本文對線上教學和線下教學兩種模式以及教學內容和專業的融合進行了總結，旨在探索創新線性代數的教學模式，進一步提高線性代數的教學質量，為新工科背景下的高質量人才的培養打下堅實的基礎.

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