復合函數在一點的極限與連續性的解析

呂勝利 李靜鉑

【摘要】 復合函數在一點的極限與連續性與構成復合函數的內層函數及外層函數在同一點的屬性有直接的關系，本文舉例分析由兩個函數所構成的復合函數在一點的極限與連續性與這兩個函數各自在同一點的極限與連續性的關系.

【關鍵詞】 復合函數;函數的連續性;函數在一點的極限

1 引言

函數極限與連續性是高等數學的基本概念，函數的極限運算也是中學數學要求掌握的一種基本的運算能力，而連續性的意義對于中學生也是直觀顯見的.本文從高等數學的基本理論出發，分析復合函數在一點的極限與連續性的不同情況.根據函數在一點連續的定義，一個函數在一點有極限是函數在該點連續的必要但非充分條件，而如果一個函數在一點連續，則這個函數在這一點的極限等于該點的函數值.對于復合函數，根據內層函數與外層函數連續性的不同情況，復合函數在一點是否有極限、極限的計算以及是否連續也有各種不同的情況.本文對這些情況給出具體的舉例分析，希望對中學數學及大學數學的教學提供一些直觀的素材.下面給出函數在一點的極限及函數的連續性的基本概念與相關定理.

2 基本概念與定理

4 結語

根據以上分析可以看到，復合函數在一點的極限值與內層函數及外層函數的連續性有直接關系.我們可以給出以下結論：對于復合函數y=f[g（x）]，有U°（x0）Df。g， 且g（x0）=u0，若復合函數y=f[g（x）]在x=x0處不連續，則函數u=g（x）在x=x0處不連續或函數y=f（u）在u=u0處不連續.這一結論可以看作定理3的逆否命題.另外，從不同情況的分析可以看到，若函數在一點連續，在求函數在該點的極限時，極限符號與函數符號可以交換.

【參考文獻】

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