數學建模在高等數學教學中的應用案例研究

李清華 王旭

【摘要】引入數學建模是高等數學教學的有效方式.本文以返券銷售系統設計為案例，通過構造消費效用函數和利潤函數設計最優策略模型，利用高等數學中的積分和偏導運算解決實際問題.教學設計引入數學模型對學生理解和應用高等數學具有積極作用.

【關鍵詞】數學建模;高等數學;效用函數;利潤函數

1 引言

高等數學是現代各個學科知識的理論基礎，其教學過程中無處不體現著數學建模的思維方法.極限、微積分、連續和微分方程等數學思想，以及待定系數法、最小二乘法、連續離散化等數學方法都蘊含了數學模型的建構.數學建模可以在抽象問題和實際問題之間建立聯系.在高等數學的教學過程中可以通過引入數學建模的內容和思維方法分析實際問題，提升學生的數學建模意識和學習動力.本文以經濟生活中的返券促銷現象實施數學模型的應用教學.

2 返券系統設計

某商店采用“返券”優惠促銷，當消費者消費金額滿100元時，該店可贈送50元的“返券”，不足100元的部分不能獲得返券.返券的用法是：每消費100元的商品，可以使用該店的50元返券，在付款時可以抵消50元，不足100元的部分忽略不計.

根據這個問題可以進行延拓，進一步考慮商家如何設計返券，從而獲得最大利潤.首先對符號進行說明.

2.1 消費者的消費行為

將消費者的消費行為分為兩個階段，第一個階段是消費者第一次消費得到返券，第二個階段是消費者使用返券進行抵扣消費.當消費者自我感覺最為劃算的時候效用達到最大.消費者對若干消費品的選擇，在達到每一種消費品的單位貨幣支付所得的邊際效用相等時，實現最大總效用，即稱之為效用最大化原則[1].

假設商家在沒有使用返券促銷活動的情況下，消費者在兩個階段均按照自己的預期消費金額進行消費，設兩次預期消費金額的均值為x.當商家使用返券活動時，在第一個階段，當消費者消費金額大于等于Y1時即可以得到價值Γ的返券，但是該返券并不能用于第一個階段的消費，只能用于第二個階段消費抵扣.在第二個階段，即返券使用時期，當消費金額大于等于Y2時，消費者就可以使用返券來抵扣本次消費，如果消費小于Y則不能使用該返券.

為更好地刻畫消費者的行為，構建消費者消費的效用函數[2]如下：

其中x為消費者最佳的預期消費金額，s為實際的消費金額;ω是消費者實際消費金額小于等于預期消費金額時，每單位一消費金額的效用值（ω>1）;α是消費者實際消費金額大于預期消費金額時，提高單位一消費金額所得到的邊際效用（0<α<1）.消費者的凈效用是效用與成本之差，定義消費者消費行為中獲得的凈效用函數[3]為：

當返券點等于用券點時，消費者的預期消費一共有兩種情況，一是預期消費金額大于等于返券點和用券點，二是預期消費金額小于返券點和用券點.當返券點不等于用券點時，比第一種情況多了一種預期消費金額介于返券點和用券點之間.因此一共有三種情況，在此一一進行討論.

1.當消費者預期消費金額大于等于Y1和Y2時，消費者可直接獲得一張返券，并且在下次消費時也不需要提高預期消費，可以直接使用返券進行抵扣消費.

2.當消費者預期消費金額同時小于Y1和Y2時，且Y1

Ⅱ.當用券點小于預期消費金額小于返券點，并且預期消費金額在Y2，Y1-r·Γ1-α時，消費者不會提高預期消費金額來獲得返券.預期消費金額在Y1-r·Γ1-α，Y1時，消費者會提高預期消費金額從而得到返券，并且第二次消費仍然按照預期消費即可使用返券進行抵扣.

2.2 商家利潤函數

現在考慮商家的利潤，要想研究商家使用返券后的利潤情況，需要同未使用返券促銷的利潤相比較，因此首先考慮未使用返券時商家的盈利模型.

返券促銷和其他的促銷方式不盡相同，返券促銷的對象是在商店中消費達到一定數額的消費者.因此需考慮商店中物品的平均預付資本，即平均進價C以及平均售價P，則利潤可以表示為π=P-C.利潤率是剩余價值和全部的預付資本的比率，利潤率是剩余價值率的轉化形式.利潤率可以考察商家預期利潤的完成情況，也可以用于比較不同商家和不同時期的經營管理水平，從而提高經濟效益[4].用A（0

當商家不使用返券促銷，此時的利潤模型[4]為：

2.3 商家最優策略

現在考慮商家制定返券促銷的最優策略模型，在此假設返券點和用券點相同，記Y1=Y2=Y.通過商家利潤函數可以得到：

3 總結

本案例建構的返券銷售系統最優策略模型、消費效用函數和利潤函數，有效地幫助學生理解和掌握了高等數學中的知識點，比如積分和求偏導.可見，在實際教學過程中，從問題中提煉出需要的數學知識，運用數學建模思想，構造模型的案例，不僅能夠讓學生感受到學以致用，也能夠體現出數學的實際意義，對提高學生運用數學建模思想觀察問題、分析問題、解決問題的能力具有積極作用.

【參考文獻】

[1]馬維娜.教育：“有價”“無價”的互構究竟是怎樣的？——“澤利澤視角”的觸發[J].南京師大學報（社會科學版）， 2019（5）：22-31.

[2]陳奧杰.消費者跨境電商信息偏好程度測算及其影響因素——基于跨境物流產品選擇視角[D].杭州：浙江大學，2018.

[3]王煒.基于零售商返券促銷的供應鏈運作決策與協調策略研究[D].四川：電子科技大學，2014.

[4]安欣.零售商返券促銷策略與模式設計研究[D].四川：電子科技大學，2012.