“當”字型問題的解題邏輯

段雄東

【摘要】“當”字型問題是初中數學常見的一類題型.由于其提問方式具有一定的特殊性，解題過程中容易出現兩種邏輯錯誤：1.把“求證的結論”當作“已知條件”;2.把結論的必要條件當作充要條件.本文以兩道題為例，通過對比錯誤的解法與正確的解法，分析出錯的原因，并總結正確解法的表述方式.

【關鍵詞】邏輯;分析過程;證明過程

在初中數學的學習過程中，我們經常會遇到這樣的一類問題：當為何值時，可以得到給定的結論.我們姑且把這種形式的問題稱為“當”字型問題.在解這類問題時，學生很容易出現以下兩種不同的邏輯錯誤.

一、把“求證的結論”當作“已知條件”

學生在解“當”字型問題時，往往會搞不清楚題目中的已知到底是什么，要求或要證的又是什么.那么在解題過程中就會把“求證的結論”當作“已知條件”.下面我們一起來看一道例題.

例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，動點P從點C出發以1 cm/s的速度沿CA勻速運動，同時動點Q從點A出發以2 cm/s的速度沿AB勻速運動，當點P到達點A時，點P，Q同時停止運動，設運動時間為t s.當t為何值時，點B在線段PQ的垂直平分線上？

顯然這兩個問題的“求證的結論”與“已知條件”是剛好顛倒的.問題1是：已知“點B在線段PQ的垂直平分線上”，要求“t的值”;問題2是：已知“t的值（這個值是多少也是我們去找）”，要證“點B在線段PQ的垂直平分線上”.

那么上面的解法一應該是對問題1的解答.解法二才是此題的正確解法.

可能有人會想：問題2是要通過“t的值”，證明“點B在線段PQ的垂直平分線上”.但“t的值”是多少，又是未知的，那不就相當于在未知的條件下去證明給出的結論.正因為如此，這類題目的解法，先要有一個分析的過程，得出“t的值”，然后在“t值”條件下再有一個證明過程，證明“點B在線段PQ的垂直平分線上”.

其實解法一與解法二的表述唯一的不同就在“∵點B在線段PQ的垂直平分線上，∴BQ=BP”與“當BQ=BP時，點B在線段PQ的垂直平分線上”.也正是這兩句的不同才體現兩種解法邏輯的不同.由于“點B在線段PQ的垂直平分線上”的充要條件是由“BQ=BP”一個條件構成的，我們才可以在解法二中把分析過程和證明過程合在一起，所以解法一與解法二的差別看起來并不是很大.

如果給定結論的充要條件是由兩個或多個條件構成的，就能更好地體現分析過程和證明過程不同的作用.

二、把結論的“必要條件”當作“充要條件”

下面我們再來看例2的三種解法.

例2 兩個全等的直角三角板ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=4 cm.固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：

三種解法得出的結果都是一樣的，當x=4時，四邊形CDBF為菱形，但是只有解法三是規范的.解法一是針對問題“當四邊形CDBF為菱形時，x為何值？”，出現了把“求證的結論”當作“已知條件”的邏輯錯誤.解法二和解法三，雖然都沒有顛倒“求證的結論”與“已知條件”，但是解法三只有分析過程，與解法三相比，少了證明過程.

因為“條件CD=CF”是“四邊形CDBF為菱形”的必要不充分條件，所以由“要使四邊形CDBF為菱形，則必須CD=CF”分析得到必要條件“CD=CF”，從而得出x=4.那也就是說當x=4時，只有必要條件“CD=CF”成立，在此條件下，四邊形CDBF只是有可能為菱形.所以說解法二只有分析過程，分析x=4是怎么得出來的，并不能確定四邊形CDBF一定為菱形.

要判定四邊形CDBF為菱形，后面還必須要有證明過程.例如解法三，通過x=4這個條件，得出DB=CF，再結合DB∥CF，得到四邊形CDBF為平行四邊形，這樣才得到“四邊形CDBF為菱形”的充要條件“CD=CF，四邊形CDBF為平行四邊形”，那么根據菱形的概念“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，我們才可以證明四邊形CDBF為菱形.

“四邊形CDBF為菱形”的充要條件是由兩個條件“條件①：CD=CF”和“條件②：四邊形CDBF為平行四邊形”構成的，解法二錯把必要條件“條件①：CD=CF”當成了充要條件.雖然得出的結果都是x=4，但是作為解答題，解法二是不完整的，是不規范的.如果沒有理解這里錯誤的原因，那么學生在以后的學習中還會犯同樣的錯誤.

就像曹建全老師說的，“解題過程實際上是一個不斷轉化的過程.”在轉化過程中，一般都要求進行等價轉化，即不斷尋求已知條件的充要條件，這樣才能使所求得的解不至于擴大或縮小.

三、中考中的“當”字型問題

“當”字型問題的題目還是比較多的，也是中考中的“常客”，像例3，它是2019年廣東省中考數學卷的壓軸題，其中的第（3）問也是“當”字型問題.

例3 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=38x2+334x-738與x軸交于點A，B（點A在點B的右側），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉得到△CFE，點A恰好旋轉到點F，連接BE.

（1）求點A，B，D的坐標;

（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形;

（3）過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△D D1A相似（不含全等）.

①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標;

②直接回答這樣的點P共有幾個？

分析 第（3）問雖然沒有出現“當”字，但是跟“當”字型問題一樣，我們可以把此問理解為“當點P的橫坐標是多少時，△PAM與△DD1A相似（不含全等）”.這題的邏輯還是比較簡單的.在∠DD1A=∠PMA=90°的條件下，要使得△PAM與△DD1A相似，只要補充兩角對應夾邊的比相等就行，又因為對應關系的不確定，所以要用分類思想.也就是說雖然△PAM與△DD1A相似的充要條件是兩個條件組成的，但是有一個是已知的，所以解題過程中只要說明另一個就行，我們也就可以把分析過程和證明合二為一.如下：

四、總結

數學解題最核心的邏輯是：已知是什么、求解或求證的是什么.像這種的“當”字型問題的解題過程中經常把“求證的結論”當作“已知條件”，或者把結論的必要條件當作充要條件，究其原因主要有兩個：一是已知條件中的數值也是未知的，需要我們通過分析才能得到;二是得到了已知條件中的數值，還要進行證明，得到結論的充要條件.

要做好“當”字型問題的題型，關鍵是要學會怎樣表述解題過程，總結如下：“當”字型問題的解法概括起來分兩種情況.一、若給定結論的充要條件只有一個時，則分析過程和證明過程就可以用形如“當在這個條件（直接寫）時，有給定的結論”的邏輯語合二為一，然后再通過這個條件推算出我們要的值，如例1解法二;二、若給定結論的充要條件是由兩個或多個條件構成時，則分析過程和證明過程就一定要分開.分析過程就用形如“要有給定的結論，則必須有條件①”的邏輯語，在這個條件下推算出我們要的數值，再在這個數值的條件下去證明條件②等剩下的其他條件也成立（證明過程），從而說明了“當在這個數值時，有給定的結論”，如例2解法三.

數學是一門具有嚴密邏輯系統的科學.要想學好數學必須具備三大能力，即運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力，其中邏輯思維能力是核心，因此，培養學生的邏輯思維能力就成為數學教學的重要目的之一.如果我們解題時只重視最后的答案而輕視解題過程的邏輯，就失掉了教學的本意.

【參考文獻】

[1] 王巖.數學解題中的邏輯思想[J].數學學習與研究：教研版， 2012（19）：93.

[2] 曹建全.運用必要條件解題致錯例析[J].中學數學月刊， 2005（5）：43-45.

[3]曹建全.數學解題中的常見邏輯失誤例析[J].上海中學數學，2006（6）：27-29.