歐拉線的證明方法

張柱 馬曉霜

【摘要】三角形的“三心”是平面幾何的重要內容，本文基于維果斯基最近發展區理論，通過高等教育中射影幾何內容對歐拉線進行證明，為學生構建高一級的發展水平.引導學生積極思考、探索交流.德薩格定理是證明共線共點問題的優質工具，本文首先給出德薩格定理的證明方法，然后根據德薩格定理證明三角形“三心”共線.期望此種證明方法能夠成為引發學生積極思考、努力探索的教學素材.

【關鍵詞】德薩格定理;歐拉線;三角形

一、前 言

在人教版初中數學教材中引入了三角形等平面幾何知識，其中便涉及了三角形的“三心”.三角形的“三心”指的是三角形的外心、垂心和重心，它們是三角形的重要性質，但是在中學平面幾何中教師往往只關注于學生如何利用三角形“三心”的性質解決平面幾何問題，而對三角形“三心”的聯系的關注較少.然而三角形的“三心”之間也存在一定的聯系，歐拉在《三角形幾何學》中提出三角形的“三心”位于同一直線上，故而將這條直線稱為歐拉線.雖然歐拉線在初中教科書中沒有具體涉及，但歐拉線卻是一個完美的數學文化素材，對于在課堂中滲透數學文化、培養學生核心素養有著非常積極的作用.因此在學習完三角形內容之后教師可以向學生介紹歐拉線的由來以及歐拉線的證明方法.關于歐拉線的證明方法較多，證明思路各異，教師可以引導學生自行證明，最后再補充幾種證明方法，期望通過此環節激發學生積極思考、勇于探索的精神.目前關于歐拉線的證明方法較多，李善明和魏春強總結了歐拉線的證明方法包括：幾何綜合證法、位似變換證法、向量證法和解析證法.[1]這些方法全部都是基于中學生現有知識水平的證明方法，目的在于讓學生靈活運用所學知識解決問題，但對學生思維能力的提高作用效果不明顯.根據維果斯基提出的最近發展區理論.教育教學要著眼于學生的最近發展區，給學生提供一些帶有難度的知識，為學生發展提供支架.[2]德薩格定理在高中知識體系中沒有涉及，對于中學生來說是具有一定難度的新知識，但是德薩格定理是證明共線共點問題的重要工具，所以在中學幾何教學過程中，教師可以向學生介紹德薩格定理，但是不需要他們掌握定理的證明方法.故本文將應用德薩格定理證明歐拉線，幫助學生構架下一水平發展區，通過此種證明方法激發學生積極思考、勇于探索的精神，增強高等幾何與中學幾何之間的聯系.

二、德薩格定理的證明

德薩格定理：設有兩個三點形，它們對應頂點的連線交于一點，則對應邊的交點共線.[3]

由此可見：此種證明方法步驟簡單、思路清晰，其實就是對德薩格定理的直接運用，學生理解的困難更多的是來自德薩格定理本身的證明方法和一些新的概念，比如三點形.此時學生便會產生疑問，三點形和三角形有什么區別.當然這些知識已經超越了學生現有知識水平.屬于最近發展區中第二個發展水平，教師可以在教學中滲透相關內容，引導學生思考探索.最后期望教師能將這種方法引入到中學幾何課堂中，幫助學生構建最近發展區，同時也滲透一定的高等幾何內容，為學生今后的學習發展打下堅實的基礎.

四、三角形三心的應用

三角形的三心具有幾個重要性質，運用這些性質解決幾何問題是初中階段的重點內容，下面以重心為例，闡述三角形三心在幾何問題中的應用.

【參考文獻】

[1]李善明，魏春強.歐拉線定理證法集萃[J].內江科技，2008（11）：40，66.

[2]徐美娜.“最近發展區”理論及對教育的影響與啟示[J].教育與教學研究，2010（5）：14-16，23.

[3]梅向明，劉增賢，王匯淳，等.高等幾何：第三版[M].北京：高等教育出版社，2008.