圓周率的一個新公式

魏宇輝 曹明響

【摘要】本文通過對等邊三角形內切圓進行分割，利用高等數學的極限思想及一階二次遞歸數列得到圓周率的一個新的計算公式.新公式相比于已有的圓周率計算公式，不僅在精度上而且在計算時間上都有很大的優勢.當循環次數不超過20時，可得到小數點后12位;當循環次數等于21時，可得到小數點后一千萬位.本方法可以作為計算圓周率的一種簡單的、精確度高的方法.

【關鍵詞】圓周率;內切圓;極限;一階二次遞歸數列

一、引言

圓周率用第十六個希臘字母π表示，是精確計算圓的周長與面積、球的體積等幾何圖形的關鍵常數，在數學、物理學、天文學等領域中有著重要的作用.圓周率的計算最早可追溯至公元前3世紀，其計算方法更是多種多樣.本文基于三角形內切圓的分割，根據扇形面積與三角形面積近似相等的想法，得到一個計算圓周率的公式.

二、歷史上對π的探索

（一）幾何算法

公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德利用單位圓的內接正多邊形和外接正多邊形，不斷對正多邊形的邊數加倍來逼近圓周.公元3世紀中期，中國劉徽創立了割圓術，這是圓周率古典計算方法上的突破.通過不斷對圓內接正多邊形的邊數增倍，使得正多邊形的周長無限逼近圓的周長.在歷史上取得巨大成就的當屬公元5世紀的中國數學家祖沖之，他給出圓周率介于約率22[]7和密率355[]113之間.他演算出的圓周率值有8位，此成果在當時是最精確的，在世界上保持了近千年的紀錄.

（二）分析算法

利用分析法求圓周率的值是基于無窮級數進行計算的，它突破了求多邊形的邊長的繁雜過程，給出圓周率的顯性解析式.1579年，法國數學家韋達首次提出了關于圓周率的關系式.

1650年，英國數學家約翰·沃利斯利用微積分推出圓周率的公式.此后，英國數學家夏普、德國數學家萊布尼茨、英國天文學家馬青及瑞士數學家歐拉等都利用反正切函數的級數展開式給出不同的圓周率計算公式.晚清時期，中國數學家李善蘭在用尖錐術求圓面積的時候，得到了圓周率的公式.由于圓周率在理論研究和實際應用中的重要作用，人們對圓周率的研究與探索從未停下腳步.關于圓周率的歷史演算方面的詳細敘述請參閱文獻[1-3].

三、利用正三角形內切圓求π

五、結論

1.本算法通過對正三角形內切圓進行不斷分割，利用微元法思想聯系三角形面積與扇形面積在無限次切割后相等，從而聯立等式.利用三角函數與一階二次遞歸數列不斷化簡，從而得出了圓周率的一個新公式.

2.當n=10時，使用本文所提出的公式可準確算出圓周率的小數點后5位;當n=21時，可準確算出圓周率的小數點后12位;當n=23時，目前測試結果顯示可精確到小數點后一千萬位，精確位數上限未知.

注意：

對于本文的計算方法可以推廣到在圓內取任意圓心角為α，α∈（0，π），以圓的半徑r，作等腰三角形.對該三角形進行多次分割后，三角形面積則會無限接近于對應的扇形面積，下面給出證明過程.

【參考文獻】

[1]強春晨，劉興祥，岳育英.圓周率計算方法發展史[J].延安大學學報（自然科學版），2012（02）：42-46.

[2]楊旭.圓周率π的歷史演算與歷史作用[J].科技資訊，2013（03）：206-208.

[3]魏曉妮.歷史上對圓周率的探索[D].臨汾：山西師范大學，2013.

[4]吳潤鑫.關于圓周率的又一種解法[J].數學學習與研究，2018（03）：151-153.