MIMO隨機振動試驗控制的逆多步預測模型法

鄭威，陳懷海

南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016

多輸入多輸出(Multi-Input-Multi-Output, MIMO)隨機振動試驗，因其可以更好地模擬試驗對象的真實工作狀態，是一種重要的振動環境試驗手段,廣泛運用于航空航天領域[1-7]。MIMO隨機振動試驗，要求控制點的響應譜與參考譜間誤差滿足容差要求，該控制目標一般都是通過頻域方法實現的，采用時域化方法的很少。Cui等[6]提出使用一種基于Markov參數的時域方法，用于改善多輸入多輸出隨機振動控制過程中出現的病態問題。此外，時域控制方法更適用于控制非高斯信號[8]的情況。

逆系統方法是一類將系統響應作為輸入得到驅動信號的時域方法，它起源于載荷識別領域。Kammer和Steltzner在一系列文章[9-10]中提出并發展的逆結構濾波器(Inverse Structural Filter, ISF)是逆系統方法的一種典型代表。Allen和Carne[11-12]針對ISF在小阻尼結構中經常出現的不穩定現象，根據工程經驗提出了延遲多步ISF方法，但并未給出理論解釋。逆系統方法也可以用于振動試驗中驅動信號的生成。陳懷海等[8]基于ISF方法嘗試使用逆系統方法進行隨機振動試驗的信號生成，并進行了懸臂梁仿真。Zheng等[13-14]對系統的時域轉移矩陣求逆構造逆系統，但忽略了由奇異值截斷對驅動信號質量的影響。

本文從時域有限差分模型入手，推導系統的逆多步預測系統，并利用該逆系統進行驅動信號生成；最后經仿真算例與振動臺試驗驗證了該方法的可行性。

1 逆多步預測系統

傳統逆系統方法直接對原系統的狀態空間模型求逆[9,10,15]，但得到的逆模型往往是不穩定的[12]；此外，實際試驗系統的狀態空間模型難以直接由理論推導得到，需通過ERA (Eigensystem Realization Algorithm)等手段識別[16-17]，這增加了驅動生成過程的復雜度，因而限制了這些時域化方法在MIMO隨機振動試驗中的應用。本文從系統的多步預測模型出發，得到更為穩定的逆多步預測模型，用于MIMO隨機振動試驗驅動信號的生成。

多步預測模型由系統的有限差分模型推導得到。有限差分模型將振動系統描述為當前時刻的輸出與有限個過去時刻的輸入與輸出的線性組合關系。對于一個ni輸入no輸出的振動系統，其在k時刻的驅動與響應關系依有限差分模型可寫為

(1)

(2)

(3)

取j=1,2,…,q-1(q為多步預測模型預測響應步數)，即預測系統從k到k+q-1時刻的響應，由式(1)～式(3)可以得到系統的多步預測模型為

yq(k)=Tuq(k)+Bup(k-p)-Ayp(k-p)

(4)

式中：

(5)

將式(5)中q與p、k與k-p進行替換即可類似地寫出up(k-p)和yp(k-p)的表達式，式(4)中的系數矩陣為

(6)

(7)

(8)

如果T矩陣可逆，可以得到多步預測模型的逆為

uq(k)=T-1Tuq(k)=

T-1yq(k)+T-1Ayp(k-p)-T-1Bup(k-p)

(9)

然而實際系統的T矩陣往往接近奇異，這時可以利用截斷奇異值(Truncated Singular Value Decomposition, TSVD)法求逆，以獲得穩定的結果[19-20]。由于截斷奇異值法只選擇前r階奇異值，得到的偽逆矩陣T+滿足：

(10)

式中：Ir為r×r維單位矩陣。

(11)

式中:

(12)

(13)

在試驗中，獲得逆多步預測模型具體的步驟包括：① 對系統進行白噪聲激勵，估計系統差分模型參數；② 通過式(3)和式(6)～式(8)的計算，得到系統的多步預測模型；③ 對T矩陣依截斷奇異值法求逆，并根據式(11)～式(13)計算得到逆多步預測模型。

2 隨機振動試驗算法

將第1節推導得到的逆多步預測模型與矩陣冪次算法[2]結合，構成一種MIMO隨機振動控制試驗算法。

逆多步預測模型將目標響應作為輸入，計算得到隨機振動試驗的驅動信號。這里的目標響應即參考信號，是根據用戶設置的參考譜生成的時域信號。MIMO隨機振動試驗中，一般給出參考譜的功率譜密度，乘以頻率分辨率即轉換為參考功率譜R。

生成參考信號的過程包含偽隨機信號生成與時域隨機化2部分。在生成偽隨機信號前，先應得到其頻譜

Y(f)=L(f)P(f)

(14)

(15)

對偽隨機信號進行時域隨機化[2]，即可得到任意幀長度的真隨機信號。使用該真隨機信號作為參考信號，由逆多步預測模型生成驅動信號。

從式(11)可以看出，逆多步預測模型中輸入的參考信號的長度大于輸出的驅動信號的長度。因此，在生成驅動信號的過程中，參考信號是重疊使用的，如圖1所示,圖中，l為逆多步預測模型生成激勵步數。

圖1 逆多步預測模型驅動信號生成過程

之后，通過矩陣冪次算法對參考信號進行調整，再將修正后的參考信號代入逆多步預測模型，實現對驅動信號的更新。矩陣冪次算法可以有效的防止Smallwood差分算法[21]可能導致的發散問題，提高了算法的穩定性。傳統的矩陣冪次算法直接對驅動信號進行更新[2]，而本文中它被用于對參考信號的調整。

矩陣冪次算法以矩陣乘法形式對式(14)中的下三角矩陣L進行迭代更新，第n+1次迭代表示如下：

Ln+1=ΔεLnn=0,1,2,…

(16)

式中：ε∈(0,1)為壓縮因子，防止控制結果的不穩定。誤差矩陣Δ的計算公式為

(17)

式中:L0為由參考譜Cholesky分解得到的下三角陣;Ly則由響應譜分解得到。本文提出的完整的控制流程如圖2所示。

圖2 基于逆多步預測模型的矩陣冪次控制

3 仿真算例

本文以懸臂梁作為仿真對象，進行雙輸入雙輸出隨機振動試驗控制試驗。懸臂梁的幾何參數與材料屬性見表1，激勵與響應點的配置如圖3所示。

參考航空航天振動試驗標準要求，隨機振動控制試驗的頻率范圍取20～2 000 Hz，參考譜中自譜密度各段的幅值與斜率如圖4所示，Oct表示倍頻程，響應點間相關系數取0.6，相位差取30°。

表1 懸臂梁參數

圖3 兩輸入兩輸出振動試驗懸臂梁

圖4 參考譜的自功率譜密度

使用白噪聲對試驗件進行激勵，得到系統的逆多步預測模型。之后，進行控制試驗模擬，使用初始生成的驅動信號進行激勵，所得響應自譜結果如圖5所示，響應點間的相關系數與相位角分別如圖6(a)與圖6(b)所示。從圖中可以看出，對于該仿真系統，逆多步預測模型能夠很容易的生成滿足控制要求的驅動信號。

圖5 響應點1與響應點2的自譜

圖6 響應點間相關系數和相位差

4 試 驗

為進一步驗證該MIMO振動控制試驗方法，在三軸振動臺上進行試驗，試驗系統的構成如圖7所示。考慮到工程中部件級試驗時多對振動臺面的加速度進行控制，所安裝的試件對這種控制過程的影響可忽略，因此本試驗僅對振動臺面的加速度進行控制。

圖7 MIMO隨機振動試驗系統的構成

試驗頻率范圍為20～2 000 Hz，自譜密度如圖8所示，各軸向間相關系數均取0.6，X-Y、Y-Z軸向間相位差取30°，X-Z軸向間取60°。

首先采用白噪聲激勵，依第1節中所述步驟，估計得到系統的逆多步預測模型參數，并據此生成初始驅動信號。在實物試驗中，如果逆多步預測模型生成異常驅動信號，可能會對試驗系統產生損害。因此，可預生成一段較長的驅動信號，在該信號無幅值超標等情況時，才可以進行試驗。

圖8 三軸振動試驗參考譜的自功率譜密度

控制前的自譜、相關系數與相位差分別如圖9、圖10和圖11所示。從控制前的響應結果中可以看出，由于噪聲等干擾因素影響，初次生成的驅動信號一般無法滿足試驗要求。經過控制算法的三次迭代修正后，如圖12所示，振動臺3個軸向的自譜密度均已滿足±3 dB的容差要求，同時各軸向間的相關系數(見圖13)與相位差(見圖14)也取得了理想的控制效果。

圖9 控制前的自譜

圖10 控制前的相關系數

圖11 控制前的相位差

圖12 三次迭代后的自譜

圖13 三次迭代后的相關系數

圖14 三次迭代后的相位差

圖15中比較了本文提出的逆多步預測模型法與傳統的矩陣冪次方法，自譜的總體均方根值誤差隨迭代過程的變化。在同樣的試驗條件下，逆多步預測模型法同樣取得了良好的迭代效率，并繼承了矩陣冪次方法不會產生負值問題的優點。但由于逆多步預測模型法，直接在時域由參考信號生成驅動信號，采用的參考信號可以更靈活。

圖15 迭代過程

5 結 論

本文給出一種了MIMO逆多步預測模型，利用該逆模型進行驅動信號生成，并結合矩陣冪次算法，構成了一種MIMO隨機振動試驗控制方法。

仿真算例的結果表明，由逆多步預測模型生成的驅動信號可以一次使響應滿足試驗要求；但在振動臺的實際試驗中，由于噪聲等干擾因素影響，初次生成的驅動信號不能立即滿足試驗要求，但通過控制算法調整，可將響應控制在容差范圍內。仿真算例與振動臺試驗驗證了本文方法的有效性和可行性。