數學計算從數數到法則創造

白延秋

在數學教學過程中，筆者常常思考數學是什么？也許有很多的答案，但筆者更崇尚數學是數數的一門學問，在數的過程中，數到十個，成為一捆，就是一個十，十個十就是一百……數著數著加法就產生了;當加數相同時，為了簡便運算，乘法就產生了;隨之減法、除法以及乘方、開方等運算相繼產生。整個從數數到法則的創造，就是從生活中出發到數學創造的過程。難怪，荷蘭數學教育家費萊登塔爾說：“數學學習唯一而又正確的方法，就是實行再創造。”

數學學習從數數開始

對于剛剛接觸數數的孩子來講，他們愿意數數的動力未必是實際的需要，更多的是好奇——怎樣才能不斷地數下去，進而愿意進行這種智力冒險活動。不妨設想這種情境：在成人的引領下，孩子開始數積木或別的什么玩具的個數。不斷的實踐經驗，促使孩子能順利地數，數具體物品的經歷多了，脫離具體事物，繼續數下去的欲望也就漸漸產生，遇到困難時，他就會問別人下一個數是幾？他的困難可能往往是在20、30……這些“拐彎兒”的地方，越過這個坎兒，他就能興致勃勃地數下去，到了下一個節點，可能又不行了……如此反反復復，不知什么時候，孩子會小心翼翼地、甘愿冒險地數下去——他既想著獨立邁過這個坎兒，又擔心出錯，一邊想，一邊看著成年人。如果他能成功越過險關，那種激動的心情是很強烈的。這確實是值得特別慶賀的事，因為孩子發現了數數（十進制）的重大規則。從此，數數的道路上基本沒有什么困難了，到了整百的地方也會很容易邁過去，他已經擁有足夠多的經驗來應對新情況了。

小學數學教材往往把數數的內容分成幾段：10以內，20以內，100以內……這種分段教學，好處是降低了難度，便于學生掌握相應的內容，但其損失也是致命的：學生喪失了獨立獲得數數規則的機會。筆者想，能否把數數作為一個專門的教學活動來安排？能否以100為一個階段，100到200為一個階段？剛入學的孩子，其數數的經歷已有很大差別，有些孩子能自如地數數，有的就很困難。教師可以對不同水平的學生布置不同的任務：一個一個地數、兩個兩個地數。只要任務具有合適的挑戰性，就能發展個體的智慧。

實踐表明：大約一個月，大部分學生就能很流利地數偶數了;但數奇數較困難，要延續更長的時間來訓練。我們不妨從孩子的角度想想，之所以困難，是因為還沒有“發現”規律，不斷地數，就要不斷地嘗試，用自己的經驗和設想去分析、歸納，直到某一天，眼前一亮：“啊，我知道怎么數了！”這種數數的教學活動，對于學生的心智發展是很有好處的。最大的收獲是自己發現了規則。同時，學生對基數、序數的意義也在自然地發展著。加法的含義、減法的含義也會不斷地強化：往“里”數就是不斷地加，往“外”數就是不斷地減。課堂觀察表明，當學生能比較順利地小規模地群數（2個、3個）的時候，其運算水平也就沒有什么問題了。并且，群數還為乘法的引入奠定了基礎。

學生數數的時候，老師要適當地用教具給予直觀支持，北京特級教師馬芯蘭提出的“數位桶”方法就很好，數到十就捆成一捆兒，放到另一個桶里……十進制的規則就這樣清晰地建立起來了。倒著數的時候，就反方向演示。從目前的教材編排和課堂實際看，我們的數數活動分量太少了，數數的區間也小，這就阻礙了學生充分感知自然數列的機會。實踐表明：把數數作為一個重要的、長期的教學活動來進行，其綜合效益是令人欣慰的。

讓學生自己創建筆算加法規則

在孩提時代學習數學的過程中，我們經常有這樣的疑問：為什么筆算加法、減法、乘法要從低位算起，而除法要從高位算起;為什么計算除數是小數的除法時，要先把除數變成整數，再移動被除數的小數點，反過來行不行？英語中有26個字母，方程中的未知數既不從A開始，也不從末尾的Z開始，偏偏從X開始表示，這是為什么？記得《光明日報》2002年9月3日第二版刊載：水稻專家袁隆平在學生時代也遇到過類似的問題，當他提出“在乘法運算中為什么負負得正”的問題時，得到的回答是：“你只要記住怎樣做即可，不必關心為什么這樣做。”有了幾次類似的經歷后，結局是袁隆平先生放棄了對數學的追求。這是一個多么可怕的現象：在數學學習生活中，學生的追根求源、決不放過任何疑問的欲望沒有得到鼓勵和加強，反而，天然的求知欲望被壓抑，我們在數學學習過程中習得了“不必問為什么”的觀念和習慣。久而久之，言聽計從，人云亦云，個性萎靡，思想麻木，就成為必然的“學習成果”之一。扭轉這種局面是課程改革的目的之一。作為教師，要從每一節課做起，把教材改造成有利于讓學生理解知識是怎樣產生的研究素材;把教學過程變成實踐研究、各抒己見、分享群體智慧的過程。

在具體實施過程中，教師要尊重和順應學生的思維方式，讓他們在潛移默化中形成筆算加法的規則。學生通過多思路所角度思考，形成自己的見解，并從多種解題思路中選出一種最簡單、最適合自己的計算方式。這是一個創建規則的過程。同時，在他們思考的過程中，這些規則和算法也不會再充滿秘密且需要生搬硬套。經歷這個遴選過程，有利于增長智慧，強化情感體驗，深化對數學的理解。關于乘、除、乘方、開方等運算在此不再贅述。

結束語

數學學習從數數到法則的創造，以至于加減乘除、乘方、開方等形成運算法則，這正是數學創造的過程。今天的數學教育要沿著這條再創造的路線去生成和發展。

（作者單位：山東省濟南市上新街小學）