基于協方差矩陣重構的互質陣列DOA估計

盤敏容， 蔣留兵2,3， 車 俐2,3， 姜 興

(1.桂林電子科技大學信息與通信學院， 廣西桂林 541004； 2.桂林電子科技大學廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室， 廣西桂林 541004； 3.桂林電子科技大學計算機與信息安全學院， 廣西桂林 541004)

0 引言

在陣列信號處理中，波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計算法被廣泛應用于雷達、聲吶和無線通信等領域，基于均勻線陣(Uniform Linear Array，ULA)的DOA估計技術成熟且陣列結構簡單，是最常用的陣列DOA估計方法[1-2]。近年來，由于互質陣列在相同陣元數下較均勻陣列有更大的孔徑，由于其出色的性能引起了廣泛的關注[3]。然而，由于互質陣列的非均勻性，該陣列相應的DOA估計算法較均勻線陣更難實現，故互質陣列DOA估計算法具有一定研究意義。將互質陣列通過某種方式拓展成虛擬陣列，虛擬陣列陣元數比實際的陣元數多，在一定程度上可以增加自由度(Degrees-of-Freedom，DOF)。由互質陣拓展得到的虛擬陣列由于缺失陣元而不是線性均勻陣列，運用傳統的DOA估計方法無法得出準確的波達方向。為了解決這個問題，利用虛擬陣列的最大連續陣元的信息進行空域平滑的DOA估計，但該方法會損失不連續陣元的信息，影響DOA估計的自由度和分辨率[4]。文獻[5]通過將組成互質陣中的較小均勻線陣的個數加倍，用虛擬陣列的最大連續陣元的信息進行空域平滑的DOA估計提高了自由度和分辨率，但實際陣元數的增加會占用更多的空間資源。本文提出的算法在保持實際陣元數不變的情況下，通過陣列內插的方式將虛擬陣列缺失的陣元補齊從而達到線性均勻的虛擬陣列，重構協方差矩陣并優化相關的元素進行DOA估計，提高了自由度和分辨率。

1 信號模型

圖1給出了互質陣的陣列結構。該陣列由圖1(a)中的兩個稀疏均勻線陣(ULA)嵌套構成，記為子陣1和子陣2，互質陣中子陣1和子陣2的第1個陣元相互重合。子陣1有M個陣元，陣元間距為Nd，子陣2有N個陣元，陣元間距為Md，M和N為互質的整數，d=λ/2，λ一般為半波長。由于M和N的互質性，除了第一個陣元，該互質陣列其他陣元不會相互疊加，陣元數為M+N-1。

A(θ)s(t)+n(t)

(1)

計算互質陣列接收信號x(t)的協方差矩陣如式(2):

Rx=E(x(t)xH(t) )=

(2)

由于Rx在實際應用中無法直接獲得，在經典DOA估計中，其值通常由樣本協方差矩陣代替為[6]

(3)

式中,T表示快拍數。

2 互質陣列DOA估計

目前利用互質陣列進行DOA估計的方法主要有兩種[7]，一是利用互質陣的子陣列進行DOA估計，聯合兩個子陣列的估計結果進行角度的解模糊，但該方法對信源分辨的個數小于子陣列的個數；二是對互質陣列接收信號的協方差矩陣矢量化后構造虛擬陣元，然后利用該虛擬陣列進行DOA估計。為了充分利用互質陣列的信息，更大地提高其自由度，本文采用方法二進行分析。

2.1 互質陣列的虛擬陣元拓展方式

(4)

Ldiff1={±(Mn-Nm)|n=0,1,…,N-1,

m=0,1,…,M-1}

(5)

該差分集對應的矢量

(6)

式中，C1為位于Ldiff1d的互質虛擬陣列的導向矢量構成的矩陣，i1表示iv中取出重復陣元后的陣列對應的元素。

圖2 互質陣列以及拓展的虛擬陣列

現以子陣1陣元數M=3,子陣2陣元數N=5為例，對互質陣列的虛擬陣元拓展以及虛擬陣列的DOA估計進行分析，則實際陣元的位置為{0,3,5,6,9,10，12}。由此集合得到具有重復元素的差分集L1為{0,-3,-5,-6,-9,-10,-12,3,0,-2,-3,…,1,0,-2,12,9,7,6,3,2,0}，重復陣元位置的元素取均值并進行重排處理得到差分集L2為{-12,-10,-9,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,9,10,12}，如圖2(b)所示。雖然圖2(b)中的陣列相對于互質陣列陣元數增加，但在位置{-11,-8,8,11}處存在虛擬陣元的缺失，導致該虛擬陣列是一個非均勻陣列。

2.2 最大連續虛擬陣列空域平滑DOA估計

如圖3所示，將該陣列分解成L=(|L3|+1)/2個相互重疊的均勻子線陣，|·|表示集合的基數，每一個均勻子線陣包含L個連續虛擬陣元，v2,p，l=1,2,…,L分別為L個子陣的矢量信息。進行空域平滑得到矩陣：

(7)

最后利用子空間類算法對矩陣Rv進行特征分解，張成對應的子空間，從而實現DOA估計。

圖3 最大連續虛擬陣元的空域平滑

2.3 基于虛擬陣列內插的協方差矩陣重構DOA估計

利用最大連續虛擬陣元的矢量信息進行DOA估計的方法會造成部分接收信號信息的丟失，從而影響后續DOA估計的精度并降低自由度。為了充分利用虛擬陣元的信息，我們引入了陣列內插的思想來構造一個包含L1中所有虛擬陣元的均勻陣列，形成如圖4所示的虛擬陣列L4。建立L4的向量化協方差矩陣v3和L1向量化協方差矩陣v1之間的關系，原虛擬陣元的等效信號不變，插入陣元接收到的信號為0[9]:

(8)

同理，v3是一個秩為1的向量，無法直接分辨多個信號源，需要通過圖4空域平滑來解決。由于v3關于原點對稱，利用式(9)簡化初始的協方差矩陣，該矩陣包含了線性虛擬陣元中的全部信息，故省略空間平滑過程，即

R2=T(v3+)

(9)

(10)

式中，ε為協方差矩陣擬合誤差，rank(·)為矩陣的秩。

圖4 內插虛擬陣列空域平滑

為簡化式(10)中的優化問題，定義與矩陣R2相同維度的投影矩陣P，矩陣R2與P中的元素均與圖4的內插均勻陣列的矢量元素對應，但矩陣P對應內插陣元的元素值為0，其余為1。引入矩陣的跡，將式(10)中的優化問題轉化為凸優化問題[10]：

s.t.T(z)0

(11)

式中,τ為正則化參數，‖·‖F表示計算Frobenius范數。在計算以向量z為第一列的厄米特托普利茲矩陣時，由于z是由復數元素組成的向量，該向量的第一個元素無法進行共軛拓展，故先將向量z的第一個元素定義為實數，并且在完成向量z的整體優化后再單獨優化向量z的第一個元素。最后利用子空間類算法對優化重構后的矩陣T(z)進行特征分解，張成對應的子空間，進行譜峰搜索，得到波達方向。

2.4 算法步驟總結

根據上述分析過程，將基于虛擬陣列內插的協方差矩陣重構DOA估計算法的主要步驟歸納如下：

步驟1： 根據互質陣模型以及預設入射角，求解接收信號的協方差矩陣，如式(3)并對協方差矩陣進行向量化處理，如式(4)，初步構造虛擬陣列模型，如式(6)；

步驟2： 對不連續的虛擬陣列進行內插，在構造的均勻虛擬陣列的基礎上初始化協方差矩陣，如式(8)、式(9)；

步驟3： 利用初始化的協方差矩陣進行凸優化，初步重構協方差矩陣，如式(11)，然后優化矢量z的第一個元素以完成矩陣T(z)的重構；

步驟4： 對重構后的矩陣T(z)進行特征值分解，依據信號子空間和噪聲子空間的正交性，進行譜峰搜索，最終得到DOA估計結果。

3 實驗和結果分析

為了驗證算法的性能，分別對最大連續虛擬陣列(Maximum Continuous Virtual Array，MCVA)DOA估計算法和協方差矩陣重構(Covariance Matrix Reconstruction，CMR)DOA估計算法進行仿真對比分析?；谏鲜鲫嚵心Ｐ秃退惴ㄟM行了仿真分析,其中兩組互質的稀疏均勻陣列的陣元數分別為M=3,N=5，由這兩組陣列組成的非均勻陣列的陣元數為M+N-1=7，分別位于{0,3d,5d,6d,9d,10d,12d}，d=λ/2。正則化參數τ的取值為2.2×10-5，步驟3對矢量z第一個元素最后的優化值為6.0。

實驗1 不同信源數時算法的檢測性能仿真實驗

為了驗證兩種算法的檢測能力，設置仿真條件：信噪比SNR=5 dB,快拍數K=1 000,來波分布在-50°～50°之間，對信源數為K=7和K=9作了仿真。圖5給出在多目標情況下利用MCVA算法和CMR算法計算出的空間譜，豎線為所設置的信號源入射角。當M=3,n=5時，是式(7)中MCVA算法空域平滑計算出的矩陣Rv的最大秩為8，故該算法最多能分辨7個不同方向的信號源。由圖5可知，MCVA算法和CMR算法均能分辨7個不同方向信號源，且CMR算法可分辨9個不同方向信號源，故CMR算法具有更大的自由度。

圖5 不同信源數K下MCVA算法和CMR算法的空間譜

實驗2 算法的分辨率性能仿真實驗

分辨率表征了算法對相鄰信號源的譜峰的分辨能力。設置仿真條件：信噪比SNR=5 dB,快拍數K=1 000,研究兩種算法在相鄰信號源方向分別為θ1=-3°,θ2=3°，θ1=-2°,θ2=2°，θ1=-1.5°,θ2=1.5°的情況下的分辨情況，實驗結果如圖6所示，豎線表示信號源入射方向。由圖6可知，MCVA算法在θ1=-2°,θ2=2°時無法分辨兩個目標，在θ1=-3°,θ2=3°可分辨兩個目標，而CMR算法在θ1=-1.5°,θ2=1.5°和θ1=-2°,θ2=2°均能分辨兩個目標，故CMR算法的分辨率較高。

圖6 算法在相鄰目標θ1,θ2下的空間譜

實驗3 算法的估計精度仿真實驗

為了衡量算法的檢測精度，定義均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)的數學表達式如式(12)：

(12)

(a) 不同信噪比

(b) 不同快拍數圖7 算法在信源數K=2下的均方根誤差

(a) 信源數K=7

(b) 信源數K=9圖8 多信源數下算法在不同快拍數下的性能

如圖8(a)所示為信源數K=7,方向為θ= [-50°,-35°,-15°,0°,10°,30°,50°]，信噪比SNR=5 dB，Monte-Carlo試驗次數為P=30下MCVA算法和CMR算法在不同快拍數下的RMSE的實驗結果；如圖8(b)所示為信源數K=9,方向為θ= [-50°,-36°,-23°,-12°,0°,10°,25°,40°,50°],信噪比SNR=5 dB，Monte-Carlo試驗次數為P=30下CMR算法在不同快拍數下的RMSE的實驗結果。由圖可知，隨著快拍數的增加，RMSE隨之減小，最后趨于平穩，說明算法魯棒性較好。

4 結束語

本文提出了一種基于虛擬陣列插值的矩陣重構DOA估計算法，該算法通過陣列插值的方式將互質陣列的虛擬陣列拓展成虛擬均勻線陣，利用均勻虛擬線陣等效信息初始化協方差矩陣，最后通過并優化協方差矩陣的相應矢量的首個元素，利用重構的低秩協方差矩陣進行DOA估計，充分利用了互質陣列拓展的虛擬陣列的信息。將本文算法與最大連續虛擬陣元的空間平滑協方差矩陣DOA估計算法進行對比，在不同信源數時算法的檢測空間譜、分辨率性能和不同信源數下的均方根誤差進行了仿真實驗，結果表明，該算法可實現更大的自由度和更高的分辨率，并呈現出較好的魯棒性。