基于迭代近端投影的MIMO雷達多快拍DOA估計

(1.南京信息工程大學氣象災害預報預警與評估協同創新中心， 江蘇南京 210044; 2.南京信息工程大學電子與信息工程學院， 江蘇南京 210044; 3.江蘇科技大學電子信息學院， 江蘇鎮江 212003)

0 引言

多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output, MIMO)雷達是基于MIMO通信技術發展起來的一種新體制雷達[1]。相比于傳統相控陣雷達，MIMO雷達在目標探測、抗干擾、目標參數估計和目標識別等方面顯示出諸多優勢[2-3]，因此已成為學術界研究的熱點。

波達方向(Direction of Arrival, DOA)估計是MIMO雷達參數估計的一個重要內容。如今關于MIMO雷達DOA估計的算法已經多不勝數，諸如Capon算法[4]、多重信號分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[5]、基于旋轉不變技術的信號參數估計(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)算法[6]等。通常，目標相對整個觀測空間高度稀疏，因此許多學者將壓縮感知理論[7]應用到MIMO雷達DOA估計中。然而，l0范數最小化問題屬于NP-hard問題，需要組合搜索，當維度增加時難以實現。文獻[8]針對傳統陣列提出一種基于l1-SVD(l1-norm Singular Value Decomposition)的DOA估計方法，該方法通過對陣列接收數據進行奇異值分解，并建立信號子空間構建l2,1范數聯合稀疏模型，然后采用二階錐規劃(Second Order Cone Programming, SOCP)求解該模型。文獻[9]提出一種基于加權l1范數算法的單基地MIMO雷達DOA估計方法，該算法利用降維Capon(Reduced-Dimensional Capon, RD-Capon)空間譜的系數構造加權矩陣以促進解的稀疏性，但由于采用SOCP求解方法導致其計算復雜度較高。文獻[10]提出一種平滑l0范數(Smoothedl0-norm，SL0)算法，該方法利用梯度投影原理以及最速下降法，采用一個平滑的高斯函數近似l0范數，從而將離散函數的優化問題轉化為連續函數的優化問題。該算法的運算效率較高，在保證相同精度的條件下，能夠比基追蹤算法[11]的重構速度快2～3倍。為了進一步提高目標的重構性能，文獻[12]提出一種基于平滑l0范數的MIMO雷達多快拍DOA估計方法，利用接收數據的四階累積量矩陣構建稀疏表示模型以有效抑制噪聲，并將多測量矢量(Multiple Measurement Vector，MMV)問題轉化為一個聯合平滑函數的求解問題，且該方法相比文獻[8]所提方法快約兩個數量級。文獻[13]基于近端方法[14]提出一種相對SL0算法更為廣泛的稀疏重構算法以解決非凸平滑問題，稱為迭代稀疏投影(Iterative Sparsification Projection, ISP)算法。針對非凸非平滑問題，文獻[15]提出一種迭代近端投影(Iterative Proximal Projection, IPP)算法，該算法通過構造近端函數模型，并利用SCAD(Smoothly Clipped Absolute Deviation Penalty)[16-17]閾值函數獲得近端算子來求解該模型以促進解的稀疏度，同時引用外推步驟[18]改善該算法的收斂性能。傳統基于壓縮感知的MIMO雷達DOA估計算法將非凸非平滑稀疏表示問題近似成凸或平滑函數問題進行求解，稀疏表示模型誤差的存在會導致DOA估計性能不理想。目前，迭代近端投影(IPP)算法還未應用到MIMO雷達參數估計的相關領域。

針對MIMO雷達DOA估計的非凸非平滑稀疏表示問題，本文提出一種基于迭代近端投影的MIMO雷達多快拍DOA估計方法。該方法對回波數據進行降維變換以剔除冗余數據，并對降維后的數據進行奇異值分解(SVD)以提取信號子空間，然后建立MIMO雷達多快拍DOA估計的近端函數稀疏信號模型，并采用SCAD函數獲得近端算子以求解該模型，從而解決MIMO雷達多快拍DOA估計中的非凸非平滑問題。仿真結果表明，本文方法的相干信源DOA估計性能優于現有方法。

1 MIMO雷達信號模型

假設窄帶單基地MIMO雷達系統具有M個發射陣元和N個接收陣元，發射和接收陣列均為均勻線陣，其陣元間隔分別為dt=λ/2和dr=λ/2，λ為接收信號波長。假設存在P個遠場窄帶相干目標，其入射角度分別為θ1,θ2,…,θP，MIMO雷達接收陣列信號經匹配濾波后可表示為

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

式中:A=[at(θ1)?ar(θ1),…,at(θP)?ar(θP)]∈CMN×P為發射接收聯合導向矩陣；at(θp)=[1,ejπsin(θp),ejπ2sin(θp),…,ejπ(M-1)sin(θp)]T∈CM×1為發射陣列的導向向量；ar(θp)=[1,ejπsin(θp),ejπ2sin(θp),…,ejπ(N-1)sin(θp)]T∈CN×1為接收陣列的導向向量；(·)T表示矩陣轉置；C表示復數域；?表示Kronecker積；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T∈CP×1為相干信源信號矢量，其中，sp(t)=αps1(t)，p=1,2,…,P，復常數αp表示sp(t)相對于s1(t)的相干系數；n(t)∈CMN×1為接收陣列的噪聲矩陣，服從零均值，方差為σ2的高斯分布，即n(t)～Nc(0,σ2IMN)，IMN表示MN×MN維的單位矩陣。取J個快拍下MIMO雷達虛擬陣列輸出數據矩陣，即

X=AS+N

(2)

式中，X=[x(t1),x(t2),…,x(tJ)]∈CMN×J為虛擬陣列輸出數據矩陣；S=[s(t1),s(t2),…,s(tJ)]∈CP×J為目標回波信號矩陣；N=[n(t1),n(t2),…,n(tJ)]∈CMN×J為高斯噪聲矩陣。

2 基于迭代近端投影的MIMO雷達多快拍DOA估計方法

傳統基于壓縮感知的MIMO雷達DOA估計算法將非凸非平滑稀疏表示問題近似成凸或平滑函數問題進行求解，為了避免稀疏表示模型誤差對DOA估計性能的影響，本文將迭代近端投影思想推廣應用于MIMO雷達DOA估計中，提出一種基于迭代近端投影的MIMO雷達多快拍DOA估計方法。對于發射陣列和接收陣列均為陣元間距等于半波長的均勻線陣的單基地MIMO雷達來說，其有效虛擬陣元個數為M+N-1，因此，MN×1維的目標均勻線陣導向矢量可由(M+N-1)×1維的虛擬均勻線陣導向矢量通過線性變換來表示[19]，即

at(θp)?ar(θp)=Gb(θp)

(3)

A=GB

(4)

式中，B=[b(θ1),b(θ2),…,b(θP)]為(M+N-1)×P維的虛擬均勻線陣導向矩陣。為了降低算法的計算復雜度，可定義一個大小為(M+N-1)×MN的降維矩陣T對接收數據進行降維預處理。為了使得降維后的噪聲是服從N～(0,σ2IM+N-1)的高斯白噪聲，降維矩陣T需滿足TTH=IM+N-1，因此降維矩陣可選取為T=F-1GH∈C(M+N-1)×MN，其中

(5)

式中，min(·)表示取最小的元素，diag(·)表示對角化操作，(·)H表示共軛轉置運算。經過降維變換后，式(2)的接收數據矩陣可表示為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

在式(11)的稀疏信號表示模型中引入懲罰函數方法[21]，即

(13)

(14)

根據近端投影[14]的定義，式(14)進一步化簡為

(15)

(16)

式中，w≥0為權重常數。則式(13)的解可表示為

(17)

(18)

(19)

結合以上理論分析，本文算法步驟可總結為：

步驟3 構造多快拍稀疏信號表示模型：

步驟4 采用迭代近端投影算法求解稀疏信號表示模型：

初始化：

b) 選取一組合適的序列[λ1,λ2,…,λK]，且λk+1=cλk，0

算法迭代：

Fork=1,2,…,K

a) 令λ=λk

b) 進行Q次迭代求解全局最小值，并將該最小值投影到可行集上

2) Forq=1,2,…,Q

3 仿真結果及分析

仿真實驗1 圖1為各種算法的DOA估計均方根誤差隨信噪比變化的曲線圖。設置信噪比在-10～15 dB之間變化，快拍數J=100，進行100次蒙特卡羅實驗。從圖1可以看出，由于信源相干導致協方差矩陣的秩虧缺，信號特征向量發散到噪聲子空間，造成MUSIC算法的DOA估計方法失效；FBSS-MUSIC算法利用前后向空間平滑技術實現信號的解相干，能夠有效估計DOA，但在高信噪比下該方法的DOA估計性能較差。SL0-SVD算法、L1-SVD算法以及IPP-SCAD-SVD算法均屬于基于壓縮感知的DOA估計方法，這些方法能夠對相干信源的DOA進行有效估計，且DOA估計的均方根誤差隨信噪比的增加而減小，而本文算法的DOA估計精度明顯優于其他算法。

圖1 各種算法的DOA估計均方根誤差隨信噪比變化的曲線圖

仿真實驗2 圖2為各種算法的DOA估計均方根誤差隨快拍數的變化關系曲線。設置信噪比為-5 dB，進行100次蒙特卡羅實驗，快拍數J在50～350之間變化。從圖2可以看出，MUSIC算法無法處理相干信源，其他各種算法的角度估計精度均隨著快拍數的增加而提高，而本文算法相比其他算法具有更高的DOA估計精度。

圖2 各種算法的DOA估計均方根誤差隨快拍數的變化關系

仿真實驗3 圖3為各種算法的DOA估計均方根誤差隨兩個相干目標的入射角度間隔Δθ的變化關系。兩個相干目標的入射角度分別為θ1=6°，θ2=6°+Δθ，其中Δθ∈[14°,22°]，信噪比為5 dB，快拍數J=100，進行100次蒙特卡羅實驗。從圖3可以看出，MUSIC算法無法分辨相干目標，FBSS-MUSIC算法、SL0-SVD算法、L1-SVD算法和本文算法的DOA估計精度均隨著目標角度間隔的增大而提高，而本文算法的DOA估計精度始終高于其他算法，表明本文算法相比其他算法能獲得更高的空間角度分辨率。

圖3 各種算法的DOA估計均方根誤差隨角度間隔變化關系

4 結束語

在傳統基于壓縮感知的MIMO雷達DOA估計算法中，由于將非凸非平滑稀疏表示問題近似成凸或平滑函數問題進行求解，因此不可避免地存在稀疏表示模型誤差，從而導致DOA估計性能不理想。本文將能解決非凸非平滑稀疏表示問題的迭代近端投影方法應用于MIMO雷達多快拍DOA估計中，首先對回波數據依次進行降維處理和奇異值分解，分別降低空域維度和時域維度，然后將多快拍DOA估計的非凸非平滑稀疏表示問題轉化為近端函數優化模型的問題，最后采用SCAD函數獲得近端算子以求解該模型。仿真結果表明，本文方法相比現有算法在相干信源的DOA估計方面擁有良好的性能。