基于遺傳算法的FDA方向圖非時變解耦

(1.空軍工程大學防空反導學院, 陜西西安 710051；2.陜西交通職業技術學院, 陜西西安 710018；3.西安財經學院, 陜西西安 710100)

0 引言

相控陣技術現已得到十分廣泛的應用，但相控陣存在不能有效控制發射波束距離指向的問題。2006年，FDA陣列作為一種距離-角度二維相關波束形成技術由Antonik在雷達會議上首次提出[1]。與相控陣雷達(Phased Array, PA)通過移相器在陣元間引入固定相位差的電掃描方式不同，FDA陣列通過在陣元間引入一個相比載頻而言大小可忽略的固定頻偏實現了具有更高自由度的時間-距離-角度三維相關波束指向[2-4]。隨著FDA研究的深入，涌現出大量基于一維均勻線性FDA陣列(Uniform Linear Array FDA, ULA-FDA)的研究文獻[5-10]。文獻[2]綜述了近年來的FDA陣列研究現狀，其中方向圖的距離-角度解耦以及波束的非時變特性都是研究的重點。文獻[11]針對FDA方向圖的時變特性提出了一種TDFO-FDA陣列結構，陣元間的頻差采用線性遞增方式，推導出了形式簡單的時變頻偏表達式，能夠在空間中形成非時變的波束指向，但文中未考慮FDA方向圖固有的距離-角度耦合問題。文獻[12]將log-FDA陣列與TDFO-FDA結構在固定時刻的能量集中特性進行了對比分析，log-FDA陣列能夠消除方向圖耦合，但其波束在角度維上有較長的拖尾，同時也不具備非時變的波束指向。綜上，基于解耦的非時變波束形成技術在消除耦合、降低旁瓣以及增強回波能量等方面都有著巨大的研究價值。

本文第1節中對ULA-FDA的陣列結構及其時變特性展開分析。第2節分析了文獻中提出的線性增量-時變頻偏表達式。第3節中首先對文獻中的線性增量-時變頻偏表達式進行推廣，之后針對無法得到固定時變頻偏表達式的log-FDA及sin-FDA陣列，將問題轉化為最優化問題通過遺傳算法進行求解，通過在約束條件中添加時間約束得到主瓣增強旁瓣抑制的FDA非時變解耦方向圖。最后，仿真驗證了本文方法的有效性。

1 數據模型

圖1所示為ULA-FDA陣列的基本結構[1]。

圖1 ULA-FDA陣列基本結構

設載波頻率為f0，陣元n的輻射信號頻率為

fn=f0+nΔf,n=0,1,2,…,N-1

(1)

窄帶條件下，陣元n的發射信號可表示為

sn(t)=exp(j2πfnt),n=0,1,…,N-1

(2)

陣元n發射的信號到達遠場觀測點(R,θ)的信號表達式為

(3)

式中，rn=R-ndsinθ，R為參考陣元到目標點的距離，d為陣元間距。一般地，陣元n與陣元n-1發射的信號傳播到遠場觀測點(R,θ)時所形成的相位差為

(4)

Δψ1+Δψ2

(5)

窄帶條件下，ULA-FDA在遠場觀測點(R,θ)處的陣列因子AF(t,R,θ)為

AF(t,R,θ)=

(6)

FDA陣列通過在陣元間引入固定頻差，在不需要移相器的情況下可以實現靈活的電掃描。通常取t=0 s對FDA靜態方向圖展開分析，滿足式(7)時FDA陣列因子取得最大值：

l=0,±1,±2,…

(7)

由式(7)可得FDA陣列的時間、距離及角度周期性計算公式：

(8)

(9)

(10)

圖2 FDA方向圖距離維周期性

圖3 FDA方向圖時間維周期性(Δf=4.5 kHz)

圖2、圖3分別仿真了FDA發射方向圖的距離維及時間維周期特性，仿真參數如表1所示。圖2、圖3中FDA的波束圖存在多值性問題，這是由于FDA陣元間的均勻線性頻偏增量Δf與陣元間距d的線性遞增同步導致的距離-角度耦合所引起的。由圖2可知，當距離R和角度θ固定時，方向圖的最小周期為1/Δf。由圖3可知，當時間t和角度θ固定時，方向圖的最小周期為c/Δf。在一個脈沖周期內，照射在目標位置處的波束會隨著時間的變化而產生角度和距離上的偏移，這就使得經二次反射回到雷達接收機的回波能量較低，影響輸出SINR。為了實現FDA波束能量控制等進一步的研究，首先需要得到解耦的非時變FDA方向圖。

表1 仿真參數

2 頻偏設計

2.1 線性增量-時變頻偏

為使FDA波束在脈沖周期內非時變地照射目標(R0,θ0)，文獻[11]得出目標參數相關的時變頻偏增量表達式：

(11)

取l=1，將式(6)改寫為

(12)

2.2 非線性頻偏

本節中針對4種不同的非線性頻偏增量對比分析其距離-角度二維聯合估計效能，為后續進一步基于非線性頻偏選擇的相關研究奠定基礎。假設有L個目標，經匹配濾波得到的陣列接收信號可表示為[13]

n(θ,r,τ)

(13)

式中，αl表示目標反射系數，n表示高斯白噪聲，a表示導向矢量，wu=a表示接收權矢量。當目標位置確定時，時延τ可通過目標方位角θ及斜距r確定，式(13)可進一步表示為

(14)

式中，

(15)

(16)

計算接收信號協方差矩陣：

Rx=E{x(θ,r)xH(θ,r)}=

(17)

(18)

之后對協方差矩陣進行特征值分解并按照特征值大小的順序排列，將與信號個數相等的n個特征值對應的特征向量視為信號子空間，其余特征向量看作噪聲子空間，最后根據式(19)計算譜函數峰值。

(19)

圖4為當目標位于(0°,500 km)時采用4種不同非線性頻偏增量FDA陣列的MUSIC譜，可知在4種非線性函數形式的頻偏中正弦函數及對數形式的偏增量結構具有明顯的性能優勢，所以本節考慮在將對數及正弦函數形式的非線性頻偏引入陣列。

圖4 MUSIC譜(θ0=0°，r0=500 km)

3 基于遺傳算法的非線性增量-時變頻偏

采用非線性頻偏的ULA-FDA陣列，陣元n的載頻為

fn=f0+Δfn,n=0,1,2,…,N-1

(20)

陣元n距離遠場觀測點(R,θ)的距離為

rn=R-dnsinθ,n=0,1,2,…,N-1

(21)

式(6)表示的陣列因子可改寫為

(22)

(23)

當φn-φm=2kπ,k=0,±1,±2,…時y取得極大值：

(24)

取Δfn=nxΔf(t),dn=nxd得

k=0,±1,±2,…

(25)

取k=nx-mx即可得到與時間及目標位置參數相關的時變頻偏表達式，x=1時即得文獻[11]中的線性增量-時變頻偏表達式，x取-1、2和3可分別得到倒數、平方以及立方的非線性增量-時變頻偏表達式。由式(17)得

(26)

(27)

將式(26)、(27)代入式(16)可得

(28)

(29)

考慮到k為整數的約束，無法通過式(26)、(27)得出log-FDA和sin-FDA時變頻偏的一個固定表達式，因此考慮將解算時變頻偏轉化為最優化問題。對脈沖持續時間進行小間隔采樣，通過遺傳算法得到每一個時刻各陣元頻偏的最優解，當間隔足夠小時，近似得到sin-FDA及log-FDA的非時變方向圖。在通過最優化問題解算非線性-時變頻偏的約束條件中，除了對目標位置處能量的約束之外，還可以添加旁瓣最小的約束條件，從而在得到非時變方向圖的同時實現距離-角度解耦。

對采用非線性頻偏的ULA-FDA陣列，由式(22)得

(30)

如圖5所示，將波束掃描的距離-角度二維空域劃分成目標位置E及旁瓣抑制區ABCD[10]。

圖5 目標函數距離-角度空域劃分

基于固定頻偏的ULA-FDA陣列發射方向圖在空間中存在著距離-角度耦合[13]，為了得到解耦的方向圖，文獻中提出了對數形式的頻偏增量，但log-FDA方向圖存在較長的拖尾。

為了得到期望的非時變解耦方向圖，將問題轉化為如下的凸優化問題：

(31)

目標函數的取值是在波束指向非時變的情況下，在使目標位置處能量最強的同時，旁瓣區域能量總和最低的頻偏。約束條件中Δfmin≤Δfn≤Δfmax是為了保證系統總體的帶寬在特定范圍內；約束(R,θ)∈(A,B,C,D)是為了將區域定義為旁瓣區域；約束|AF(t,R0,θ0)|2=1是為了在目標點處得到非時變的波束指向；Tp為脈沖持續時間。為了減少算法復雜度從而降低系統的實現難度，采用遺傳算法求解式(12)所示的凸優化問題。設總的遺傳代數為G，M為每一代的個體總數，遺傳算法步驟如下，算法流程圖如圖6所示。

1) 時間采樣，取脈沖持續時間Tp=0.1 ms，取采樣間隔T=0.1 μs，將脈沖時間分為1 000份，對每一個時刻進行以下計算；

2) 初始化：設置初始種群代數g=0，以及最大遺傳代數G，利用二進制編碼隨機從[Δfmin,Δfmax]范圍得到M個個體作為初始群體P(0)，每個個體由N個變量組成Δ=[Δf0,Δf1,…,ΔfN-1]；

3) 個體評價

4) 選擇運算

5) 交叉變異運算：對群體中的個體串的某些基因上的基因值作交叉或變異，從而得到下一代群體P(g+1)；

圖6 遺傳算法流程圖

4 仿真驗證

仿真1： 線性增量-時變頻偏仿真。

圖7 R=R0的發射方向圖

圖8 θ=θ0的發射方向圖

圖7、圖8為ULA-FDA陣列采用線性增量-時變頻偏的方向圖，脈沖持續時間T=0.1 ms，目標位于(100 km,30°)，其余參數如表1所示。

由圖7可知，固定距離參數時，僅在目標角度上可以形成主波束照射；由圖8可知，固定角度參數時，指向目標距離位置的波束不會隨時間偏移。但方向圖中固有的距離-角度耦合仍未被消除。針對如何選擇頻偏從而改進FDA陣列性能的問題，文獻[12]中得到log-FDA雷達只依賴距離的發射波束形成方法。文獻[14]在每一個MIMO-FDA子陣中使用一個變化的對數頻偏，消除了FDA波束圖固有的周期性，形成MIMO-log-FDA陣列，在目標可能存在的空間中形成單極值。文獻[15]中通過在均勻線陣陣元間采用平方及立方兩種頻偏增加方式消除了方向圖中的距離角度耦合。因此，需要得到非線性增量-時變頻偏的表達式。

仿真2： 基于解耦的非時變方向圖仿真。

圖9 sin-FDA非時變解耦方向圖

圖10 log-FDA非時變解耦方向圖

(a) t=0 ms

(b) t=0.1 ms圖11 log-FDA非時變解耦方向圖

通過與文獻[12]中的log-FDA的對比仿真，驗證本文方法的有效性?？紤]一個具有20個陣元的ULA-FDA陣列，陣元間距d=c0/(4f0)，f0=10 GHz，Δfmax=10 kHz，Δfmin=-10 kHz，種群總代數G=100，個體數M=100，目標方位角θ0=30°，斜距r0=600 km，文獻[12]中log-FDA陣列頻偏δ=10 kHz。圖9、圖10為本文算法得到的sin-FDA、log-FDA的非時變解耦方向圖，圖11(a)、(b)為文獻[12]log-FDA在t=0 ms以及t=0.1 ms的瞬時方向圖。文獻[12]中的log-FDA方向圖主波束指向位置會隨著時間而產生偏移，且其主瓣波束在角度維和距離維上都存在較長的拖尾。本文算法得到的sin-FDA、log-FDA在目標位置處可以形成非時變的解耦方向圖，且其在目標位置處的能量更加集中，主瓣寬度更窄，具有更高的掃描精度，但本文所得到的方向圖的旁瓣抑制效果有待進一步優化。如表2所示，基于遺傳算法方法不僅最大旁瓣值更低，而且距離和角度的3 dB帶寬也更加窄，當雷達波束掃描時，能夠提高掃描的精度。

表2 對數頻偏與本文結構性能對比

5 結束語

與相控陣不同，FDA方向圖具有時間-距離-角度三維相關特性，這使其在具有距離相關干擾抑制能力之外，還存在著波束指向時變及距離-角度耦合的問題。如何得到一個解耦合的非時變方向圖是實現FDA波束有效控制的基礎，本文在推導時變頻偏表達式的過程中，通過遺傳算法解算最優化問題，得到采用非線性頻偏的log-FDA及sin-FDA的非時變方向圖，從而在解耦的同時實現了脈沖持續時間內的波束指向固定，但本文所得到的方向圖的旁瓣抑制效果有待進一步優化。