復雜網絡牽制控制概述

曹進德 宋強 劉芳 程尊水

1 東南大學 數學學院，南京,210096 2 南通大學 電氣工程學院，南通,226019 3 黃淮學院 信息工程學院，駐馬店,463000 4 河南省智能機器人行為優化控制國際聯合實驗室，駐馬店,463000 5 青島科技大學 數理學院，青島,266061

0 引言

現實生活中的互聯網、交通網、航空網、電力網、生物網和無線傳感器網等網絡系統都可用復雜網絡進行建模和分析[1-5].因此，在過去的幾十年里，復雜網絡引起了學者們的濃厚興趣并得到了深入研究.1960年Erd?s和Rényi開創了隨機圖理論，為隨機復雜網絡的研究提供了理論支撐[6]；1998年Watts和Strogatz提出了小世界網絡模型，分析了網絡的小世界效應[7]；1999年Barabási建立了無標度網絡模型，揭示了復雜網絡的冪律特性[8].無疑，這些開創性工作為復雜網絡研究奠定了堅實基礎并促進了復雜網絡研究的飛速發展.

由于復雜網絡在現實生活中廣泛存在，關于復雜網絡的同步控制問題的研究成為網絡科學的一個重要研究課題.復雜網絡的同步可分為有領導者和無領導者兩種.有些網絡僅利用相鄰節點的信息，在某些條件下可使整個網絡涌現出同步現象，稱為無領導者情形下的同步[9-13].但是，多數復雜網絡僅依賴節點的信息交互自身無法達到同步，針對這些復雜網絡，可設計合適的分布式控制器，驅使網絡同步于某一領導者的狀態 (平衡點、混沌軌線或孤立節點等).復雜網絡這種在外部控制作用下的同步行為可被稱作有領導者情形下的同步[14-50].

現有研究成果表明,僅對少數關鍵節點施加控制,可使網絡所有節點的狀態趨于一致,這種策略被稱為牽制控制(pinning control).牽制控制策略無疑可大大降低復雜網絡的控制成本,提高經濟效益,具有較高的理論和應用價值.Wang等[14]首次采用牽制控制策略,成功實現了無標度網絡的控制；Li等[15]提出了“虛擬控制”(virtual control)的概念，通過討論控制信號在網絡中的傳播，揭示了復雜網絡牽制控制的機理；Chen等[21]指出,當牽制控制增益足夠大時,可以控制一個節點來實現對整個復雜網絡的控制.

在復雜網絡的牽制控制中,首先要解決的問題是牽制節點的選取,即控制應該施加在哪些節點上.對此,學者們對不同網絡提出了相應的節點選取方法,發現對無標度網絡,應首先牽制度數大的節點；而對隨機網絡,牽制度大的節點和隨機選取牽制節點并沒有明顯區別[14-15]；當耦合強度比較小時,牽制度較小的節點效果也可能會更好[16-17].由于耦合矩陣的不對稱性，有向網絡的牽制節點選取比較困難，若網絡的拓撲包含一條有向生成樹，根節點必須被選為牽制節點[21]；否則，可對網絡拓撲進行強連通分解，然后研究牽制節點的選取[22-23].

最初的牽制控制方法往往要求網絡的牽制增益和耦合強度足夠大,因而會使得控制成本較高，該方法在現實中難以實現.Song等[29]利用M矩陣理論證明,選取較大的牽制控制增益可使網絡的牽制控制更容易實現,但牽制控制增益達到某臨界值時,增加牽制控制增益并不能有效地提高牽制控制的性能.因此,對于一個復雜態網絡,如何避免牽制控制增益及耦合強度過大、牽制節點數目過多，或者說,如何在牽制控制增益、耦合強度和牽制節點數目之間尋求一種平衡,仍然值得深入研究.

十多年來，復雜網絡的牽制控制已得到了較為深入的研究.無向復雜網絡的牽制控制研究已較為成熟[14-20]，有向復雜網絡的牽制控制研究也產出了較為豐碩的成果[21-32]，時滯復雜網絡的牽制控制[33-38]和切換拓撲下復雜網絡的牽制控制[42,49-50]取得了一些進展，具有正負連邊符號圖拓撲的復雜網絡的牽制控制近年來引起了人們較大的研究興趣[51-55],復雜網絡的牽制控制在實際中也具有一定的應用前景[56-60].

本文旨在概述復雜網絡牽制控制的研究進展，主要包括牽制控制條件、牽制節點選取、影響網絡牽制控制的因素、符號復雜網絡牽制控制、牽制控制算法、牽制控制的應用.最后，總結現有結論，給出復雜網絡牽制控制研究的一些未來研究方向.

1 基礎知識

具有N個節點的復雜網絡可用下式描述[14]：

(1)

其中xi=(xi1,…,xin)T為網絡節點i的狀態變量；f:Rn→Rn是連續的向量函數；c為耦合強度；?！蔙n×n為節點間的內部耦合矩陣，本文中假設其為正定矩陣；aij為網絡(1)的鄰接矩陣A=(aij)N×N的元素,若從節點j到i(j≠i)有一條有向邊，則aij>0,否則aij=0;對角元素aii=0,i=1,…,N;ui為節點i的控制信號.

(2)

復雜網絡(2)的領導者節點為

(3)

對于復雜網絡(2)，令V與Vpin?V分別為全部節點及牽制節點的集合，利用局部線性反饋，可為復雜網絡(2)設計以下的牽制控制器[27]：

ui=-cdiΓ(xi-s),

(4)

其中di為牽制控制增益，若i∈Vpin，則di>0；否則di=0.

本文主要基于局部線性反饋控制算法(4)分析及討論復雜網絡(2)的牽制控制.

2 復雜網絡全局牽制控制的條件

本節討論復雜網絡的全局牽制控制條件.

令ei=xi-s,i=1,…,N,考慮到拉普拉斯矩陣的耗散性質，從式(2)—(4)可得以下的誤差系統：

i=1,…,N.

(5)

可將系統(5)寫為矩陣形式：

(6)

其中

D=diag(d1,…,dN),

F(e,s)=(fT(e1+s)-fT(s),…,fT(eN+s)-fT(s))T.

研究結果表明，復雜網絡牽制控制條件的表達形式與節點動力學性質密切相關，節點動力學滿足QUAD或Lipschitz條件的復雜網絡，其牽制控制條件可用代數不等式表達[16,21,26-28]；節點動力學滿足扇區條件的復雜網絡，其牽制控制條件可以采用低維的線性矩陣不等式進行描述[31-32].在本文中，為分析復雜網絡(2)的牽制控制，對節點非線性函數做以下假設.

假設1[16]對于復雜網絡(2)的非線性函數，假設存在一個正常數θ使得

(x-y)T(f(x)-f(y))≤θ(x-y)TΓ(x-y),?x,y∈Rn.

以下關于網絡拓撲及節點間連邊的假設對牽制控制的研究至關重要.

假設2[26]對于網絡(2)未被牽制控制的任何節點i∈VVpin，總存在一個牽制節點j∈Vpin，使得節點j到節點i存在一條有向路徑，從而領導者節點(3)到網絡(2)的任何節點都有一條有向路徑.

假設2是實現復雜網絡牽制控制的一個必要條件，否則網絡(2)的某些節點狀態無法受到領導者的直接或間接影響，導致網絡不能實現牽制控制.

在滿足假設1和2的前提下，為研究網絡(2)的全局牽制控制條件，目前文獻主要采用以下兩種方法：

一種是基于未被牽制的網絡節點對應的拉普拉斯矩陣的子矩陣構造一個對稱矩陣，然后利用該矩陣的最大特征值給出網絡的牽制控制條件[16,26-27]：

(7)

其中矩陣H是矩陣(L+LT)/2中由未被牽制節點構成的子矩陣.

另一種則是把拉普拉斯矩陣L與牽制反饋增益矩陣D構成矩陣L+D，再利用L+D所有特征值的最小實部和M矩陣理論研究復雜網絡牽制控制條件[28]：

(8)

從條件(7)和(8)可見，復雜網絡牽制控制的條件與網絡拓撲、節點動力學及耦合強度等因素密切相關.特別需要指出的是，文獻[29]利用M矩陣理論證明，假設1可保證矩陣L+D的特征值均在右半開平面；而優先控制出度大于入度的節點，并適當選取牽制控制增益條件，假設1可保證矩陣(L+LT)/2的特征值皆為正數(具體請參見文獻[29]的Proposition 4).

在復雜網絡牽制控制條件的推導中，涉及的主要數學工具是代數圖理論和Lyapunov穩定性理論[16-30]，對于具有時滯復雜網絡可構造適當的Lyapunov-Krasovskii函數進行分析[33-38].

3 牽制節點的選取策略

在復雜網絡牽制控制的研究中，最關鍵的一個科學問題是如何有效地選取一組合適的牽制節點，即需要施加控制信號的節點.本節概述復雜網絡牽制節點選取策略的一些主要研究成果.

3.1 牽制節點選取的總體原則

為實現復雜網絡的牽制控制，領導者必須直接或間接影響到網絡的所有節點，使得網絡節點和領導者共同構成的圖必須含有一條有向生成樹，且領導者為唯一的根節點[21].不難發現，第2節中的假設2可以保證牽制節點的選取原則得到滿足.

3.2 無向網絡的牽制節點選取

對于連通的無向網絡，一般采用隨機選取或特定選取兩種方式選擇牽制節點[14-15].一般地說，優先牽制度大的節點控制性能要好，這對無標度網絡是成立的.但是，對隨機網絡,牽制度大的節點和隨機選取牽制節點并沒有明顯區別.當耦合強度比較小時,牽制度小的節點效果反而更好[16-17].

當無向網絡的拓撲不連通時，網絡拓撲由多個連通的子圖構成，針對每個子圖采用隨機或特定的方式選取牽制節點，那么牽制節點的集合即為所有子圖牽制節點集合的并集.

3.3 有向網絡的牽制節點選取

與無向網絡比較，有向網絡由于耦合矩陣的不對稱性，牽制節點的選取更具挑戰性.下面介紹一下有向網絡牽制節點選取研究取得的一些成果.

如果網絡拓撲包含一條有向生成樹，根節點必須被選為牽制節點[21-22].尤其需要指出的是，在耦合強度足夠大的情況下，對一個根節點施加控制即可實現網絡的牽制控制[21].

對于不包含有向生成樹的有向網絡，牽制節點的選取較為困難.Wu[22-23]指出牽制控制必須施加到每一組有向樹的根節點；Lu等[25]定義了Control Rank(CR)概念，指出應優先牽制CR大的節點；Lu等[26]根據拓撲強連通部分和M矩陣理論，研究了牽制節點選取；Song等[27]綜合考慮節點的出度及入度，指出應優先牽制那些出度大于入度的節點；Song等[28-29]利用M矩陣理論，把拓撲分解為最小數目的子圖，提出了一些牽制節點的選取策略.最近，Cheng等[30]基于左Perron特征向量研究牽制節點的選取，發現前一個牽制節點選定以后,后一個牽制節點應選取與前面所有牽制節點距離最遠的節點；或者說,較為有效的牽制策略應該是使得牽制節點均勻分布在整個網絡中[30].

下面以網絡進行強連通分解為例討論牽制節點的選取，對于不包含有向生成樹的有向網絡，其拉普拉斯矩陣為可約矩陣且具有以下的Frobenius標準形式[22-23]：

(9)

其中P為置換矩陣，Bi(i=1,…,k+m)皆為不可約矩陣，0代表合適維數的零矩陣，1≤m

注意到矩陣L與B具有相同的特征值，因此可根據拉普拉斯矩陣L的Frobenius標準形式B矩陣對應的圖研究復雜網絡的牽制控制.從式(9)可看出，后m行矩陣Bi,i=k+1,…,k+m對應的子圖都沒有外部的入邊，為滿足第2節的假設2，每個子圖Bi(i=k+1,…,k+m)的根節點必須被選為牽制節點.事實上，Bi,i=1,…,k+m對應的子圖皆為強連通，這些子圖中的每個節點皆為根節點，因此可對每個子圖任意選取一個節點作為牽制節點.

進一步，對每一個強連通子圖，可以選取出度大于入度的點優先牽制；對出度和入度相等的節點，可以用基于左Perron特征向量的辦法順序選取牽制節點的集合[30].

4 影響網絡牽制控制的因素分析

影響復雜網絡牽制控制的因素主要包括牽制節點個數、牽制控制增益、耦合強度及節點動力學等.

4.1 牽制節點個數的影響

為實現復雜網絡的牽制控制，應至少控制最小數目的節點，對于含有一條有向生成樹的網絡，牽制節點的最小數目為1；對于具有一般拓撲的復雜網絡，拉普拉斯矩陣為m-可約矩陣，其Frobenius標準形式由式(9)給出，牽制節點的最小數目為m，研究結果已表明，假設2條件滿足情形下，拉普拉斯矩陣零特征值的代數重數恰好為m[22,26,28].

4.2 牽制控制增益的影響

牽制控制增益對復雜網絡的牽制控制性能也具有較大的影響.早期的一些文獻往往把牽制控制增益選得較大，2013年Song等[29]利用代數圖理論、非負矩陣和M矩陣等工具，從理論上證明在滿足第2節中假設2的前提下，增大牽制控制增益可使牽制控制更容易實現，但過大的牽制控制增益卻不能有效地提高網絡的牽制控制性能.尤其是當牽制控制增益足夠大時，網絡拉普拉斯矩陣與牽制控制增益矩陣共同構成的L+D矩陣的特征值最小實部將收斂于某一常數[29].為優化牽制控制增益，一些文獻采用以下自適應算法[16,27]：

4.3 耦合強度的影響

耦合強度對復雜網絡的牽制控制具有較大的影響.在滿足第2節中假設2的前提下，從條件(7)和(8)可以看出，耦合強度越大，實現復雜網絡牽制牽制的牽制節點數目就越少.特別需要指出的是，當網絡拓撲包含一條有向生成樹且耦合強度足夠大的情形下，僅牽制一個根節點也可實現整個網絡的牽制控制[21].

4.4 節點動力學的影響

從條件(7)和(8)可見節點的動力學特性對耦合強度對復雜網絡的牽制控制也有影響.參數θ越小，實現網絡牽制控制的牽制節點數目就越少，反之則需要牽制較多的網絡節點.

如何在牽制節點數目、牽制控制增益及耦合強度之間尋找一個平衡,達到利用較小數目的節點和盡可能小的牽制增益,實現整個復雜網絡的牽制控制,仍然是當前牽制控制的公開問題之一.

5 符號網絡的牽制控制

近年來，具有正負連邊的符號網絡的分布式控制受到了廣泛關注[51-55]，其中正邊代表節點間的合作關系,而負邊則表示節點間的競爭關系.符號網絡的拓撲可被稱為符號圖，而常規網絡的拓撲可被稱為無符號圖.

結構平衡符號網絡在一定條件下會涌現出二分一致性(bipartite consensus)的群體行為，即一部分節點的狀態收斂于某條軌線，而其余節點的狀態則收斂于此軌線的負值[51-55].近年來，具有結構平衡圖拓撲的復雜網絡的牽制控制研究取得了一些進展，文獻[53]研究了牽制控制下節點動力學滿足Lipschitz條件的符號網絡的二分同步；文獻[54]研究了結構平衡符號圖拓撲下Lur’e網絡的二分同步問題，并設計了連續時間及采樣控制的牽制控制算法；文獻[55]利用牽制控制研究了時滯神經網絡的二分同步問題，并考慮了節點時滯為可微或不可微的兩種情形.

在研究結構平衡符號網絡的牽制控制時，可首先確定牽制節點集合，通過坐標變換把符號圖變換為常規圖[51]，按照常規網絡的牽制控制策略選取牽制節點.然后設計牽制控制增益，即確定領導者到牽制節點連邊的正負符號，按結構平衡定義把節點集合分解為兩個互斥的子集，領導者與其中一個子集的牽制節點如果連邊皆為正，那么與另一子集中牽制節點的連邊必須為負.

結構不平衡的符號網絡的分布式研究結果較少，文獻[52]利用根環的概念研究了符號網絡的穩定性及二分區間一致性問題.

6 復雜網絡的牽制控制算法

近年來，學者們對牽制控制算法(4)進行了擴展，提出了一些新的牽制控制算法.下面我們從控制理論的觀點，對復雜網絡牽制控制的主要算法進行適當歸納分類.

1)連續通信情形下的反饋牽制控制算法

目前，復雜網絡的牽制控制算法大多是對牽制節點施加連續時間的局部反饋控制即節點間連續通信，主要形式為算法(4)，根據網絡耦合項設計線性反饋或非線性反饋的分布式牽制控制器[14-37].注意到有些文獻進一步提出了自適應的反饋牽制控制算法，對耦合強度、牽制反饋增益或網絡連接權值進行在線調整[19-21].

2)間歇通信情形下的反饋牽制控制算法

連續時間反饋牽制控制算法的一個主要不足是網絡節點需要連續通信.為減少領導者和牽制節點間的通信頻次，有些學者提出了周期或非周期的間歇牽制控制算法，僅在一系列不連續的時間間隔內才對牽制節點施加反饋控制，而在其他時間間隔里牽制控制信號皆為零[38-39].下式給出周期間歇牽制控制下的復雜網絡，其中ω為控制寬度，T為周期：

對于nT≤t

當nT+ω≤t<(n+1)T時，

3)基于采樣數據的反饋牽制控制算法

考慮到控制理論中采樣控制算法的優點，一些文獻利用一系列采樣時刻獲取的網絡節點采樣數據，設計了周期或非周期的采樣反饋牽制控制算法[40-41]，領導者僅在采樣時刻才與牽制節點進行通信，從而大大減輕了網絡的通信負荷，降低了復雜網絡的牽制控制成本.基于采樣數據牽制控制算法的復雜網絡可描述如下：

t∈[nT,(n+1)T),i=1,…,N.

4)事件觸發下的反饋牽制控制算法

近年一些文獻把事件觸發控制策略應用于復雜網絡的牽制控制，根據局部節點信息定義適當的事件觸發函數，提出事件觸發下復雜網絡的反饋牽制控制算法[42-43]，僅在事件觸發時刻才啟動牽制控制，從而極大地降低了通信和控制成本，算法如下：

5)脈沖牽制控制算法

一些學者采用脈沖控制策略設計了復雜網絡的脈沖牽制控制算法，牽制節點的狀態在一系列離散時刻按一定算法進行跳變[44-47].以下為文獻[44]提出的復雜網絡的脈沖牽制控制算法：

6)混合控制牽制控制算法

有些文獻把多種不同的控制策略相互結合，提出了復雜網絡的混合控制牽制控制算法，比如文獻[48]把反饋控制和脈沖控制進行結合，實現了復雜網絡的牽制控制.

7 網絡牽制控制的應用

網絡系統的牽制控制不僅具有較高的理論價值，同時也具有廣泛的潛在應用前景.下面我們簡要討論一下網絡牽制控制的一些相關實際應用.

1)辨識復雜網絡的結構

考慮以下的復雜網絡模型：

為辨識上述網絡的拉普拉斯矩陣，文獻[56]基于牽制控制的思想，提出相應的觀測器網絡：

2) 在電網中的應用

設ρi(t)為電網能量第i個存儲單元的狀態，文獻[57]采用以下的牽制控制策略對ρi(t)進行調節：

其中ρr為領導者單元的狀態.

3) 跟蹤領導者的蜂擁及編隊控制

牽制控制策略也可應用于多個機器人、飛行器的蜂擁及編隊控制中[58-60].對于由N個二階系統構成的網絡，設qi=(xi,vi)T為第i個節點的狀態，而qr=(xr,yr)T為領導者的狀態，可采用牽制控制的策略設計控制器：

其中Ni為第i個節點的近鄰節點集合.

8 結論及展望

本文回顧了十多年來復雜網絡的牽制控制算法及其實施策略的研究進展，重點論述了牽制節點的選取，綜合分析了影響網絡牽制控制性能的因素.盡管復雜網絡牽制控制已取得了很多成果，但仍存在一些挑戰性難題值得深入探索.下面對復雜網絡的牽制控制研究提出一些展望：

1)分布式復雜網絡的牽制控制.目前文獻關于復雜網絡中牽制節點的選取大多涉及到網絡拓撲結構的全局信息，如何利用局部鄰居信息，實現完全分布式的復雜網絡牽制控制，這是一個亟待解決的有趣問題.

2)牽制節點個數、牽制控制增益和網絡收斂速度的優化.一般來講，當牽制節點數目較少時，需匹配較大的牽制反饋增益，為減小復雜網絡牽制控制的代價，應在牽制節點個數與牽制控制增益間取得適當的平衡.利用較小的控制增益和較少的牽制節點，就可以實現復雜網絡的牽制控制同步，這是一個值得探索的研究方向.另外，牽制節點個數和控制增益都較小時，實現同步的收斂速度往往比較慢，如何在牽制節點個數、反饋增益和收斂速度之間尋找一種最優的牽制策略，仍值得深入研究.

3)具有切換拓撲的復雜網絡的牽制控制.目前復雜網絡的牽制控制研究主要側重于固定拓撲下的網絡，對于具有切換拓撲的有向或無向網絡，如何保持網絡拓撲的連通性或在一定時間間隔切換子圖并圖的連通性，從而確保復雜網絡的牽制控制，是值得深入研究的又一個公開問題.

4)復雜網絡的牽制可控性.目前，復雜網絡牽制控制問題的研究大多集中在實現網絡同步或一致性，而關于復雜網絡的可控性已經有了豐富的研究成果，如何將它們結合起來，在牽制控制的條件下，實現復雜網絡的可控性，是一個新的研究課題.

5)超網絡、異質網絡的牽制控制問題.近年來，隨著復雜網絡研究的深入，人們提出了超網絡(網絡的網絡)以及根據網絡節點的不同動力學特性，提出了異質網絡的概念.目前關于超網絡和異質網絡的牽制控制的研究結果較少，值得深入研究.