談函數相關概念的理解

高媛

摘 要：高等數學學習的基礎就是概念，概念的理解關乎著高等數學的學習和認識。文章以高等數學最基礎的函數的概念為開端，介紹了函數概念的理解以及與函數概念相關的常見概念的理解。由易到難介紹了這些概念的重點、難點和如何用通俗的方法理解，有助于幫助同學們更好的學習高等數學。

關鍵詞：函數 反函數 基本初等函數 初等函數

高等數學現在已經成為大學生公認的最難的學科之一了，各個院校每年高數掛科的學生都不少，其實高等數學學習不難，難就難在理解，最基礎的理解就是高數的概念，高數的概念如果沒有理解透徹，可想而知高數題怎么做好。高數概念中最基礎的就是函數，函數的概念也經常困擾著我們。有的人談到函數就頭疼，下面我們就來談談讓人頭大的函數。

一、函數的概念

學習函數我們知道函數有兩個要素：定義域和對應法則。剛剛我們已經提到了定義域，簡單說就是x的取值范圍，也就是所有使函數式子成立的x.我們做函數題的時候經常會考慮到定義域，不同的函數對應不同的定義域。下面我們總結一下常見的定義域分類：

1.分式，如果函數是分式則分母不能等于零，否則無意義;

2.偶次根式，偶次根式要求根號下面要大于等于零;

3.對數式，對數式中對數符號后面應該大于零;

4.三角函數中正切和余切，正切函數不能是直角，余切函數不能是平角;

5.反三角函數中反正弦和反余弦，反正弦和反余弦符號后面的絕對值要小于等于1.

綜上所述總結下來為：分式分母不為零，偶次根下負不行;零和負數無對數，整式奇次根全行;正切函數角不直，余切函數角不平;反正反余都一樣，符號后絕對值不大于1;其余函數是實集，多種函數求交集。根據這個口訣所有涉及定義域的問題都可以解決。

對應法則也叫對應關系也就是我們常見的f，那么什么叫對應法則呢？例如，它的對應法則就是。當時，它就是這就是對應法則。同樣咱們可以看出來函數的對應關系可以是幾個x對應一個y（例如），也可以是一個x對應一個y（也就是常說的一一對應）。我們學習反函數會知道只有一一對應的函數才有反函數。

函數的概念是最基礎的概念，理解函數的概念，了解函數的定義域和對應法則我們就能夠真正地理解函數。也能夠理解其他函數。

二、反函數

上面提到反函數，我們現在就來了解一下反函數。課本中是這樣定義的：設函數的定義域是集合D，值域是集合M，若對集合M中任一y的值，都有唯一的 ，使得，則x也是y的函數，稱它為的反函數，記作。習慣上我們用x表示已知量，y表示未知量，所以反函數寫為。看著這個定義有點繞，其實也就是是說我們一般函數都是已知x求y，但是反函數是反過來的，它是已知y求x，最后我們還要把x和y換換位置。例如把y看成已知的求x，我們很容易得到，最后再互換x和y就得到，這就是我們要求的反函數。

反函數的要求是必須是一對一的函數，不是一對一的函數是沒有反函數的。上面我們提到函數的對應關系有一對一和多對一，如果是多對一就會出現已知一個y有幾個x與之對應這和我們函數定義違背，所以就不是函數了。由反函數的定義我們很容易看出來反函數的定義域就是原函數的值域，反函數的值域是原函數的定義域，這對我們求反函數的定義域作用很大。

其次我們常見反函數最難的就是反三角函數，反三角函數常見的有反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）、反余切（arccot）.我們經常會遇到反三角函數的運算，例如arcsin1，很多人甚至不認識，根本不知道怎么做。其實利用反函數的定義我們可以這樣理解，這個題也就是問你sin多少度是1？這樣一下就出來了，所以。同樣的道理其他反三角函數也是這樣運算的。

反函數雖然簡單但是我們會經常遇到，我們很多函數不光研究函數本身還要研究它的反函數，例如我們最最基礎的基本初等函數。

三、初等函數

我們知道高等數學所有的內容都是在基本初等函數的基礎上進行的，那什么是基本初等函數呢，基本初等函數分為五類，分別是：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數。這五類函數是有特點的冪函數和它自身互為反函數;指數函數和對數函數互為反函數;三角函數和反三角函數互為反函數。這五個基本初等函數可以構造我們所認識的大部分函數。

復合函數：設，且的值域全部或部分包含在函數的定義域里，那么y通過u的聯系可以成為x的函數，我們把它叫做x的復合函數，記作。其實簡單看來復合函數就是一個函數里邊套另一個函數。但是要注意一定要滿足復合的條件，就是里邊函數的值域要在外邊函數的定義域范圍內。

簡單函數：由基本初等函數和常數，經過加減乘除四則運算而形成的函數。注意簡單函數一定不是復合函數。簡單函數其實比復合函數還要簡單，所以復合函數有的也是簡單函數復合而成的。復合函數的分解一定要分解成簡單函數或基本初等函數。

初等函數是由基本初等函數和常數，經過有限次的四則運算和有限次的復合而成的，并且能用一個式子來表示的函數。簡單來說初等函數就是簡單函數和復合函數構成的，但是初等函數還有一個特點就是能用一個式子來表示，所以我們會發現分段函數也是初等函數，因為它可以用一個式子來表示，所以這個特點也不可忽略。

我們常見的大部分都是初等函數，所以我們掌握了初等函數的性質和特點，那么我們遇到基本上所有的簡單的函數問題都可以解決了。

結語

文章主要介紹了函數相關的概念，由函數的概念依次引出了反函數、基本初等函數、復合函數和初等函數，并對每個概念做了分析。用更簡單易懂的方法來理解函數相關概念，為我們以后學習函數的連續、微分、積分打好基礎，也為我們學好高數提供條件。