善用口訣解題

董永忠

摘要：本文介紹冪函數、指數函數、對數函數單調性的主要應用，以及解決這類問題的簡便、快捷方法——口訣法。

關鍵詞：函數;口訣;解題

在現在中專學校數學教學中，針對學生基礎差、怕上數學課的實際情況，對教學內容進行歸納總結、提煉，讓學生掌握關鍵和要點，會簡單的進行應用，就顯得十分重要。

筆者在講授《數學》（高等教育出版）第二章冪函數、指數函數、對數函數時，感到三類函數的單調性及其應用是一個重點和難點內容，學生不容易掌握，特別是根據函數單調性去比較兩個數值大小的實際實用，按教材上的做法，是通過去考察一個函數單調性，進而去比較出兩個數值的大小，但這種方法步驟顯得比較繁瑣，學生容易混淆，容易做錯。筆者在講授這個部份時，首先按教材上的方法進行講解、做題，在學生奠定了一定的基礎理論后，再把這些知識歸納總結成口訣，并用口訣回頭重新舉例做題，讓學生從對比中體會口訣做題的快捷、方便。

現舉例一一進行說明：

1、冪函數 ?的單調性

1.1 單調性歸納

1.2 單調性的主要應用：比較兩個同指數的冪的大小（底大于0）。

例：（教材P48，P51部份例子）比較下面各組中兩個值的大小：

（1） （2）

解法一（教材上的做法）

（1）和可以看作是函數當和時的兩個對應的函數值，根據函數的單調性可知

（2）和可以看作是函數 當和時的兩個對應的函數值，根據函數的單調性可知

對解法一進行歸納、總結、提煉，得出這一方法的做題口訣。（后面兩類函數，省去解法一，直接歸納出做題口訣）

1.3 單調性應用口訣：

兩個同指數的冪（底大于零）若指數大于零，則底大的冪就大，底小的冪就小;若指數小于零，則底大的冪反而小，底小的冪反而大，用不等式簡記為：

（1） （2）

解法=（用口訣做題）

（1） （2）

（心里暗念一遍口訣，即可直接得出答案）

或可寫成

（1）

（2）

2、指數函數且 的單調性

2.1 單調性歸納{（-∞，+∞）↗（α>1）（-∞，+∞）↘ （0< α< 1）

2.2 單調性主要應用：

（1）比較兩個同底的冪的大小;

（2）已知兩個同底的冪的大小，去判定指數的大小。

2.3 單調性應用口訣：兩個同底的冪，若底大于1，則指數大的冪就大，指數小的冪就小，反之亦然;若底大于0小于1，則指數大的冪反而小，指數小的冪反而大，反之亦然，用不等式簡記為

（1） （2）

例1：（教材P60頁例子），比較下列各組里兩個值的大小。

（1）和 （2）和

解：（用口訣做題）（1）> （2）

或可寫成：（1） （2）

例2（教材P64頁習題）比較下列各式中m和n的大小。

（1） （2）

解（1）（2）

例3（教材P64頁習題） x取什么值時，下列各式成立？

（1） （2）

解：（1）

即時，成立

（2）

即時，成立

3、對數函數（ 且 ）的單調性

3.1 單調性歸納{（0， +∞）↗（α>1）（0， +∞）↘（0<α< 1）

3.2 單調性的主要應用：

（1）比較兩個同底的對數值的大小。

（2）已知兩個同底的對數值的大小，去判斷真數大小。

3.3 單調性應用口訣：兩個同底的對數，若底大于1，則真數大的對數值就大，真數小的對數值就小。反之亦然;若底大于0小于1，則真數大的對數值反而小，真數小的對數值反而大，反之亦然”，用不等式簡記為：

（1）

（2）

例如：（教材P94頁例子）比較下列各組里兩個值的大小。

（1）與 （2）與

解：（用口訣做題）（1） （2）

或寫成：（1）

（2）

例如（教材P98習題）設函數和求使的x的值？

解：即當時，

作者簡介：董永忠（1969.5）男，籍貫：云南昌寧，研究方向：數學教育，行政人事，單位：云南省昆明市廣播電視學校，稿件方向：數學教育研究。