雙變量“存在性或任意性”問題的解法

■江蘇省太倉市明德高級中學

大家知道,邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點、推理的形式、結(jié)論的表達。而解決雙變量“存在性或任意性”問題的關(guān)鍵就是將含有全稱量詞或存在量詞的條件“等價轉(zhuǎn)化”為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系),下面舉例說明,供同學們參考。

一、形如“對任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”問題

例1已知函數(shù)f(x)=3x2+2xa(a+2),g(x)=,若對任意x1∈[-1,1],總存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍。

解析：由題意知,g(x)在[0,2]上的值域為

函數(shù)f(x)=3x2+2x-a(a+2)的對稱軸是x=

當x∈[-1,1]時,函數(shù)f(x)的值域為

又由題意可知,當x∈[-1,1]時f(x)的值域是的子集,所以：

解得實數(shù)a的取值范圍是[-2,0]。

說明：求解本題的關(guān)鍵是理解全稱量詞與存在量詞的含義,求解此類問題的策略是“等價轉(zhuǎn)化”,即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”,從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a的不等式組,求得參數(shù)的取值范圍。

二、形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)”問題

例2已知函數(shù)f(x)=x2,函數(shù)g(x)=若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)k的取值范圍。

解析：由題意知,函數(shù)f(x)的值域為[0,1],g(x)的值域為并且兩個值域有公共部分。

先求沒有公共部分的情況,即2-2k＞1或

所以要使兩個值域有公共部分,k的取值范圍是

說明：本類問題的實質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”,上述解法的關(guān)鍵是利用了補集思想。另外,若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”,則“等價轉(zhuǎn)化”為利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍。

三、形如“對任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)成立”問題

例3已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=若對?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),求實數(shù)m的取值范圍。

解析：當x∈[0,3]時,f(x)min=f(0)=0,當x∈[1,2]時,g(x)min=g(2)=

對?x1∈[0,3],?x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2),等價于f(x)min≥g(x)min。

實數(shù)m的取值范圍是

說明：理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)min≥g(x)min,利用函數(shù)的單調(diào)性,可求f(x)與g(x)的最小值,從而得到關(guān)于m的不等式,便可求得m的取值范圍。

四、形如“對任意x1∈A,任意x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)恒成立”問題

例4已知函數(shù)=2x+a,若f(x1)≥g(x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

解析：由題意知g(x)max(x∈[2,3])。

因為f(x)在上為減函數(shù),所以f(x)min=f(1)=5。

因為g(x)在[2,3]上為增函數(shù),所以g(x)max=g(3)=8+a。

于是有 5≥8+a,即a≤-3。

所以實數(shù)a的取值范圍(-∞,-3]。

說明：本題與例3相似,解答的關(guān)鍵也是理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)min≥g(x)max。利用函數(shù)的單調(diào)性,可求f(x)的最小值與g(x)的最大值,從而得到關(guān)于a的不等式,便可求得a的取值范圍。