通項公式
——二項式定理的核心

■河南省許昌市第五高級中學

一、求二項式展開式中滿足條件的項或項的系數

通項公式可以表示展開式中的每一項,也就可以求解其中某一項的值。

例1在二項式的展開式中,含有x3項的系數為____。

解析：要求二項式展開式中含x3項的系數,只需知道其通項公式(即第r+1項),通過系數確定r的值,即可計算求解。

由題意知,該二項式的通項公式為Tr+1=所以12-3r=3,解得-20x3,即含有x3項的系數為-20。

例2在二項式的展開式中,含有x9的項為____。

解析：本題要求的是含有x9的項,所以不僅要求出該項的系數,而且下結論時寫出的應該是一個完整的項。

由題意知,該二項式的通項公式為Tr+1所以18-3r=9,解得r=3,含有x9的項為T4=

例3對任意的實數x,有(x-1)4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4,則a3的值為____。

解析：本題中,將x-1改寫為x-3+2,將x-3看成一個整體,可直接利用二項式的通項公式計算得到a3。

因(x-1)4=(x-3+2)4,其通項公式為

例4在的展開式中,x的冪指數是整數的項共有( )。

A.3項 B.4項

C.5項 D.6項

解析：由題意知,該二項式的通項公式為24)。要使x的冪指數為整數,即Z,解得r=0,6,12,18,24,共有5項,選C。

評析:在描述二項式展開式的通項公式時,要注意應用整體代換的方式,即此處要把x2和分別整體化為a和b;通過化簡、對比計算得到r時,要注意所求結論是求給定的項還是給定項的系數。下結論時要注意區分,對于某些二項式展開式中存在特殊的情況,能夠利用整體代換的方式進行解答。

二、根據給定的項確定二項式中的參數的值

含有參數的二項式中,先通過某項的系數的確定,再利用通項公式確定該參數的值。

例5若的展開式中x3的系數為則常數a=( )。

A.1 B.3 C.4 D.9

解析：本題可以根據通項公式直接得到x3的項,利用系數關系,得到關于a的方程,解方程即可。

由題意知,該二項式的通項公式為Tr+1由題意知解得r=8,即含x3的項的系數為解得a=4,故選C。

例6若(1+2x)n的展開式中含x3項的系數等于含x項系數的8倍,則正整數n=____。

解析：由題意知,該二項式的通項公式為故含x3項的系數為含x的系數為所以解得n=5。

例7若的展開式中只有第6項系數最大,則其常數項為( )。

A.120 B.210 C.252 D.45

解析：由題意知,其展開式的通項公式為因為只有第6項系數最大,所以解得2n=10,n=5,即此時當時,其常數項為120,選A。

評析:二項式展開式中,若其中只有第r+1項的系數達到最大,則該項的系數比它前后兩項的系數都要大,可以確定相關系數的值或范圍。

三、求混合二項式展開式的項或系數

例8若二項式為(1+2x)3(1-x)4,則其展開式中含x6項的系數為____。

解析：此題可先分別表示兩個二項式展開式的通項公式,然后明確該問的二項式展開式的每一項都與這兩個通項公式有關即可。

(1+2x)3展開式的通項公式為Tr+1=展開式的通項公式為Ts+1所以原二項式的通項為T=令r+s=6,則滿足題意的(r,s)為(2,4),(3,3),含x6項的系數為

例9已知的展開式中沒有常數項,n∈N*,2≤n≤8,則n=____。

解析：由題意知,n∈N*,2≤n≤8,故n=2,3,4,5,6,7,8。展開式的通項公式為要使(1+x+x2)·的展開式中沒有常數項,則必須n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r+2≠0。通過對比,可得滿足條件的n的值為5。

評析:求解兩個二項式的混合展開式系數問題,若其中一個二項式項不多,則只需其中一個的通項公式得到,然后依次與另一個的每一項相乘,根據條件計算得到相關值;若兩個二項式的項都比較多,則兩個通項公式都進行表示,然后相乘,再根據條件計算得到相關值。

四、求解相關綜合問題

例10設f(x)是的展開式的中間項,若f(x)≤mx在區間上恒成立,則實數m的取值范圍是____。

解析：利用通項公式,得到f(x)的解析式,再求解不等式。

評析:二項式定理與函數相結合,利用通項公式得到相關函數的解析式,通過不等式恒成立問題得到參數的范圍。