一道含參零點問題的多視角求解

■浙江省仙居中學高三(6)班

題目：已知函數f(x)=log2(4xa·2x+a+1),若方程f(x)=x有兩個不同的實數根,求實數a的取值范圍。

1.視角1——函數角度,實根分布

因為方程log2(4x+a·2x+a+1)=x有兩個不同的實數根,即4x+a·2x+a+1=2x。

設t=2x,t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個不同的正數解。

令f(t)=t2+(a-1)t+(a+1),由已知可得：

評注:該題比較綜合,它涉及復合函數、指對數函數、二次函數、零點個數等知識點;主要用了換元法和二次函數根的分布的處理技巧,是化歸轉化思想和函數方程思想的應用。通過換元法把指對數方程有根的問題轉化為了二次方程有根的問題,起到了化繁為簡、化陌生為熟悉的作用;通過結合二次函數的圖像,用判別式、對稱軸、函數值來控制二次方程根的分布。實根分布是解決二次函數含參零點問題的一個通用方法。

2.視角2——方程角度,韋達定理

換元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個不同的正數解。

評注:韋達定理是從方程角度來思考的,實根分布是從函數角度來思考的。根只和正負有關時用韋達定理更簡單,而實根分布更具有一般性,兩者很多時候可以相互轉化。

3.視角3——暴力求解,求根公式

換元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個不同的正數解。

由求根公式得：t1,2=

只需小根t1=

移項平方可解得-1＜a＜3-23。

評注:數學是自然的,數學的解題也應該是自然的。二次方程有兩個正根,求出來,兩根都大于0,自然就解決問題了,這是最直接的想法了。

4.視角4——化歸轉化,分離參數

由t2+(a-1)t+(a+1)=0,得a=

令m=t+1(因為t＞0,所以m＞1)。

評注:含參問題往往可以從分類討論和分離參數兩個角度來思考。這里分離參數后,可以轉化為水平線y=a和一個靜止的函數y=g(m)的圖像的交點問題。分離參數往往可以使含參問題避開煩瑣的分類討論過程。