點擊二項式定理中的數(shù)學方法

■江蘇省鹽城市時楊中學

一、求展開式中某些特定項的系數(shù)或項，常用通項分析法

例1(2019年天津卷理數(shù)第10題)的展開式中的常數(shù)項為____。

分析：根據(jù)二項式的展開式的通項進行計算,然后令x的指數(shù)為0,即可得到r的值,代入r的值即可算出常數(shù)項。

解：由題意可知,此二項式的展開式的通項為：

當8-4r=0,即r=2時,Tr+1為常數(shù)項。

故答案為28。

點評:本題主要考查二項式的展開式的通項,通過通項中未知數(shù)的指數(shù)為0可算出常數(shù)項。

練習1：(2019年上海卷)已知二項式(2x+1)5,則展開式中含x2項的系數(shù)為_____。

解析x5-r,令5-r=2,則r=3,含x2項的系數(shù)為

二、賦特殊值法

在求展開式中的各系數(shù)之和及某些組合數(shù)之和時,取特殊值是一種非常有效的方法。

例2若求(a0+a2+…+a2004)2-(a1+a3+…+a2003)2的值。

分析：令x=1,x=-1,代入得出結(jié)論。

解：f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2003x2003+a2004x2004。

則(a0+a2+…+a2004)2-(a1+a3+…

點評:這類題的常用解法是賦值代入,多項式f(x)的各項系數(shù)和為f(1),再分別找出奇數(shù)項系數(shù)和、偶數(shù)項系數(shù)和。

練習2：已知展開式中常數(shù)項為1 120,其中實數(shù)a是常數(shù),則展開式中各項系數(shù)的和是_____。

解析

令8-2r=0,則r=4。

當a=2時,令x=1,則(1-2)8=1；當a=-2時,令x=1,則(1+2)8=38。

故展開式中各項系數(shù)的和是1或38。

三、函數(shù)方程方法

已知展開式中若干項系數(shù)的關(guān)系,求指數(shù)n及二項式中參數(shù)的值可利用展開式中的通項,依據(jù)題意建立方程得以解決。

例3(2019年江蘇卷)設(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*。已知

(1)求n的值；

分析：(1)運用二項式定理,分別求得a2,a3,a4,結(jié)合組合數(shù)公式,解方程可得n的值。

(2)方法一,運用二項式定理,結(jié)合組合數(shù)公式求得a,b,計算可得所求值；方法二,由于a,b∈N*,求得,再由平方差公式,計算可得所求值。

解：(1)由

點評:本題主要考查二項式定理、組合數(shù)公式的運用,也考查同學們的運算能力和分析問題的能力。

練習3：設f(x)=(1+x)n+(1+x)m(m,n∈N*)展開式中x的系數(shù)和為19,求f(x)中x2項系數(shù)的最小值。

解析：由題意知m+n=19,n=19-m。

x2項的系數(shù)為：

由于m∈N*,因此,m=9或m=10時,x2項的系數(shù)最小,最小值為81。

四、逆用定理

例4設a0、a1、a2、…an-1、an成等差數(shù)列,求證

分析：因為在等差數(shù)列{an}中,有性質(zhì)：距首末兩端“等距離”的兩項的和相等,即：a0+an=a1+an-1=a2+an-2=…=ak+an-k=…；在二項式展開式中,距首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等,即由于式子結(jié)構(gòu)對稱性的存在,在解決一些有關(guān)組合等式問題時,常逆用定理。

證明：令也有