復數中的參數問題

■廣東省廣州市第二中學科學城校區

復數問題在高考中分值較少,難度較低,正確理解復數的概念,合理運用復數的幾何意義及其性質,是解決復數問題的關鍵。下面對復數中的參數問題進行專題歸納,以饗讀者。

一、利用復數的概念

復數問題實數化是解決復數問題最基本、最重要的思想方法,依據復數的概念可以化虛為實。

例1(2019年江蘇卷)已知復數(a+2i)·(1+i)的實部為0,其中i為虛數單位,則實數a的值是____。

分析：先利用復數代數形式的乘除運算法則進行化簡,再由實部為0求的a值。

解：因為(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的實部為0,所以a-2=0,即a=2。故答案為2。

點評:本題考查復數代數形式的乘除運算,也考查復數的基本概念,解題的關鍵是正確理解復數的概念。

練習1：當實數m為何值時,復數是純虛數?

解析：由已知得

解得m=2。

二、利用復數的幾何意義

復數既可用代數形式表示也可用幾何形式表示,因此,復數的各種運算也具有了幾何意義,解復數題時常以形助數,數形結合,使問題的解決更加形象直觀。

例2設復數z滿足|z-i|=1,z在復平面內對應的點為(x,y),則( )。

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1

分析：由z在復平面內對應的點為(x,y),可得z=x+yi,然后根據|z-i|=1即可得解。

解：因為z在復平面內對應的點為(x,y),所以z=x+yi,z-i=x+(y-1)i。

點評:本題考查復數的模、復數的幾何意義,解題的關鍵是正確理解復數的幾何意義。

練習2：如果復數z=3+ai(a∈R)滿足條件|z-2|＜2,那么a的取值范圍是( )。

解析：易得|1+ai|＜2,即1+a2＜4,所以選D。

三、利用復數相等的充要條件

復數集是由實數集擴充而來,實數集中的某些性質在復數集中仍然成立。利用復數相等的充要條件將復數問題轉化為實數問題是一種最常見的解題策略。

例3若相等,則a-b=_____。

分析：復數相等時,它們的實部和虛部分別相等,由此可得結論。

解：因為(2-i)2=4-4i-1=3-4i,兩個復數相等,所以b=3,a=4,則a-b=1,答案為1。

點評:借助于復數相等,將復數問題實數化。兩個復數相等的充要條件是它們的實部和虛部分別相等,即

練習3：已知復數R,i是虛數單位),則x+2y=( )。

解：由題意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+(x+2y)i,則x+2y=1,故選A。

四、利用復數的性質

由實數推廣到復數,必須注意有些結論不一定成立,若成立,應注意成立的條件。

例4求使不等式m2-(m2-3m)i＜10+(m2-4m+3)i成立的實數m的取值集合。

分析：只有實數才能進行大小比較。

解析：由題意知故解得m=3。

點評:因為只有兩個復數均為實數時才能比較大小,所以不等式的左右兩端必須同時為實數。

練習4：已知復數3a-10)i(a∈R),滿足zi＞0或zi＜0,求a的值或范圍。

解析：因為zi＞0或zi＜0,所以z為純虛數。由純虛數概念知解得a=2。