例說巧用復數性質妙解題

■江蘇無錫市第六高級中學

■江蘇無錫市青山高級中學 張啟兆

復數有許多特殊的性質,如果在解題過程中被靈活地運用,就能化繁為簡、化難為易,起到事半功倍的效果。

一、虛數i的性質及其應用

與虛數單位i相關的性質有：

①i2=-1(即-1的平方根是±i)；

②若n∈N*,則i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i；

③（1±i）2=±2i；

⑤in+in+1+in+2+in+3=0,in·in+1·in+2·in+3=-1(n∈N*)；

⑥若w=則w3=1,|w|=

評注:運用與虛數單位i相關的性質,可以使運算簡化,提高運算速度。

二、復數模的性質及其應用

②|z1·z2|=|z1|·|z2|,推廣：|zn|=|z|n(n∈N*)；

例3已知復數z=(-1+2i)2·,則實數a=_____。

解析：因為所以

例4設復數z滿足z2=3+4i(i是虛數單位),則z的模為____。

解析：由z2=3+4i,得|z2|=|z|2=|3+4i|=5,所以

評注:靈活運用復數模的性質,可以優化運算過程。

三、共軛復數的性質及其_應用

設復數z的共軛復數為則有如下性質：

⑤z為實數為純虛數?z=

例5已知復數z滿足z·i=3-2i,其中i是虛數單位,則=____。

解析：由z·i=3-2i,得所以

例6已知z1,z2是兩個不相等的復數,且z1=1+i,求證

解析：由z1=1+i,得所以z1

四、復數模的三角不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|的應用

例7已知z1,z2∈C,|z1|=3,|z2|=4,求|z1+z2|+|z1-z2|的最大值。

圖1

解析：由幾何意義可知,|z1+z2|,|z1-z2|是平行四邊形OZ1ZZ2兩對角線之長,如圖1。故|z1+z2|+|z1-z2|≤|z1|+|z2|+|z1|+|z2|≤2|z1|+2|z2|≤14,|z1+z2|+|z1-z2|的最大值為14。

例8(2019年北京大學自主招生數學試題第2題改編)復數z1,z2滿足|z1-2i|=3,|z2-6|=1,則由復數z1-z2對應點構成的圖形的面積是_____。

解析：復數z1,z2對應點的軌跡都是圓,關鍵在如何確定復數z1-z2對應點的圖形(軌跡)。

記z=z1-z2,由復數模的三角不等式得：

|z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≤|z1-2i|+|z2-6|=4。

另一方面|z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≥||z1-2i|-|z2-6||=2。

故2≤|z-(-6+2i)|≤4,等號都能取得,z對應點Z的軌跡是一個外徑為4內徑為2的圓環,面積為12π。