巧用伸縮變換 妙解橢圓試題

羅文軍 劉娟娟

(1.甘肅省秦安縣第二中學(xué) 741600；2.甘肅省秦安縣郭嘉鎮(zhèn)槐川中學(xué) 741609)

以下，先給出一些伸縮變換的性質(zhì)，再運用伸縮變換的性質(zhì)解一些與橢圓有關(guān)的圓錐曲線試題，以期達(dá)到對中學(xué)生學(xué)習(xí)伸縮變換起到拋磚引玉的作用.

伸縮變換具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 在變換φ下，點與點的相對位置關(guān)系不變，點與曲線的相對位置關(guān)系不變，直線與曲線的相交、相切、相離的相對位置關(guān)系不變.

性質(zhì)3若直線l上的兩線段成比例，則它變成直線l′上的對應(yīng)線段仍成比例.

評注課本中提供的解法是利用橢圓參數(shù)方程，再運用三角函數(shù)求解的，本解法通過伸縮變換，將問題化歸為我們熟悉的求圓上的點直線的最小距離問題，令人耳目一新.

(1)求橢圓M的方程；

(2)O為坐標(biāo)原點，A、B、C是橢圓M上不同的三點，并且O為△ABC的重心，試求△ABC的面積.

評注本題第(2)問運用伸縮變換法求解，主要運用了伸縮變換的性質(zhì)4，將橢圓的中心與內(nèi)接三角形重心重合時，求內(nèi)接三角形的面積問題化歸為單位圓的內(nèi)接正三角形面積問題，運算量小，思路新穎.

評注運用伸縮變換法，結(jié)合伸縮變換的性質(zhì)，將橢圓的內(nèi)接△ABC的面積的最大值問題化歸為單位圓的內(nèi)接△A′B′C′的面積的最大值問題.

(1)求橢圓的方程；

評注本題第(2)問運用了伸縮變換法，根據(jù)伸縮變換的性質(zhì)，得出OM′與ON′垂直，容易得出△OM′N′的面積，從而得出△MON的面積.

題5 (2018年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽)已知點P為直線x+2y=4上一動點，過點P作橢圓x2+4y2=4的兩條切線，切點分別為A,B，當(dāng)點P運動時，直線AB過定點的坐標(biāo)是____.

評注本題運用伸縮變換法，將橢圓的切點弦問題化歸為單位圓的切點弦過定點問題，從而得出直線AB所過的定點坐標(biāo).

評注運用伸縮變換法，將橢圓化為單位圓，再求出四邊形OA′P′F′的最大面積，由伸縮變換性質(zhì)，從而求出四邊形OAPF的最大面積.