高中部分函數知識的解題分析

楊 婷

(安徽省臨泉第二中學 236400)

一、函數的求解定義域題型

函數的定義域和值域是高考大綱中有所要求的，這部分的題目綜合性比較強，一般都是與其他類型的題目相結合.所以，同學們需要掌握最基本的求解函數定義域和值域的方法，這樣才能在其他題目中靈活運用，輔助解答大題.

若A是函數y=f(x)的定義域，則對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應，我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數的值域.

試比較下列兩個函數的定義域與值域：(1)f(x)=(x-1)(x-1)+1，x∈{-1,0, 1, 2, 3}；(2)f(x)= (x-1) (x-1)+1.第一小題的函數的定義域為{-1, 0, 1, 2, 3}，因為f(-1)=(-1-1)×(-1-1)=5，同理f(0)=2,f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以這個函數的值域為{1, 2, 5}.第二小題的函數的定義城為R，因為(x-1) (x-1)+1≥1，所以這個函數的值域為{y|y≥1}.

評注這類函數問題都相對比較簡單也是函數問題最基礎的知識，主要就是考查學生對于題目的解析能力，同時也是為了讓學生在做題的時候能夠養成仔細審題的習慣，只要認真看題，按照正常的解題步驟進行解答，基本上都能解出正確答案，主要還是要細心和謹慎.

二、函數的實物構圖分析題

函數的實物構圖分析題是有一定難度的題目，更多的考查學生對于函數關系的理解程度，讓學生從純文字的表述中進行相關信息的分析，這類題目還是需要多做相關題型，積累做題經驗，練出一定的手感，這樣在遇到類似問題時可以有一個比較準確的思維框架幫助理解題目.

一座鋼索結構橋的立柱PC與QD的高度都是60m，A,C間距離為200m，B,D間距離為250m，C,D間距離為2000m，E,F間距離為10m，P點與A點間、Q點與B點間分別用直線式橋索相連結，立柱PC,QD間可以近似看作是拋物線式鋼索PEQ相連結.現有一只江鷗從A點沿著鋼索AP,PEQ,QB走向B點,試寫出從A點走到B點江鷗距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數關系.

我們可以作一個坐標圖，以A點為原點，橋面AB為x軸，過A點且垂直于AB的直線為y軸.建立直角坐標系，則A(0,0)，C(200,0)，P(200,60)，E(1200,10)，D(2200,0)，Q(2200,60)，B(2450,0).

設直線段PA滿足關系式y=kx,那么由60=k×200，得k=0.3,即有y=0.3x，0≤x≤200.設直線段QB滿足關系式y=lx+b，那么由0=2450l+b和60-2200l+b得l=-0.24，b=588，即有y=-0.24x+588，2200≤x≤2450.

評注這類關于函數的題目都有一些難度，更多的是考查學生們對于題目的理解能力，以及如何從文字中獲取數據間的相關函數關系.這就要求同學們作出坐標圖，借助坐標圖理解數字間的關系，得到準確的函數關系，從而構建函數組進行運算.

三、函數的綜合應用題

函數的綜合應用題難度比較大，一般是綜合性很強的題型，一般下設幾個小題，難度層層遞進，并且題目要求的函數工具也比較多，可能包含了冪函數，指數函數，以及函數單調性等等的多方面知識，對考生掌握函數的熟練度要求很高.

在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生產x臺(x∈N*)的收入函數為R(x)=3000x-20x2(單位:元),其成本函數為C(x)=500x+4000(單位:元)，利潤是收入與成本之差.(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x);(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相同的最大值?

我們來看看求解過程：由題意知，x∈[1,100]，且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000，MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20(x-125/2)2+74125.P(x)的最大值為74120(元).因為MP(x)=2480-40x是減函數,所以當x=1時,MP(x)的最大值為2440(元).因此，利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)不具有相同的最大值.除此之外，我們可以得出邊際利潤函數MP(x)在當x=1時取最大值,說明生產第二臺與生產第一臺的總利潤差最大，即第二臺報警系統利潤最大.MP(x)=2480-40x是減函數，說明隨著產量的增加每臺利潤與前一臺利潤相比在減少.

評注函數綜合應用題相對難度大一些，考察的范圍也較大，但是，其實題目所運用到的公式還是比較基礎的.這也要求學生能夠熟練掌握各種函數的基本運算方式以及它們對應的運算特點，以便在運用到大題的時候能夠準確且靈活地使用.