解析數學高考壓軸題的變化 確立高考復習對策

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

縱觀2019年全國高考數學理科試卷，其最大變化一是概率統計題、或解析幾何題出在21題位置.二是導數應用題出在20題位置.由此自然產生一些聯想，這種變化對高三復習將帶來怎樣的變化？下面來分析探討這個問題.

一、關于壓軸20題位置的導數問題分析與備考建議

全國一卷20題已知函數f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導函數，證明：

(2)f(x)有且僅有2個零點.

(2)證明f(x)有且僅有2個零點，從“形”的層面思考是函數y=f(x)的圖象與x軸有且只有2個交點.轉化為從“數”的層面思考是借助函數極值點、單調性的整合來實現上述“形”的意義，向“數”的意義轉化.

(2)函數f(x)定義域為(-1,+∞).f(0)=0，所以x=0是f(x)一個零點.

又f(0)=0，所以在(-1,0)內f(x)無零點.

綜上，f(x)有且僅有2個零點.

從問題(2)解題過程看，與以前導數壓軸21題比較，變化的：一是減輕了構造函數的難度.二是減輕處理不等式放縮的技巧.不變的：一是數形結合、分類討論等數學思想要求并沒有減輕.二是反復從函數單調性概念及性質、導數等多角度考察函數單調性仍是高考重點.三是借助問題(1)來解決問題(2)的承接關系沒有變.

(1)討論f(x)的單調性，并證明有且僅有兩個零點;

(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

解題分析對于問題(1)討論f(x)的單調性，通過解導函數構成的不等式、增(減)函數的概念和增(減)等單調函數的性質仍然是討論函數單調性這類問題的基本思路.

對于證明有且僅有兩個零點，從“形”的層面思考是函數圖象與x軸(或者構造兩個函數的圖象)有兩個交點(從函數圖象看，結果是很顯然的).從“數”的層面講零點存在定理、函數單調性、極值點等知識點的整合都是處理這類問題的通性通法，只要注意因題而異、靈活使用即可.

對于問題(2)而言，解決問題的想法很直接，證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線方程也是曲線y=ex在某點處的切線方程就可以了，余下的就是求切線方程問題了.

f(e)<0,f(e2)>0，所以函數f(x)在區間(1,+∞)上有唯一零點.

f(e-1)>0,f(e-2)<0，所以函數f(x)在區間(0,1)上有唯一零點.

綜上，f(x)在定義域內有且僅有兩個零點.

同理曲線y=ex在點(x1,ex1)處的切線方程為y=ex1x+ex1-x1ex1.

所以曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

備考反思問題(1)的難度從解法看，難度與以前相比有所下降，但考查的內容沒有變化，方法選擇更加靈活，就上述給出的解題方法，簡便易懂，不需要復雜求導運算.所以備考要注意一題多解和寬泛的通性通法的積累與運用，不拘泥與某種特定方法進行訓練.

問題(2)的難度與以前的要求也降低了，但對切線概念的理解，切線公式的運用要求在加深.所以，盡管此處圍繞切線方程涉及的知識點沒有什么新意，但公切線是平時備考很少訓練的，所以備考要注意挖掘概念、公式深層次的理解和寬泛的應用.

全國三卷20題已知函數f(x)=2x3-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)是否存在a,b，使得f(x)在區間[0,1]的最小值-1為且最大值為1？若存在求出a,b的所有值；若不存在，說明理由.

解題分析(1)用求導，再解導函數解不等式，即可解決討論f(x)的單調性.

(2)從直觀看，已知最大、小值，所以可以利用求最值的方法列出兩個方程式，從解方程組角度思考，a,b的值是可求出的.

當a=0時，f′(x)≥0，所以f(x)在(-∞,+∞)為增函數.

(2)當a≤0時，由(1)知f(x)在[0,1]上為增函數，所以此時a=0,b=-1.

當a≥3時，由(1)知f(x)上為[0,1]上為減函數，所以此時a=4,b=1.

綜上，a=0,b=-1，或a=4,b=1.

備考反思

問題(1)的求解過程是求導，解導函數不等式，討論a與0的大小.這些都是導數部分復習備考的通性通法，沒有難度，解題思維含量比較低.

問題(2)通過求函數最值列不等式組，求解a,b的值.這些也都是通性通法，沒有難度.就本題涉及的分類討論、數形結合的思想也是平時備考中重點訓練的.

二、關于壓軸21題位置的概率統計問題分析與備考建議

全國一卷21題為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道那種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥，一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分，甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,2,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設α=0.5，β=0.8.

①證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列；

②求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解題分析問題(1)求X的分布列，先確定X的取值，再計算出每個X的取值對應概率，列出分布列表即完成.此為求解分布列問題的常規解題步驟.

問題(2)①是證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列；從通性通法角度講，就是用等比數列的定義，解題關鍵是由已知條件出發推出pi+1-pi=q(pi-pi-1)的形式即可.

問題(2)②一是求p4，二是根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

注意到(2)①與(2)②的承接關系，自然想到運用數列累加法和等比數列求和公式即可求出p4.

略解(1)由題意，X取值分別為-1、0、1，則P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β).分布列表略.

(2)①由問題(1)得：a=(1-α)β=0.4，b=αβ+(1-α)(1-β)=0.5，c=α(1-β)=0.1. 所以，pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，整理得：pi+1-pi=4(pi-pi-1)，因此，{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列；

又p4=p4-p0=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1(43+42+4+1),

備考反思問題(1)是求分布列，其解法屬于通性通法，不需要對概念的深刻理解.

對于問題(2)來說，難度比較大.難度之一是利用小概率事件對結論進行否定(肯定).學生對邏輯上的否定(肯定)是比較熟練的；用相關性、獨立性檢驗等統計知識否定(肯定)也可以，因為教材上有一定量的介紹；用小概率事件來否定(肯定)某個結論(做法)學生就不太容易把握.主要原因是獨立性檢驗雖然是建立在小概率事件上的兩個事件獨立與否的判斷，但在教學中其理論部分要求較低，重點突出運用，導致其理論基礎不牢.所以建議復習備考還是要深挖知識形成過程，重結論運用、輕基礎理論建構、輕知識形成過程等做法是不可取的.難度之二是概率與數列的綜合，盡管所用數列知識和解題方法，也是通性通法，沒有特殊、高超的技巧要求，但平時缺乏這些知識點交匯使用的訓練，導致運用生疏.所以，備考中在堅持夯實單元知識基礎的同時，變換不同知識點之間的交匯訓練還是應該堅持的(如：函數、導數、數列、概率、統計等主干知識之間的交匯).難度之三是概率統計類題目閱讀量大，對語文學科閱讀能力要求很高，所以，數學科培養學生閱讀能力，通過閱讀訓練提升學生提取數學信息、選擇解決問題的數學工具顯得十分重要，對此在復習備考中要保持一定的耐心.

三、關于處于21題位置的解析幾何問題分析與備考建議

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.

①證明：△PQG是直角三角形；

②求△PQG面積的最大值.

解題分析問題(1)比較顯然.

對于問題(2)①證明△PQG是直角三角形，解析幾何中的通性通法是斜率之積為-1，本題雖然運用“設而不求”、“韋達定理”，但，其中最大亮點是為簡化運算采取的化簡代換，此舉不僅簡化運算，還極大提高解題效率.

對于問題(2)②求△PQG面積，采取基本公式求解即可，沒有技巧.求其最大值處亮點同樣是為簡化運算采取的化簡代換，至于用導數、還是均值不等式求最值都是通性通法要求.

所以PQ⊥PG，因此△PQG是直角三角形.

備考反思為達到化簡運算的目的進行代換法是解決復雜運算的一個有效的做法，建議在復習備考中應該給予重視.通性通法中的“設而不求”、“韋達定理”、“討論直線斜率存在性”等仍然是復習備考重點.另外，高考不給圖形，顯然是要求學生根據題意自己畫圖.所以，規范的、體現數量關系的畫圖要求在備考中是要強調的.

(1)證明：直線AB過定點;

解題分析(1)直線過定點的基本想法是：點斜式y-y0=k(x-x0)方程中斜率為變量時，該直線過定點(x0,y0).也可以從y=kx+b入手，尋求k,b的關系，轉化為點斜式研究定點.

(2)借助圓的切線性質，求出直線方程，將四邊形ADBE的面積分解為兩個三角形面積的和，借助點到直線距離求高，兩點間距離求底邊長，即可完成四邊形面積求解.

當x1≠x2時，化簡得：x1x2=-1.

當直線AB斜率存在時，此時有x1≠x2.

x2-2kx-1=0.

備考反思在解問題(1)時，“設而不求”、“韋達定理”仍是考查重點.如果講新意就是借助求導來求斜率.綜合上述，本題雖然作為壓軸21題，考查通性通法仍然是重點.

對于問題(2)，考查的知識點比較多，但缺乏考查深度，所涉及的解題方法和技巧也是復習備考中的通性通法，沒有新意.

所以解析幾何的復習備考還是要強調通性通法，強調知識落實；解題時強調相關小題中的傳承遞進關系.

通過上述壓軸題的剖析，概括而言，“新”體現在：一是知識點交匯比較新，如：概率與數列的整合.二是變換考查解題技巧，如：代換法.三是變換題目位置的設置，如：21題的導數轉為20題等.“舊”體現在：一是仍然是考查通性通法.二是“新”只體現在知識點的并列，而不是融合；代換法也是“六大核心素養中的要求內容”.所以，在今后復習備考中，抓通性通法、抓知識基礎、抓知識的可能交匯、抓學生的解題自信，以此培養學生分析、解決問題能力和意志品質，提升學生數學學科核心素養是復習備考的主題.