基于Dandelin雙球的離心率求解問題

郭 婧 李 強

(1.山東省青島西海岸新區第一高級中學 266510；2.山東省青島大學 266000)

求離心率或離心率范圍是日常教學的重點和難點，這也是高考中的必考題型.我們一定見過這道題目：

如圖1，在桌面上有一點A1，它正上方有一個光源A,將半徑為2的球放置在桌面上，使得AA1與球相切，AA1=6，光線照在球上，會在桌面上產生投影，請問投影是什么形狀？離心率是多少？

事實上，這道題的解答可以回歸到橢圓的來源——平面與圓錐曲線的截線上去.

追根溯源：人教A版選修2-1在第二章章頭圖中，如圖2，形象地展示了從不同的角度截圓錐面可以得到橢圓、雙曲線、拋物線三種不同的曲線，因此這三種曲線被稱為圓錐曲線.但這種聯系在后面給出圓錐曲線的兩種定義中，均未體現，直到42頁的“探究與發現”，教材提出Dandelin雙球,利用切線長相等，證明了圓錐被一個平面截得的截口曲線是橢圓的結論.本文將主要研究這個橢圓的離心率如何求解，下面圖3展示的就是Dandelin雙球.

一、Dandelin雙球重現

如圖3，設平面π′與小球相切于點F1，與大球相切于點F2，兩球與圓錐的交線分別為S1和S2，平面π和δ分別過S1和S2，π′和π交于直線m，π′和δ交線為m,連接點P和圓錐頂點O，與S1和S2分別交于Q1和Q2.P是平面π′與圓錐的截線上任取的一點，連接PF1，PF2.利用切線長相等，可以得到PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值，從而截口曲線是橢圓.

在Rt△APB中，PB=PAcosβ.

在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα.

結論1：在空間中，已知圓錐O是由l′圍繞l旋轉得到的,我們把l稱為軸.用平面π截圓錐，得到的截口曲線取決于平面與圓錐軸l所成的線面角β(顯然，當π與l平行時，β=0)，具體關系如下：

如圖5，AD、BC為圓柱母線，EF為圓柱斜截面橢圓的長軸，設EF與母線所成銳角為β，過E作EG∥CD，則EG為圓柱的底面直徑，亦即橢圓的短軸長.從而得到平面截圓柱所得橢圓的離心率e=cosβ,β即為截面和圓柱的軸的交角.

綜合結論1和結論2，平面截圓錐所得橢圓的扁平程度不同，從而離心率不同.當圓錐軸截面頂角一定時，離心率由圓錐母線與截面所成角來確定；平面截圓柱所得橢圓離心率的大小，由圓柱母線與截面所成角唯一確定.這兩個結論的獲得亦可通過建系，借助于向量的數量積得證，同時可以進一步得到圓錐曲線的方程.

二、結論的應用

俗話說“萬變不離其宗”，盡管高考題目一直在推陳出新，千變萬化，不可預測，但它的根只有一個——教材.我們只有緊緊抓住這個根，才能在高考中出奇制勝，處變不驚.實際上，在教材中每一章章尾都設置了“探究與發現”、“信息技術與應用”、“閱讀與思考”等欄目，目的就是希望增長學生見識，拓寬學生視野，了解知識的產生背景和本源，知其然并知其所以然，同時也增強了學生學習數學的興趣，了解數學來源于生活并服務于生活，樹立“數學是有用的”意識.從高考的角度，高考命題也來源于此.這就要求教師在任何時候都不能脫離課本，必須回歸教材，以本為本，對課本資源進行深度挖掘、鉆研，多琢磨、多整合，善于一題多解和多題一解.