關于矩陣運算的教學研究

陳偉 孟凡云

摘要：矩陣是高等代數的重要研究對象，是高等代數中學習其他知識點的重要工具，學好矩陣是學好高等代數的前提條件。文章以矩陣運算的教學為例，將矩陣的運算與大家熟知的數的運算相類比，使學生更容易理解與掌握矩陣運算的相關知識。

關鍵詞：矩陣;運算;類比

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2020）11-0274-02

矩陣本質上是一個數表，數表可以看作是數的推廣，矩陣的運算可以看作是數的運算的推廣。在數的運算中有加減乘除四種運算，那么在矩陣中也有類似的“加減乘除”運算。本文我們將以類比的方法來講述矩陣的“加減乘除”四種運算，其目的是讓學生更好地理解矩陣的四種基本運算。在類比的過程中，一方面我們將以數運算中的熟悉知識點來引入矩陣的運算，另一方面，我們將重點突出兩者中不同的地方，其目的是希望學生能夠更好地理解與記憶矩陣運算的特殊性質。

下面我們分幾個部分進行討論。

一、矩陣的加減法運算

矩陣的加減法運算比較簡單，在兩個矩陣是同型矩陣的條件下，只要對應位置的元素相加即可。矩陣的加法運算可以直接看成是數的加法運算的推廣，所不同的地方在于并不是任意兩個矩陣都可以做加法，前提條件是兩個相加的矩陣必須是同型矩陣。在數的運算中，數的加法運算滿足交換律和結合律。矩陣加法運算也滿足交換律與結合律。

二、矩陣的數乘運算

矩陣的數乘運算和乘法運算都可以看作是數的乘法運算的推廣。

首先看數乘運算，即數與矩陣的乘法運算。數與矩陣相乘得到的矩陣是數與矩陣中的每個元素相乘所得到的。在數的運算中，數的乘法運算滿足交換律和結合律。數與矩陣的乘法運算也滿足交換律和結合律。

矩陣的加法和數乘運算可以看作是數的加法和乘法運算的直接推廣，其運算性質與數的加法和乘法的運算性質相同。學生理解與掌握起來并沒有太大難度。下面重點來看矩陣的乘法運算和“除法”運算。

三、矩陣的乘法運算

矩陣的乘法運算相對于矩陣的加法運算與數乘運算來說較為復雜，不能簡單地看作數的運算的推廣，但其運算性質的學習可以與數的乘法運算性質進行比較。

在學習矩陣乘法的運算性質之前，和學生一起回顧一下數的乘法的運算性質。然后自然地提出問題，矩陣的乘法運算是否也滿足類似的性質？帶著這些問題，給出如下的例題讓學生分組討論。

例1 設A=1 ?1 ?3 -12 -1 1 ?2，B= 2 ?1 0-1 0 3 2 ?4 1 1 ?3 4，計算AB和BA

例2 設A=139，B=（3，2，1），計算AB和BA

例3 設A=-1 2 1 -2，B= 1 ? 2-1 -2，C= 3 -3-3 3，計算AB和BA

例4 設A= 2 ? 2-2 -2，B=-2 2 2 -2，C= 3 -3-3 3，計算AB和AC

對于第一個例題，學生通過計算會發現在這個例題中由于AB是一個2行3列的矩陣，但BA的乘積不存在，所以AB≠BA。

此時提出問題若BA的乘積存在，是否一定有AB=BA？讓學生帶著問題去做例2。學生通過計算會發現例2中AB和BA的乘積均存在的情況下，由于AB的階數和BA的階數不同，所以AB≠BA。

再次提出問題如果AB的階數和BA的階數相同，是否一定有AB=BA？讓學生帶著問題去做例3。學生通過計算發現AB的階數和BA的階數相同的情況下，也不一定有AB=BA。

三個例題總結下來，學生就能自然地理解矩陣乘法不滿足交換律的性質。對于矩陣乘法不滿足消去律的性質，我們給出例4，學生通過計算以及分組討論會發現AB=AC在A不是零矩陣的情況下，不能推出B=C。

對于矩陣乘法運算不滿足的交換律以及消去律，我們舉出具體例子以加深學生印象，從而讓學生明白雖然矩陣是數的推廣，但是矩陣的運算并不完全是數的運算的推廣。

四、矩陣的逆運算

首先，在給出逆矩陣的定義之前，先回顧一下倒數（逆）的定義：對于一個非零的數a，如果存在一個數b使得ab=ba=1，則稱b是a的倒數或者稱b是a的逆。提示學生在方陣的乘法運算中我們有如下性質EA=AE=A，讓學生自然地想到單位矩陣E是數1的推廣。然后讓學生嘗試用類比的方法給出矩陣的逆的定義：對于一個矩陣A，如果存在一個矩陣B使得AB=BA=E，則稱B是A的逆。提醒學生對于類比得出的矩陣逆的定義不太嚴格，從而引出其嚴格定義。

在考查矩陣逆的存在性和唯一性時，先問學生兩個問題：任給一個數是否都有倒數？如果有，是否唯一？我們都知道，倒數如果存在肯定唯一，但并不是任一個數都有倒數，一個數a有倒數的充要條件是a不等于0。那么問題來了，任給一個矩陣是否都有逆矩陣？如果有，是否唯一？下面的關鍵問題就是證明矩陣逆存在的充要條件以及逆矩陣的唯一性問題。在證明了方陣A可逆的充要條件是A的行列式不為0的定理之后，與倒數存在的充要條件進行類比，以加深學生對于此定理的記憶。

五、矩陣方程

對于矩陣方程的學習也可以與數的一元方程進行類比。矩陣方程有三種基本類型，下面我們分類型類比。

第三種基本類型的矩陣方程AXB=c的求解可以類比一元方程axb=c的求解，此種情形是前兩種情況的綜合運用，這里就不再贅述。

參考文獻：

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