中國與羅馬尼亞小學四年級數學教材的難度比較

馮曉穎 IoanNeacsu

摘要：在研究中，我們發現，羅馬尼亞中小學生的數學成績相較于中國同齡的孩子，不能夠讓人滿意，原因也許是多方面的，此研究從兩國的教學中最為客觀的材料——學生課本入手，進行難度的比較，試圖發現隱藏在背后的真相。

關鍵詞：難度模型;教材;中國;羅馬尼亞

中圖分類號：G640 ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ?文章編號：1674-9324（2020）11-0327-03

一、難度模型介紹

本研究運用了鮑建生的課程難度模型，他對Nohara（2001）的綜合難度模型進行了細微的修正，適合目前的中、羅研究教材的對比。模型包括“背景、探究、運算、推理及知識點含量”等五個緯度，正如圖1所示。

而對于上述5個難度因素，劃分為以下幾個層次：

各個水平的劃分界定如下：

無實際背景：習題為純數學題目，不涉及任何的實際背景。個人生活：與學生家庭、學校等社會生活密切相關的習題。公共常識：與學生生活聯系不大，但是與社會生活、歷史現象等存在關系的習題。

科學背景：與學生生活相距遙遠，但是與人類科技發展或者自然現象、考古發現、天文科學、體育競技等有關的習題。識記：表示該題目只需記憶相關概念或者規律，不需要其他的技能就可以正確作答，是學習的最初級水平。理解：只要學生理解概念、規律或某個知識點，就能夠正確完成題目。運用：要求靈活運用所學的概念、規律，解決題目，該題目可能有相關的應用背景，也可能沒有。探究：該類題目除了要求學生理解運用所學知識以外，還要能夠進行發散思維，提出某些有價值的問題，或者進行有意義的思考。該類題一般是開放型題目，沒有固定的答案或模式。無運算：不涉及運算，例如，讀數、寫數或者列算式不求解等類題目。簡單運算：運算符號在兩個或以內的，或者口算等。復雜運算：運算符號在3個及以上，或者是有簡單的一元一次方程的計算。高難度運算：涉及簡便運算、多個符號運算，或類似于二元或多元一次方程的運算等。無推理：該類題目不涉及推理，如純計算類題目。簡單推理：只需一步推理就可以找到問題解決的辦法或者列出算式。復雜推理：兩步推理才能找到解決問題的途徑。高難度推理：三步及以上推理才能列出算式或者找到問題的解決辦法。如中國習題里面的雞兔同籠問題等。知識點含量方面不需要多做解釋。在統計題量時，按照以下標準：

1.中國教材大題用1，2，3……編號，小題用（1），（2），（3）……編號。題量按照小題個數計算，而在小題層級上出現更多層級的問題，仍按一題計數，大題一題多問，無標號，按照問題的個數計算。

2.羅馬尼亞教材大題用1，2，3……編號，小題用（a），（b），（c）……編號，類似于中國的（1），（2），（3）……在此用同樣的劃分標準計數。

本研究中只統計中國教材課后練習題和復習題，此類習題只用于課后作業或者家庭作業，具有像“練習一”或者“整理與復習”等這樣的標題，不包括例題，課堂練習“做一做”等;羅馬尼亞的數學教材只統計“Exercitii”及“sunt Campion”，不包含有“Aplic”標題的課堂練習以及例題。難度的衡量通過以下計算公式： di=i=n，i=1，2，3，4，5.j=1，2…）。

其中，di（i=1，2，3，4，5）依次表示“背景”“探究”“運算”“推理”和“知識點含量”5個難度因素上的取值，dij表示第i個難度因素的第j個水平的權重，這里依據難度水平，權重取值分別是1，2，3，4;nij為第i個難度因素中第j個水平的題目的個數;nij的總和為該組所有題目的個數。

二、兩國教材的難度系數對比

根據以上劃分標準和難度計算公式，對兩國教材的習題逐一鑒定，得到下面的量化指標表：

下面對5個難度因素分別進行比較，然后進行難度綜合分析。

背景水平方面統計顯示，中、羅教材中，不涉及實際背景的習題分別是73%和74%;與“日常生活相關”類習題分別占14%和22%;屬于“職業及公共常識”類題目分別占6%和4%;屬于“科學情景”類的習題分別占6%和1%。中、羅兩國教材在背景緯度上，總體差異不大。在“日常生活相關”中，中國教材低于羅馬尼亞教材8個百分點，而在“公共常識”和“科學情景”方面高于羅馬尼亞教材2個和5個百分點。由此可知，中國的數學教材跟科學類知識的聯系更為深刻，而羅馬尼亞教材更貼近學生日常生活。中國與羅馬尼亞教材，在“背景”緯度難度系數分別為1.46和1.32。

探究水平統計顯示，中國與羅馬尼亞教材在識記類的題目上占比分別是4%和14%，在“理解”類題目上，占比分別是41%和39%;在“運用”類題目上，分別是49%和44%;在“探究”類題目上分別是5%和3%。可以看出，羅馬尼亞在知識的掌握方面，要求達到“識記”水平的相對較多，比中國多了10個百分點;在“理解”類、“運用”類和“探究”類題目上，占百分比都比中國教材低，分別低了2個、5個和2個百分點。由此可以看出，在探究緯度上，中國教材要求較高。中國與羅馬尼亞教材，在“探究”緯度難度系數分別為2.55和 2.35。

運算統計顯示，中、羅教材不要求運算的題目占比分別是41%和34%;“簡單運算”類題目分別是51%和44%;“復雜運算”類題目，中國教材占比7%，羅馬尼亞教材占比20%;“高難度計算”類題目，中、羅教材占比分別是1%和2%。可以看出，運算難度不高的習題，中國教材偏多，相對復雜的習題，羅馬尼亞教材占比較多。但是，需要注意的是，羅馬尼亞教材在小學四年級已經涉及了簡單的一元一次方程，而中國的有關方程的運算在中學階段才會學習。但是對于方程類習題的界定，被劃分到“復雜計算”里面，這就抬高了羅馬尼亞運算的難度指標。中國與羅馬尼亞教材，在“運算”緯度難度系數分別為1.69和1.89。

推理統計顯示，不需要推理的題目，中國和羅馬尼亞教材的占比分別是53%和58%;簡單的推理題目，中、羅教材的占比分別是35%和31%;復雜推理類題目，在中、羅教材分別占比9%和10%;高難度推理題目，在中、羅教材分別占比3%和1%。可以看出，不含推理的題目，羅馬尼亞教材較低;簡單推理類題目，羅馬尼亞教材較中國教材多4個百分點;復雜推理類題目，在兩國教材中占比相當;在高難度推理類題目上，中國教材占比稍高。也就是說，羅馬尼亞教材對簡單推理的要求比中國教材高，而中國教材在高難度推理上著墨更多。中國與羅馬尼亞教材，在“推理”緯度難度系數分別為1.61和1.54。

知識點含量統計顯示，中國、羅馬尼亞兩國的教材，幾乎所有題目的知識點含量都不超過3個。一個知識點的題目，中、羅都分別占了86%，兩個知識點的題目含量均為14%。

但是，值得注意的是，兩國教材總的知識點含量差別很大，中國教材上下兩冊總共涵蓋了38個知識點，而羅馬尼亞總共8個知識點。所以可以看出，羅馬尼亞教材練習僅僅在小的范圍內反復。

以上五個方面，分別刻畫了中、羅教材在各個緯度的難度情況，然而難度的衡量不能由單方面來描述，因此本研究依據各個緯度的難度量化指標，給出了刻畫兩國教材習題綜合難度的雷達圖：

由左圖可以看出，除運算緯度，因為內容安排或是說計算難度水平的劃分引起的偏差，導致羅馬尼亞教材水平偏高于中國教材之外，中國教材在“背景”“探究”“推理”“知識點含量”等方面高于或等于羅馬尼亞教材的難度水平。

三、結論

本研究以中國與羅馬尼亞小學四年級為樣本，從教材的“背景”“探究”“運算”“推理”“知識點含量”5個緯度進行比較，得出了一些結果，匯總如下。

1.樣本教材在知識點的總含量上，中國教材遠遠多于羅馬尼亞教材。

2.樣本在難度上，由于教材內容安排的原因，羅馬尼亞教材題目除在“運算”緯度上高于中國教材，在其他的四個緯度上都不高于中國教材。因此，除去編排因素，中國樣本教材綜合難度高于羅馬尼亞教材。

需要說明的是，教材難度比較的方法不一而足，總是存在這樣或那樣的問題。本研究也不例外，會對研究的過程和方法產生影響。例如：綜合難度5個緯度的劃分不夠全面。例如，一些的實際操作，如要求空間想象或考查動手能力類的題目，很難涵蓋到這五個緯度的劃分中;在每一個難度因素水平的劃分方面，不可避免地會帶有某些主觀性，如在“背景”緯度的各個水平的劃分方面，某些題目是該歸屬于“公共常識”水平還是歸屬于“科學知識”水平，很難界定，只能靠研究者的主觀判斷;在每個難度水平的權重分配上，帶有一定的主觀性，例如，知識點含量為2的題目，其難度的權重分配為2，知識點含量為1的題目，其難度權重為1，但是前者在難度上一定是后者的2倍嗎？這里沒有一個客觀的標準;模型在體現整個教材的總體難度上，有一定的缺陷，例如，在“知識點含量”方面，我們得到的是每一道題目的知識點含量，而從不考慮他們是否重復，如果整個教材只有有限的幾個知識點，極端情況：一個知識點，在200道題目中重復訓練;而另一本教材，20個知識點，在200道題目中出現，每次只考查一個知識點，那么測量到的在“知識點含量”方面，難度是一樣的，但是事實上，我們可以看出，后者難度明顯偏高。因此，我們希望上述這些方面能夠引起研究者的注意，對模型進行適當的改進，更全面、客觀地反映兩國教材的難度差異。

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