《資本論》的數學邏輯解析

唐堅

【摘要】數學來源于人們的日常生活及生產過程，是一種專門研究數量關系的科學。伴隨著社會實踐的不斷發展，人們對于數量關系的認識日益深刻、廣泛。在數學的幫助下，人類能夠更加全面系統地分析各個事物間的數量關系，學習運用數學知識和方法有利于人們掌握事物的本質。其實，人類所開展的各類經濟活動，同樣存在著相應的數量關系，從這個意義上來說，數學不但是開展經濟活動不可或缺的工具，還是經濟科學分析的主要方法。馬克思本人不但精通數學，而且高度關注數學在經濟學中的運用，在《資本論》中應用了大量的數學方法。基于此，本文就《資本論》的數學邏輯進行探討。

【關鍵詞】數學;《資本論》;數學邏輯

數學是專門研究數量關系的科學，其主要特點有：第一，以量作為唯一的研究對象，因此數學是抽象性極強的科學;第二，一切事物都有量，因此數學具備較強的適用性;第三，數學是高度重視精準性、邏輯性的科學，而在所有的社會科學中，經濟學是量的特征最顯著的科學，所以，要想厘清各類經濟量間存在的關系，就必須運用數學的相關理論知識。研究表明，《資本論》不僅是將歷史唯物主義與辯證唯物主義相結合的典范，還是將數學應用于經濟學的重要典范。

一、數學對《資本論》的重要意義

經濟發展過程與其他事物發展均有相同之處，不但有“質”的規定性，還有“量”的規定性。《資本論》的寫作目的主要在于分析資本主義經濟關系，不能僅考察其“質”，還應當做到“質”與“量”的同時考察。唯有從“質”與“量”兩個不同的層面去研究資本主義經濟關系，才可以從根本上掌握其變化、發展的基本規律。雖然《資本論》尤為注重對經濟過程中“質”的研究，但我們不能就此斷定《資本論》并未對經濟過程中“量”的分析。那些否定《資本論》既運用定性分析也運用定量分析的觀點，不僅否認了《資本論》內容的豐富性，同樣也沒有正確理解馬克思所采取的科學研究方法。事實上，《資本論》對于經濟過程的所有內容，都進行了大量的數量研究。

在對社會剩余價值的流通進行研究時，馬克思明確指出，不管是生產資本形態，還是貨幣資本形態，不但需要從“質”的層面將其劃分成勞動力與生產資料兩個類別，同時需要從“量”的層面確保勞動力與生產資料維持在相應的比例范圍內，如此才可以推動資本的有效循環。馬克思對生產資本、貨幣資本以及商品資本的“量”的變化過程進行研究，并且強調：以上三種循環存在一個共同點，即價值增值是根本動機。對于資本周轉，馬克思著重研究了周轉次數、周轉時間對于資本增值造成的影響，主要分析了流動資本與固定資本在價值量補償方面的特征等。

在對剩余價值的分配進行研究時，馬克思主要分析了資本主義商品價值量的構成，著重研究了利潤以及成本在剩余價值的分配與生產過程中所處的具體地位。另外，馬克思還考察了對利潤率有所影響的各類因素，在歷史與邏輯相融合的基礎上，考察了生產價格的形成以及平均利潤率的產生，闡明了平均利潤率降低的規律性，并進一步研究了影響該規律的多種因素。與此同時，馬克思還對借貸資本、商業資本以及資本主義地租等進行了深入的研究，深刻揭露出了商業資本家、產業資本家、土地占有者以及借貸資本家等對于剩余價值總量的瓜分。

二、《資本論》的數學邏輯解析

（一）《資本論》與數學的特殊關系

在《資本論》第一卷中，馬克思將簡單的、普通的、擴大的貨幣的各種價值形態，以“價值等式”的形式呈現出來;圍繞貨幣流通這一理念闡述了流通過程中的貨幣量、貨幣流通的平均速率、待流通商品的價值三者間的函數關系，以及可能存在的結合方式，在參考“數學上運算變量和常量的定律”的基礎上，以公式來闡明可變資本在剩余價值形成過程中，與不變的資本起著完全不同的作用，對剩余價值率計算的各類不同公式進行研究，分析了勞動日長度、勞動生產力以及勞動強度三種因素，在不同情況下對剩余價值及勞動力價格所造成的影響。

在《資本論》第二卷中，在對資本的周轉和循環過程進行研究時，馬克思運用了數學公式進行計算，從“量”的方面分析了經濟范疇內的各種關系。在對社會總資本的再生產過程進行研究時，馬克思創造了知名的擴大再生產公式與再生產公式，從理論層面第一次將社會產品根據實物區分成消費資料與生產資料兩種形式，根據價值不同劃分成新創造價值（V+m）與轉移價值（C）。因此，馬克思按照以上兩類劃分，在“兩表”（“總再生產過程的經濟表”與“再生產過程表”）中，將各種社會產品以及其構成要素的所有運動以實線與虛線合理地體現出來。正是由于馬克思對社會產品進行的兩種區分，及用其組成要素的價值補償與實物代替的理念對社會再生產的過程進行研究，馬克思提出的“簡單再生產模式”才被人們更加認可。在《資本論》中，“擴大再生產公式”“簡單再生產公式”等，均是運用數學模型及數學方程的代表性案例，其對現代社會經濟問題的分析、探究發揮了巨大的指導作用。

在《資本論》第三卷中，馬克思針對剩余價值率和利潤率進行了純數學層面的研究，將數學方法當作經濟分析的重要工具，并熟練運用各種數學方法，巧妙化解各類經濟問題，對再生產理論及利潤率降低趨勢進行深入發掘，揭露出生產價格的根本性質。馬克思將利潤率看作是有很多變量的“函數”，將資本、競爭抽象化，假設剩余價值率與利潤率在“量”方面是相同的，從而分析出剩余價值率與利潤率間的相互關系，并且提出首先應該在單純的數學范疇內開展分析。馬克思在對有著數量體現的經濟范圍內的數量關系進行研究時，著重采取數學方法進行分析，有著極其重要的指導意義。比如，在《資本論》中馬克思假設利潤在數量方面是和剩余價值相同的，接著在純數學方面分析了剩余價值和利潤率間的關系，通過列出公式，來分析所有變量間的互相作用，從而推斷出利潤率的各類規律，得到了利潤率降低趨勢的最終結論。這不僅體現了對利潤率變化、發展有決定性影響的各類因素（不但有公式包含的變數，還有貨幣的周轉與價值、勞動日長度、勞動生產率、工資以及勞動強度等諸多因素，盡管在列式中并未體現），同時還闡明了剩余價值率和利潤率互相作用的基本規律。

（二）《資本論》的數理基礎

1.數論與政治算術。眾所周知，數主要包含整數、自然數、實數、有理數以及復數等。正整數的數學理論為算術，算術的核心就是算術的各種基本規律（主要有結合律、交換律、分配律等）。自然數是無窮無盡的，也就表明數系是無限的。1953年，Borel開啟了概率論在數論中運用的先河，通過隨機數對事件的必然性進行分析，堪稱是20世紀“數學界尤其是數論界最重要的成果之一”。此外，針對無限性的素數序列、整數序列的隨機現象開展考察、研究，同樣是剖析數論的前沿話題。

對于“政治算術”，則可分為“政治”與“算術”兩部分。“政治”所指的是政治經濟學，“算術”所指的是統計方法，提倡通過數據來對經濟現象進行研究。在威廉·配第時期，統計學還沒有產生，“政治算術”為統計學的產生及后期發展提供了扎實的方法論基礎。數理統計是在概率論不斷發展的基礎上快速發展產生的，在17—20世紀期間，涌現出大量的數理統計工具，例如：Bayes方法、大樣本檢驗、最小二乘法、顯著性檢驗、小樣本分布等等。

2.勞動決定價值與用時間單位計量價值。勞動價值的根本性質為勞動決定價值。勞動決定價值的分為用時間計算勞動量（計時勞動）、用實物計算勞動量（計件勞動）。然而，實物只是勞動的產品或者結果，時間才是人們付出的過程，因此需要以時間為單位來計量價值。馬克思在《資本論》中首先做出了以下兩種假設：商品是根據其價值售賣的;勞動力價格或許會高于其價值，卻永遠不會低于其價值。在此假設的基礎上，馬克思借用了李嘉圖提出的“三個規律”，并且提出剩余價值與勞動力價值決定于“三個規律”的觀點。馬克思還假設：價值產品=勞動力價值+剩余價值=活勞動=工作日，其作為不變量，列式中的兩個因子成反比例關系。

3.微觀個量加≠總宏觀總量平衡。宏觀總量平衡的列式為投入產出模型。第一，與之有關的“增廣”里昂惕夫體系，包含基于折舊率的舊固定資本價格的計算中，“價格決定機制，能夠縮減成僅包括新品商品加工的決定機制，換言之，聯合生產機制能夠納入到某種非聯合生產機制內”。第二，馬克思提出的“再生產圖式”中的數值例是通過總額來體現的，能夠將總額劃分成單位價值與數量二者間的乘積。馬克思提出的“再生產圖式”，不但簡潔明了地體現出社會總資本的波動，同時還指出“均衡”是現實存在的。第三，關于資本主義經濟波動，藤森賴明曾經提到：根據資本主義經濟的均衡增長與價格均衡等相關理論能夠獲悉，均衡增長是極其不穩定的。對于均衡增長的不穩定性進行研究的模型，是以加速原理為基礎開展的投資及商品市場的均衡作為具體研究對象的。

（三）《資本論》中的數學方法

1.線段法。在《資本論》中，馬克思在考察相對剩余價值與工作日界限的具體概念時，就運用了以下的線段：“ac線：a—b—c表示12小時的工作日，ab段表示10個小時的必要勞動，bc段表示2個小時的剩余勞動”。雖然工作的具體界限a、c已經明確，但bc段依然是能夠延長的，不是向其終點c方向延長，而是由起點a向反方向延長。

2.列表法。此方法同樣屬于統計學范疇，列表法具備明確、清晰等諸多優勢，尤其是在數據復雜而且需進行歸類分析的情況下，其優勢更加突顯，因此馬克思在《資本論》中采用了大量列表法。例如：在分析“資本主義積累基本規律的例證”的時候，馬克思通過不同的表格展現出資產階級的資產積累情況，以及無產階級的身體健康情況、收入情況等等。

3.公式法。此方法是體現不同要素間數量關系的主要方法。在大多數情形下，公式法與文字闡述相比顯得更加明確、清楚。比如，馬克思在對價值形式的發展變化進行研究時，就運用等式的形式將其表達出來，“X量商品A=Y量商品B”，并且說明：所有價值形式都是在此基礎型價值形式上衍生出來的。此類等價體現，事實上是將各種類型的商品所涵蓋的各類勞動轉變成一般人類勞動等共同的東西。等價形式與此類特殊商品相互結合后，此特殊商品也就成為了貨幣商品，又或是發揮貨幣的作用。

4.經濟數學模型。經濟數學模型區別于純粹的數學公式，其涵蓋更加深刻、更加廣泛的經濟內容。其一，經濟數學模型可通過對不同經濟要素間相互數量關系動態和靜態的展現，揭露出各種經濟要素在“量”方面的波動態勢，及所有要素間比較繁雜的數量關系組合。其二，經濟數學模型主要從“質”與“量”相結合的角度出發，反映經濟活動過程的基本規律，其內容已遠遠超出了純數量關系范疇，能夠將“質”的變化與“量”的積累相互結合起來，進而更加深入地體現出某種特定社會形態下經濟關系的根本性質。

三、新時代加強馬克思主義政治經濟學數學邏輯的策略

（一）嚴格遵守“方法準確化”準則

馬克思主義政治經濟學的核心內容為何？這是人們創建與馬克思主義政治經濟學相關的數學模型等所有工作的重要基礎。唯有掌握馬克思主義政治經濟學的本質，才可以真正做到“方法準確化”，根據馬克思原先的理念去分析經濟問題，研究解決各種經濟矛盾，如此才能稱得上是運用數學方法開展馬克思主義政治經濟學分析。

（二）嚴格遵守“方法生動化”準則

通過數學模型體現出馬克思主義政治經濟學中“量”方面的關系，需要以此模型為基礎，生動、形象地表明現實的經濟現象，并給出相應的對策。

（三）嚴格遵守“方法簡約化”準則

在馬克思主義政治經濟學中，數學扮演的是“方法”與“工具”的角色，是服務于分析經濟問題的。在對經濟問題進行認識、分析時，應當采取數學方法使得整個過程簡約化，而并非是讓問題更加復雜化。換言之，在可以化解相同的經濟問題時，簡約程度越高的數學方法，其解決問題的效果也就越好。

（四）嚴格遵守“方法靈活化”準則

在進行經濟學分析時會遭遇各式各樣的經濟問題，而這些經濟問題的本質與特征是完全不同的，因此，對于不同性質的經濟問題應采取有針對性的數學方法。然而，經濟學界有些學者熱衷于采取高等代數方法去認識、分析、化解經濟學方面的問題，無論何種經濟學問題，一律采取高等代數方法，這種做法是盲目的、不可取的;有些學者熱衷于采取微分學方法去認識、分析、化解經濟學方面的問題，無論遇到何種經濟學問題，都采取微分學方法，這種做法同樣是不可取的。