從相遇問題的直觀解釋談數形結合

郭家兵

[摘要]數形結合是小學數學常用的數學思想方法。教學中從以形析題、以形助題、由形到數三個方面去應用，能使問題變得直觀形象。尤其是在相遇問題中，運用數形結合方法，能清楚、快速地建立等量關系，可提高解題的速度與效率。

[關鍵詞]相遇問題;數形結合;畫圖

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）08-0023-02

數形結合既是一種重要的思想方法，又是解決問題的有效方法。數形結合就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形結合起來，使抽象問題具體化、復雜問題簡單化。

兩個物體從兩地出發，相向而行，經過一段時間，必然會在途中相遇，這類題型稱為相遇問題，其研究的是速度、時間和路程三者之間的數量關系。相遇問題對學生而言是一大難題，其實解決相遇問題的最佳方法是借助直觀圖例，數形結合予以分析。

一、以形析題

用方程求相遇時間的問題出現于人教版教材五年級上冊第五單元。題目以主題圖的形式予以呈現，題目有對話、有敘述的條件，要求學生全面分析并理解。由于題目中的條件過于復雜，學生可以通過以形析題，把題目的條件用線段圖逐步細化，方便直觀地對數量關系進行判斷，把復雜的數量關系變得形象和具體。

師：現在是上午9時，仔細觀察，這兩位同學同時出發，他們是怎么走的？

（課件動態演示）

師：這樣面對面地走，在數學上稱為相向而行。

師：經過多久兩人相遇？

（先用小問題將大問題細化，便于學生精準把握有效的解題信息）

師：誰能試著用自己的話完整地說一說下面這幅圖的意思？

生1：小林家和小云家相距4.5千米。一天上午9時，兩人分別從家騎自行車相向而行，小林每分鐘騎250米，小云每分鐘騎200米，經過多少分鐘兩人相遇？

師：用線段圖直觀演示一下題目的意思。

師：假設小林從出發到與小云相遇花了3分鐘，那么小云從出發到與小林相遇用了幾分鐘？

師：他們兩人從出發到相遇，所經過的時間怎么樣？（相同）

師：也就是說兩人相遇時經過的時間相同，這個時間就稱為相遇時間。今天，我們就來研究與相遇時間有關的相遇問題。

以形析題，可促進學生更好地理解知識點。教師在平時的教學中一定要培養學生運用數形結合方法解題的習慣，引導學生學會畫簡單的線段圖分析問題，如行程問題、分數應用題等。

二、以形助題

對于上述相遇問題，用方程法求相遇時間有兩種最基本的等量關系式：小林騎的路程+小云騎的路程=總路程，小林、小云每分鐘騎的路程之和×相遇時問=總路程。怎么讓學生理解這兩個等量關系式呢？可以借助數形結合，以形助題，將抽象的關系式變成形象的圖形，降低問題的難度。

師：請觀察線段圖，旗子左邊是小林騎的路程，右邊是小云騎的路程，把這兩部分合在一起是什么？

師：你能根據線段圖列出方程嗎？

生2：250x+200x=4500。

師：250x表示什么意思？200x又表示什么意思？為什么要加起來？

生3：兩人各自騎的路程合起來就是總路程。

師（出示關系式：小林騎的路程+小云騎的路程=總路程）：要想知道x=10對不對，該如何檢驗？

數與形是數學教學研究對象的兩個側面，用圖形研究數量關系，并分析問題、解決問題，這就是以形助題。

師：誰還有不同的解決方法？

（出示“小林、小云每分鐘騎的路程之和×相遇時間=總路程”，課件動態呈現）

師：兩人同時出發，騎了1分鐘，①是小林1分鐘騎的路程，②是小云1分鐘騎的路程。

師：將這兩條線段合在一起代表的是什么？（兩人1分鐘騎的路程之和，也就是每分鐘騎的路程之和）

師：繼續騎，又騎了1分鐘，現在一共騎了幾分鐘？他們2分鐘騎的路程之和怎么求？

生4：小林、小云每分鐘騎的路程之和×2。

師：繼續騎，又騎了1分鐘，現在一共騎了3分鐘，他們3分鐘騎的路程之和又怎么求？生5：小林、小云每分鐘騎的路程之和×3。

師：一直騎，直到相遇，所騎的時間就是他們的相遇時間，每分鐘騎的路程之和×相遇時間=總路程。

師：現在誰能根據這個關系式列出方程？

生6：（250+200）x=4500。

師：求出x=10說明什么？（10分鐘時兩人相遇）

師：如果現在問題變成“兩人什么時候相遇”，怎么解決？

（板書：9時+10分=9時10分）

師：這個等量關系式你明白了嗎？誰把這個關系式再說一遍？

師：同學們，我們用了兩個不同的方程來解決這道題，請你對比這兩個方程，有什么不同？

（等量關系式不同列的方程就不同）

每分鐘騎的路程之和×相遇時間=總路程，這一等量關系式的理解對學生而言比較難。以形助題時，對于比較難懂的知識點，教師要充分利用多媒體技術進行動態演示，充分豐富“形”，以便學生理解。要突破等量關系式這一難點，可以動態地分層次呈現線段示意圖，以此溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征，提煉出等量關系“每分鐘騎的路程之和×相遇時間=總路程”，既解決了問題，又促進了學生形象思維和抽象思維的協調發展。

三、由形到數

“形”的介入，只是一種問題解決的策略，能使問題得以巧妙解決。先形后數的數學教學遵循了學生的心理發展特性。在此基礎上，教師還要通過一定的練習，讓學生對數學問題的解決策略得到強化，對數學本質的理解得到提升。

師：下面2道題，只列方程，不計算。

1.甲、乙兩個工程隊共同開鑿一條570米長的隧道，各從一端相向施工。甲工程隊每天開鑿110米，乙工程隊每天開鑿80米，經過幾天完成任務？

2.師傅和徒弟兩人同時開工，共同加工1200個零件，師傅每小時加工300個，徒弟每小時加工200個，幾小時能完成任務？

師：今天學習的這3道題目有什么相同點？請4人一組，相互說說自己的想法。

師：這3道題都是求“相遇時間”，都可以用線段圖來表示。

小結：線段③、④分別表示甲、乙要共同完成的工作（走的路程），甲與乙都是同時開工（相向而行），最后完成總工作（相遇）。線段③表示甲的工作量，線段④表示乙的工作量，合起來就是共同完成的總工作量，或者用甲、乙1小時、1分鐘、1秒，即單位時間工作量的和乘相遇時間得到工作總量。這些都可以稱為相遇問題。

本文最后把行程問題、工程問題、工作問題用線段圖的形式匯總，通過由數到形再由形到數，將抽象問題轉變成統一的圖形問題，然后予以歸納提升。這種數與形的有機契合，方便學生直觀地對數量關系進行判斷，把復雜的數量關系變得形象和具體，既有利于學生迅速尋找到解題方法，又可有效提升課堂教學效果，更能實現學生數學思想的升華。

我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。”教師要著眼于每個教學細節，最大限度地將數形結合思想滲入課堂教學過程中，把數形結合的功效發揮出來，這樣不僅有利于學生更好地掌握數學知識，而且能培養學生的學習興趣，鍛煉他們的邏輯思維能力，為學生今后的發展打下堅實的基礎。

（責編：吳美玲）