含時滯懸架系統(tǒng)H∞控制的理論與實驗研究*

紀(jì)仁杰，方明霞，李佩琳，閆 蓋，3

（1.同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092； 2.勞士領(lǐng)汽車配件（昆山）有限公司，昆山 215000；3.上海第二工業(yè)大學(xué)工學(xué)部，上海 201209）

前言

懸架系統(tǒng)是汽車的重要組成部分，隨著電子控制技術(shù)的發(fā)展和人們對汽車乘坐舒適性要求的提高，主動懸架正受到人們的廣泛重視。但在汽車的主動控制過程中，由于信號采集、傳輸、控制器計算及作動器作動等因素，時滯不可避免。研究發(fā)現(xiàn)，即使是很小的時滯，對系統(tǒng)穩(wěn)定性也會產(chǎn)生很大影響，甚至使系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)散［1－2］，但合理的時滯范圍也會對控制系統(tǒng)產(chǎn)生積極影響。為減少其不利因素并充分利用時滯，目前眾多學(xué)者對考慮時滯的控制系統(tǒng)動力學(xué)特性進(jìn)行研究。文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］中采用離散最優(yōu)控制方法研究了彈性板、彈性梁的多時滯振動控制問題，理論和實驗結(jié)果均表明時滯控制律具有良好的控制結(jié)果。文獻(xiàn)［5］中以柔性板為研究對象，開展時滯H∞控制研究，結(jié)果表明獲得的H∞控制律能夠有效地抑制板的彈性振動。文獻(xiàn)［6］中對時滯隔振器的振動控制進(jìn)行研究，采用時滯位移反饋改善了準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能。文獻(xiàn)［7］中對時滯線性系統(tǒng)振動主動控制的最優(yōu)化方法進(jìn)行分析，研究發(fā)現(xiàn)考慮時滯的控制策略不僅能夠較好地控制系統(tǒng)的峰值響應(yīng)，而且能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［8］中采用有限頻率法處理帶有執(zhí)行器輸入延遲的主動懸架系統(tǒng)，設(shè)計了帶有頻帶約束的主動懸架系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，仿真計算驗證了方法的有效性。文獻(xiàn)［9］中采用平均法研究了含時滯的半主動天棚懸架系統(tǒng)的振動特性，得到了系統(tǒng)的近似解析解，并利用Lyapunov理論對該系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，發(fā)現(xiàn)含時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨時滯大小發(fā)生周期性變化。文獻(xiàn)［10］中針對汽車主動懸架系統(tǒng)的輸入時滯提出一種控制律，使得即使在存在時滯的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)依然保持穩(wěn)定。

綜上所述，目前對考慮時滯的控制系統(tǒng)已進(jìn)行了部分研究，并取得了一定的研究成果，但由于時滯量較小難以測定，目前對考慮時滯的控制系統(tǒng)進(jìn)行實驗研究相對較少，影響了研究結(jié)果的可靠性和精確性。為此本文中以考慮時滯的汽車2自由度懸架系統(tǒng)為研究對象，通過Lyapunov-Krasovskii泛函設(shè)計基于H∞魯棒控制的時滯控制策略，并通過實驗方法對時滯控制結(jié)果進(jìn)行驗證。本研究對考慮時滯的系統(tǒng)控制特性研究具有重要的促進(jìn)作用。

1 懸架系統(tǒng)時滯動力學(xué)模型

本文中以賽歐轎車懸架系統(tǒng)為基礎(chǔ)，以磁流變阻尼器為作動器，將系統(tǒng)簡化為考慮時滯的2DOF懸架主動控制模型，見圖1。

根據(jù)第二類拉格朗日方程，建立系統(tǒng)動力學(xué)方程如下：

圖1 2DOF懸架主動控制模型

式中：zs和zu為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量位移；zr為路面不平度；ms為簧載質(zhì)量；mu為非簧載質(zhì)量；cs和ks為懸架系統(tǒng)阻尼和剛度；kt和ct為輪胎的剛度和阻尼；u（t－d（t））為含時滯的主動懸架控制力，d（t）為時變的時滯量，其滿足0＜d（t）≤τ和d·（t）≤μ，τ、μ為時滯及其速度上界。

令狀態(tài)向量Z（t）＝［zs－zuzu－zrz·sz·u］T，則懸架系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

向系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋：u（t）＝KZ（t－d（t）），則式（2）狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

其中：Bk＝BK，Dk＝D1K

汽車主動懸架控制是典型的多目標(biāo)控制，主要目標(biāo)是針對主動懸架系統(tǒng)模型，設(shè)計控制策略，使得閉環(huán)控制的懸架系統(tǒng)能夠滿足如下條件。

（1）舒適性能夠得到改善。乘坐舒適性通過簧載加速度的大小體現(xiàn)，為提高車輛的乘坐舒適性，主要目標(biāo)是從干擾ξ（t）到輸出w1（t）所對應(yīng)的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小化。

（2）懸架的相對行程需要得到約束。由于安全因素，懸架位移不應(yīng)超過允許的最大值，即｜zs（t）－zu（t）｜≤zmax，其中 zmax為動行程最大限定位移。

（3）車輛安全性能滿足要求。為確保車輛車輪與路面的接觸不間斷，動態(tài)輪胎載荷不應(yīng)超過靜態(tài)輪胎載荷，即 kt［zu（t）－zr（t）］＜（ms＋mu）g。

（4）執(zhí)行器輸出力不能超出其限制。懸架系統(tǒng)提供主動控制力的大小應(yīng)該限定在一定范圍內(nèi)，即｜u（t）｜≤umax，umax為作動器允許的最大控制力。

針對上述性能要求，可將主動懸架的控制問題描述如下：設(shè)計一個內(nèi)部穩(wěn)定的控制器，使式（3）控制系統(tǒng)從干擾 ξ（t）到輸出 w1（t）的 H∞范數(shù)最小，同時在時域內(nèi)抑制w2和u，使其滿足

｜｛w2（t）｝q｜≤｛w2，max｝q，

q＝1，2，t＞0，｜u（t）｜≤umax

2 考慮時滯的汽車懸架H∞控制策略

現(xiàn)采用狀態(tài)反饋H∞控制策略來解決含時滯的主動懸架系統(tǒng)控制問題。

2.1 已知時滯上限求解H∞控制策略

為設(shè)計已知時滯上限的H∞控制策略，下面基于H∞控制理論，利用Lyapunov-Krasovskii泛函推導(dǎo)閉環(huán)時滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的矩陣不等式。

取如下Lyapunov-Krasovkii泛函：

式中P、Q、S、R為對稱正定矩陣。

式中N1和N2為自由權(quán)矩陣。將懸架控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程式（3）代入式（5），化簡整理后可得

由式（7）可以看出，若

假設(shè)擾動輸入為零，ξ（t）＝0，則由式（9）得到V·（x（t））＜0，由此可知閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

運用矩陣不等式的相關(guān)定理［12－13］，可以證明，若滿足式（10），則式（9）不等式成立。

因此在計算反饋增益K時，可以直接利用式（10）進(jìn)行分析。

因為V（＋∞，Z（＋∞））≥0，而在零初始條件下有 V（0，Z（0））＝0，因此對式（9）兩邊積分，可得

對?ξ（t）∈L2［0，＋∞），由式（11）可導(dǎo)出‖w1（t）‖2＜γ‖ξ（t）‖2，即簧載質(zhì)量加速度具有H∞抑制水平γ。

此外，懸架系統(tǒng)需要滿足輸出約束和最大控制力約束，根據(jù)文獻(xiàn)［14］，有

因此，當(dāng)式（10）、式（12）和式（13）同時成立時，對所有滿足0≤d（t）≤τ而且0≤d·（t）≤μ的時滯，閉環(huán)時滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。而且在零初始條件下，系統(tǒng)簧載質(zhì)量加速度具有H∞抑制水平γ，且滿足輸出約束和最大控制力約束條件。

2.2 非線性矩陣不等式的處理

由于式（10）為非線性矩陣不等式，Matlab的LMI工具箱無法直接求解。因此采用參數(shù)調(diào)節(jié)法［11］，得到一個與非線性矩陣不等式等價的新矩陣不等式。

對式（10）左乘 χT，右乘 χ。令 M1＝n P－1，M2＝m P－1，其中 n和 m為實數(shù)，m≠0。記 P－＝P－1，Q－＝P－1QP－1，R－＝R－1，S－＝P－1SP－1，Y＝P－1KT，則

同樣對式（12）和式（13）進(jìn)行合同變換，左乘diag｛P－1，I｝，右乘 diag｛P－1，I｝。有

經(jīng)上述變換后，式（14）、式（15）和式（16）均為線性矩陣不等式。根據(jù)2.1的推導(dǎo)，對于給定的τ＞0，n∈R，m∈R，且 m≠0，如果存在具有合適維度的矩陣 P－＞0，Q－＞0，R－＞0，S－＞0以及 Y，使得矩陣不等式式（14）－式（16）成立，則對所有滿足 0≤d（t）≤τ而且0≤d·（t）≤μ的時滯，閉環(huán)時滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。而且在零初始條件下，系統(tǒng)簧載質(zhì)量加速度具有H∞抑制水平 γ，控制增益矩陣 K＝Y(jié)TP－－1。

當(dāng)系統(tǒng)最大穩(wěn)定時滯量τmax已知，對于給定的n和m，以線性矩陣不等式H∞抑制水平γ最小為目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)可使用如下描述：

通過求解優(yōu)化問題，尋求滿足目標(biāo)函數(shù)的矩陣，利用Y＝P－1KT獲得H∞控制增益系數(shù)K，然后代入式（3），即可對懸架控制系統(tǒng)的振動特性進(jìn)行分析。

3 含時滯懸架系統(tǒng)振動特性分析

本節(jié)將采用數(shù)值方法對懸架控制系統(tǒng)的控制策略和振動特性進(jìn)行分析，并在懸架時滯控制實驗平臺上對計算結(jié)果進(jìn)行驗證。懸架縮尺實驗?zāi)Ｐ蛥?shù)為：簧載質(zhì)量 ms＝136.05 kg，非簧載質(zhì)量 mu＝24.288 kg，簧載剛度 ks＝10200 N／m，非簧載剛度kt＝98000 N／m，簧載阻尼 cs＝2100 N·s／m，非簧載阻尼ct＝0 N·s／m。其中，ms和 mu通過直接稱量獲得，ks和kt由廠家通過專業(yè)測量儀器給出，而cs和ct則通過傳遞函數(shù)法進(jìn)行參數(shù)識別獲得。為獲得控制系統(tǒng)中的固有時滯，將其分成兩個部分，第1部分包括信號的采集、傳輸、處理和控制力計算所導(dǎo)致的時滯d1（t），可直接通過示波器讀取，時滯量為37 ms；另一部分為作動器作動過程所產(chǎn)生的時滯d2（t），這一部分參考作動器廠家及他人研究提供的時滯量［15］，取28 ms。則整個反饋回路固有時滯為d（t）＝65 ms。

3.1 懸架時滯控制系統(tǒng)振動特性的數(shù)值模擬

為便于分析對比，選取d（t）為65 ms進(jìn)行仿真分析，懸架參數(shù)取懸架縮尺模型參數(shù)。τmax＝70 ms，利用式（17）得到 70 ms對應(yīng)的 Y＝［1.2619，－0.9961，－3.5670，30.1908］，由 Y＝P－1KT得到反饋增益系數(shù) K＝［7625，－53328，1402，－395］。將u（t）＝KZ（t－0.065）代入式（3），在 MATLAB平臺上進(jìn)行仿真，得到τmax＝70 ms時懸架系統(tǒng)控制前后的簧載質(zhì)量加速度響應(yīng)，見圖2。從圖中可以看出，通過施加反饋控制，簧載質(zhì)量的加速度幅值從2.280 1減小到 1.890 8 m／s2，減少了 17.07%，說明懸架主動控制具有良好的減振效果。控制后系統(tǒng)的簧載加速度響應(yīng)均方根值為1.337 0 m／s2。從圖中還可看出，在考慮時滯情況下經(jīng)H∞控制后系統(tǒng)的穩(wěn)定性良好，未出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

圖2 τmax＝70 ms時簧載質(zhì)量加速度計算結(jié)果

同理，可以得到τmax＝80 ms時的反饋增益系數(shù)K＝［8270，－60110，1545，－535］，簧載質(zhì)量加速度響應(yīng)見圖3。施加反饋控制后，簧載質(zhì)量的加速度幅值從2.280 1減小到1.893 6 m／s2，減少了16.95%。系統(tǒng)的簧載加速度響應(yīng)均方根值為1.338 8 m／s2，略大于70 ms時的加速度均方根值。

圖3 τmax＝80 ms時簧載質(zhì)量加速度計算結(jié)果

3.2 懸架時滯控制系統(tǒng)的實驗研究

為提高分析的可信度，在2DOF懸架時滯控制實驗平臺上對計算結(jié)果進(jìn)行驗證。搭建以磁流變阻尼器為作動器的懸架測控實驗平臺，如圖4所示。

圖4 2DOF懸架時滯控制實驗平臺

首先利用振動臺的作用模擬懸架系統(tǒng)路面激勵，然后利用加速度傳感器采集簧載質(zhì)量加速度、非簧載質(zhì)量加速度和振動臺基礎(chǔ)加速度激勵，并將其輸入到NI控制器中；之后控制器根據(jù)設(shè)計好的控制算法計算出期望的控制電壓值，并通過NI SCB-68A將電壓信號輸出；最后，通過電流控制板將控制電壓轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電流，輸入到磁流變阻尼器中，達(dá)到調(diào)節(jié)磁流變阻尼器阻尼力的作用。與此同時，將計算機與NI PXI控制器通過網(wǎng)線連接，并應(yīng)用Labview將加速度傳感器采集的簧載質(zhì)量加速度信號存儲在計算機中，用來評價控制算法的控制效果。

選取τmax＝70，80 ms對應(yīng)的矩陣增益K進(jìn)行控制實驗測試，得到簧載加速度的時間歷程曲線的實驗結(jié)果，見圖5和圖6。

圖5 τmax＝70 ms時簧載質(zhì)量加速度實驗結(jié)果

圖6 τmax＝80 ms時簧載質(zhì)量加速度實驗結(jié)果

將圖5和圖6與圖2和3進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)實驗結(jié)果和仿真結(jié)果吻合得較好。對實驗結(jié)果進(jìn)行處理，得到τmax為70和80 ms時，簧載質(zhì)量加速度均方根值分別為1.223 1和1.263 5 m／s2。與上節(jié)的仿真結(jié)果 1.337 0和 1.338 8 m／s2相比，誤差分別為8.52%和5.62%。產(chǎn)生誤差的原因主要是由于磁流變阻尼器的非線性特性所致，磁流變阻尼器的阻尼力具有強非線性，不能精確表示出反饋力的大小，并且阻尼力存在上限，會出現(xiàn)達(dá)不到控制增益所要求的控制力的情況；另外，信號干擾、環(huán)境影響和設(shè)備因素等也會產(chǎn)生誤差。但簧載加速度的均方根誤差在10%以內(nèi)，滿足工程要求。

以上理論和實驗結(jié)果對比，驗證了時滯H∞控制算法的有效性?，F(xiàn)利用該算法進(jìn)一步分析不同增益下時滯與簧載加速度均方根值關(guān)系。

圖7展示了在不同控制增益下，時滯與簧載加速度的關(guān)系曲線。由圖7可見，簧載加速度的大小和τmax、d（t）的選擇有關(guān)。對于同一條曲線，時滯量距離所對應(yīng)的τmax越近，控制效果越好，即簧載質(zhì)量加速度越小。因此最大穩(wěn)定時滯量τmax的選取應(yīng)盡量接近系統(tǒng)固有時滯。

圖7 不同增益下時滯與簧載加速度均方根值關(guān)系曲線

4 結(jié)論

本文對2自由度懸架系統(tǒng)的時滯魯棒H∞控制問題進(jìn)行了研究分析，并進(jìn)行了實驗驗證，主要結(jié)論如下。

（1）通過采用 Lyapunov-Krasovskii泛函和自由權(quán)矩陣法，設(shè)計滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的時滯控制策略，并推導(dǎo)出控制策略滿足的條件。

（2）由于上述條件為非線性矩陣不等式，不易求解。為便于求解增益矩陣，根據(jù)參數(shù)調(diào)節(jié)法，將上述條件轉(zhuǎn)化成等價的線性矩陣不等式。

（3）通過理論與實驗相結(jié)合的方法研究時滯對汽車懸架系統(tǒng)振動特性的影響。驗證了H∞控制策略的減振效果，實驗結(jié)果和仿真結(jié)果均表明，主動控制懸架的振動加速度響應(yīng)均方根值與被動懸架相比明顯降低，乘坐舒適性得到明顯改善。研究還發(fā)現(xiàn)時滯量距離所取的τmax越近，控制效果越好。