雙光腔耦合下機械振子的基態冷卻*

劉妮 王建芬 梁九卿

(山西大學理論物理研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

(2019 年 10 月 9日收到; 2020 年 1 月 5日收到修改稿)

機械振子的基態冷卻是腔量子光力學中的基本問題之一. 所謂的基態冷卻就是讓機械振子的穩態聲子數小于1. 本文通過光壓漲落譜和穩態聲子數研究雙光腔光力系統(標準單光腔光力系統中引入第二個光腔,并與第一個光腔直接耦合)的基態冷卻. 首先得到系統的有效哈密頓量, 然后給出朗之萬方程和速率方程, 最后分別給出空腔和原子腔的光壓漲落譜、冷卻率和穩態聲子數. 通過光壓漲落譜、冷卻率和穩態聲子數表達式, 重點討論空腔時機械振子的基態冷卻, 發現當滿足最佳參數條件(機械振子的冷卻躍遷速率對應光壓漲落譜的最大值, 而加熱躍遷速率對應光壓漲落譜的最小值)時, 機械振子可以被冷卻到穩態聲子數足夠少. 此外分析: 當輔助腔內注入原子系綜時, 若參數選擇恰當可能更利于基態冷卻.

1 引言

光力系統中許多奇特的量子現象已被觀察, 機械運動的量子控制和光的機械控制方法已被廣泛應用于高精度測量、量子信息處理和量子基本原理驗證等多個領域. 目前, 機械振子的冷卻是腔量子光力系統中的一個熱門課題[1,2], 且實驗上[3,4]已證明光力系統中機械振子的顯著冷卻. 最近, 通過機械振子與被驅動的輔助系統耦合, 使輔助系統從機械振子吸收能量從而實現機械振子的基態冷卻(自冷卻)[5,6].

目前人們已提出許多理論方案來實現機械振子的基態冷卻[7?10], 最著名的方案是標準光力系統的邊帶冷卻[11,12], 將機械振子通過輻射壓力與腔光場耦合. 根據機械振子邊帶冷卻量子理論, 耦合到機械振子的光壓漲落譜決定了機械振子冷卻和加熱過程的躍遷速率, 也就是說: 機械振子頻率時的頻譜引起冷卻躍遷, 而頻率時的頻譜引起加熱躍遷, 且分別對應反斯托克斯和斯托克斯過程. 在可分辨邊帶條件下, 腔場的耗散系數遠小于機械振子的頻率, 也就是說, 光壓漲落譜的單個洛倫茲峰的半高寬小于機械振子頻率; 通過冷卻反斯托克斯過程到漲落譜的最大值和加熱斯托克斯過程到漲落譜的最小值, 可以獲得機械振子的基態冷卻.

實驗上很多光力系統[13?15]的冷卻裝置很難滿足邊帶條件, 于是人們提出很多超出邊帶冷卻的新的基態冷卻裝置[16]. Xia 和 Evers[17]將受限粒子運動的電磁感應透明(EIT)裝置耦合到三能級超導通量比特來實現機械振子冷卻[18]. 該EIT冷卻裝置可以在未滿足邊帶區工作, 但依據三能級系統中EIT現象發現: 該裝置壓制了載體的熱過程[19,20].同時相似的類EIT冷卻裝置被耦合到氮-空缺雜質的單電子自旋比特來實現機械振子冷卻. 最近Genes等[21]也提出了機械振子的EIT基態冷卻裝置, 他們是通過混合光力系統中三能級原子媒質的EIT來實現.

基于這些研究工作, 我們提出雙光腔光力系統[22]中機械振子的類EIT的基態冷卻裝置. 事實上我們提出的是機械振子自冷卻, 通過讓機械振子與被驅動的輔助系統耦合, 使輔助系統從機械振子吸收能量進而實現冷卻. 本文給出的雙光腔光力系統具體是: 引入第二個量子光腔與標準光力系統中的第一個光腔直接耦合, 由此可以調控第一個光腔的性質. 一方面, 在邊帶不可分辨的條件下(即第一個光腔的耗散系數遠大于機械振子頻率), 利用雙光腔系統的類EIT效應, 可以調整第一個光腔施加在機械振子上的光壓力的漲落譜, 使得原本很寬的單峰洛倫茲譜變成具有兩個較窄的峰和一個較低的谷的類EIT譜. 在新的譜中, 較窄的峰可以用來加強冷卻躍遷, 而較低的谷可以用來有效抑制加熱躍遷. 利用率方程方法可以求出穩態聲子數解析式, 結果表明, 即便在邊帶不可分辨條件下, 仍可以利用雙光腔系統的類EIT來實現機械振子的基態冷卻. 該雙光腔光力系統的類EIT的機制與三能級系統類似. 總之, 機械振子通過輻射壓力耦合到雙耦合單模腔(也稱為光學分子[23])中的第一個. 作用于機械振子的光壓漲落譜是由兩個耦合光腔確定, 并從標準光力系統的單個洛倫茲(Lorentzian)峰值分裂成兩個相對較窄的峰, 且兩峰之間出現谷. 當第二個光腔的耗散系數足夠小時, 谷的最小值將近似接近于零, 對應的光譜具有類EIT形式, 類似于典型的L型三能級系統中的EIT現象. 將對應光壓漲落譜的機械振子冷卻過程(反斯托克斯)達到最大值和加熱(斯托克斯)過程達到最小值, 我們發現: 此時機械振子比沒有輔助腔時冷卻得更好, 甚至可以冷卻到基態[10]. 目前, 實驗上已經實現兩個耦合光腔或耦合諧振腔(玻色腔模或機械振蕩器)[24]中的類 EIT 現象. 包含兩個腔模和一個機械振子的光力系統中的基態冷卻方案也已提出[25], 與我們提出方案的主要區別是: 1)文獻[25]中兩腔模通過混合腔系統內的1/4波片有效地間接互相耦合, 其中兩腔模正交偏振, 被同頻率的激光場驅動, 1/4波片提供兩腔模間的線性混合相互作用; 我們提出兩個單模腔以更簡單的方法直接耦合, 例如光分子系統中的瞬逝耦合; 2)文獻[25]通過復雜的方案讓兩腔模都耦合到機械振子; 我們的模型只需要單模腔直接耦合到機械振子, 更容易在實驗中實現. 最近文獻[26]提出一種類似于我們的冷卻方案[26]: 引入另外的輔助機械振子代替我們模型中的一個腔來獲得機械振子的基態冷卻.

2 系統哈密頓量和朗之萬方程

2.1 系統哈密頓量

如圖1所示, 我們考慮兩個耦合的單模光腔和一個機械振子組成的光力系統. 機械振子(共振頻率為, 有效質量為m, 耗散系數為)耦合到被強抽運激光器(頻率為)驅動的左光腔, 形成標準的光力腔子系統. 右光腔內包含二能級冷原子系綜, 并通過耦合強度J與左光腔進行耦合. 整個系統哈密頓量為

式中第一和第二項表示兩個光腔模的自由能, 頻率分 別 為和,和是 兩 個 腔 模 的 湮 滅 算 符;第三和第四項是機械振子的能量,m和為機械振子的質量和頻率, 耗散系數為是機械振子的湮滅算符; 第五項表示右腔內囚禁的二能級原子系綜的能量; 第六項描述右光腔內原子系綜與光場的相互作用,是第j個原子的泡利算符, 其中是第j個原子的基態和激發態,為原子-場耦合系數; 第七項是光力耦合項,為單光子光力耦合系數, 滿足第八項表示光腔耦合項,其中J是雙光腔間的耦合系數; 最后一項表示外部的驅動抽運激光對光力腔的影響,為驅動抽運激光的頻率,則描述其強度, 其中是其功率.

圖1 可實現的雙光腔光力系統的示意圖Fig. 1. Schematic diagram of an achievable double-cavity optomechanical system.

為了簡化哈密頓量(1)式, 定義原子系綜的集體算符

其中N是原子數目. 在大N極限和低激發條件下,集體自旋算符近似滿足玻色對易關系以及用集體自旋算符代替哈密頓量(1)式中的泡利算符, 則(1)式可以簡寫為

2.2 朗之萬方程

為了研究左腔的有效反饋, 首先需要分析右腔的腔場動力學. 通過非線性海森伯-朗之萬方程分別得到如下系統算符的時間演化.

機械振子的朗之萬方程為

對如上朗之萬方程求平均值, 并將機械振子坐標 用 算 符 表示 , 即其 中得到平均值的演化方程

而機械振子噪聲對應的非零關聯函數為[27]

雙穩性是許多非線性系統中普遍存在的現象,通過朗之萬方程中光力耦合項可以觀測該非線性相干性, 對朗之萬方程取平均值得到平均的演化方程, 最終解出各穩態解以方便探討相關的雙穩性.假設系統算符是在平均場近似下, 并僅考慮原子只處在基態, 即和則穩態算符由下式給出:

忽略方程(24)和(28)中漲落算符的二次項, 并省略所有記號, 則漲落算符的動力學朗之萬方程(24)—(28)與系統算符的朗之萬方程(5)—(9)具有相同形式, 即

3 機械振子速率方程和光壓漲落譜

3.1 機械振子速率方程

為了方便討論, 先假設右腔為空腔, 即未注入原子系綜, 并設b是機械振子的湮滅算符, 與坐標和動量的關系是滿足玻色對易關系. 則有效哈密頓量(23)式整理為

根據有效哈密頓量(34)式和文獻[28]提供的方法, 寫出機械振子的速率方程[28]

從速率方程(35)可以解出機械振子穩態平均聲子數:

其中

3.2 光壓漲落譜

3.2.1 空腔光壓漲落譜

利用傅里葉變換(44a)—(44c)式將光學部分的朗之萬方程(42)和(43)變到頻域上, 并得到代數方程

依據(45)和(46)式可解得

其中

從(47)—(51)式可以得到

且滿足

依據(52)式和傅里葉逆變換可以求得漲落譜

3.2.2 原子腔光壓漲落譜

如上利用傅里葉變換(44a)—(44c)式將系統朗之萬方程(29)—(31)式變到頻域上, 得到代數方程

依據代數方程(55)—(57)式可以求得

其中

最終求得系統中包含原子組的光壓漲落譜為

4 參數影響的漲落譜

4.1 參數影響的空腔漲落譜

如上所述, 機械振子的冷卻主要由漲落譜的正頻和負頻部分決定, 即為實現基態冷卻要求盡可能大, 而盡可能小. 圖2刻畫了光壓漲落譜隨參數(雙光腔間的耦合系數J, 有效腔失諧和, 耗散率和) 的變化. 根據邊帶冷卻機制, 獲得機械振子可分辨邊帶冷卻基態的必要條件是在不可分辨邊帶條件下, 決定冷卻和加熱過程的漲落譜和達不到機械振子的最佳冷卻(如圖2,這里, 我們主要研究不可分辨邊帶條件下(第一個光腔的衰減率大于機械振子的頻率, 即雙光腔光力系統的基態冷卻.

圖2 雙腔間耦合系數 J 影響下漲落譜 S (ω) 隨頻率 的變化(左腔和右腔的有效失諧和對應的耗散率分別為?1= ωm,κ1=5ωm ; ? 2=?ωm,κ2=0.05ωm )Fig. 2. Fluctuation spectrum S (ω) as a function of the frequency ω with different double-cavity coupling coefficient J. The effective detunings of the left cavity mode and right cavity mode and the corresponding decay rates are respectively are ? 1= ωm,κ1=5ωm ; ? 2= ?ωm,κ2=0.05ωm .

當右腔及腔內原子不存在時, 則雙光腔間的耦合系數為零, 即J=0 , 此時回退為標準的光力系統. 從 (54)式漲落譜S(ω) 和 (48a)式可以發現, 此時漲落譜S(ω) 僅由κ1和?1決定, 為洛倫茲譜; 在ω=?1處是單一峰值點, 在ω=κ1處是峰的半高寬, 如圖黑線所示. 為了讓冷卻過程達到最大躍遷,漲落譜S(ω) 只有在?1=ωm處.

當右腔僅為空腔時, 則雙光腔間的耦合系數不為零, 即J=0 , 漲落譜S(ω) 則從單峰的洛倫茲譜劈裂成相對窄的兩個峰和一個谷的類EIT譜, 如圖2彩色線所示. 物理上, 雙峰之間的谷的起源類似于三能級原子中的EIT[29]的雙光子共振, 漲落譜的最小點在位置ω=?2, 對應于EIT或類EIT現象中的雙光子共振條件. 因此, 為了盡可能壓制熱過程, 需要漲落譜在ω=?ωm時具有最小值, 推導得到的最佳條件是?2=?ωm(如圖2彩色線所示). 漲落譜的兩個峰的位置強烈依賴于雙光腔間的耦合系數J. 同時, 為了達到冷卻過程的最大躍遷率, 漲落譜S(ω=+ωm) 應該盡量大, 也就是說,應該確定右峰的中心在ω=+ωm附近.

事實上, 雙光腔光力系統中類EIT譜的兩個新的峰來自光學模的簡正模劈裂, 可以通過對角化光學部分哈密頓量(41)式為來看出該過程.

其中,是對角化簡正模的本征頻率, 新的簡正模的湮滅算符滿足如下關系:

將(62)式代入(61)式, 可得

其中新的簡正模本征頻率和分別對應于漲落譜S(ω) 的右側和左側峰值的位置,?2對應漲落譜谷的位置, 故

將(64)式代入(63b)式, 得到最優雙光腔間的耦合系數滿足

當ωm? ?1<0 時, 右 邊 的 峰 值 總 是 位 于ω=+ωm點的右側,S(+ωm)0的情形. 我們讓右峰點加強冷卻躍遷, 而讓谷點(雙光子共振點)抑制加熱躍遷, 并結合(64)和(65)式, 可以得到雙光腔系統的類EIT譜給出的最優冷卻條件

圖3給出漲落譜S(ω) 在最佳條件?2=?ωm下隨四種不同的耗散系數κ2變化的示意圖, 左腔的有效失諧量?1=?ωm, 依據(65)式, 此時對應的最佳雙腔間耦合系數J=2ωm. 值得注意的是,即使滿足兩個最優條件:?2=?ωm(對應最小加熱效應)和?′1=+ωm(對應最大冷卻效應), 為了獲得良好的冷卻, 如基態冷卻, 也應該要求相關譜的最小點的值接近于零, 常通過適當選擇右腔耗散系數κ2(κ2決定漲落譜的深度). 事實上, 當非常小時, 如κ2?J, 最小點的值接近于零, 如圖3所示.從圖3還可以看出, 隨著耗散系數的減小, 峰高逐漸增大, 同時最小點趨于零. 可見, 耗散系數越小越利于雙光腔光力系統中機械振子的冷卻. 而從開始, 尤其(綠線) 時, 漲落譜已不再出現明顯的峰和谷, 再次驗證耗散系數越小越利于系統的基態冷卻.

圖3 不同衰減率 κ2 影響下的漲落譜 (給定的參數分別為?1= ?ωm,κ1=5ωm ; ? 2=?ωm,J=2ωm )Fig. 3. Optical fluctuation spectrum with different decay rates κ 2 . The given parameters are ? 1= ?ωm,κ1=5ωm ;?2= ?ωm,J=2ωm.

4.2 參數影響的原子腔漲落譜

圖4 中藍線對應圖2空腔漲落譜中J=2ωm時的藍線. 在相同參數下, 引入原子系綜后, 發現某些參數下, 原子腔漲落譜的峰值S(+ωm) 接近于空腔時, 而谷值S(?ωm) 低于空腔時, 可見原子腔更加抑制加熱躍遷, 有利于機械振子冷卻. 實際作圖時發現, 原子有效失諧?a、相干衰減率γa、原子-場耦合系數、原子數N都會影響漲落譜, 從(59a)和(60)式也能明顯看到. 而且原子有效失諧影響不明顯, 而原子-場耦合系數增大數量級時會從類EIT譜變成單一的洛倫茲譜.

圖5中黑線與圖3中黑線對應, 發現在恰當選擇原子參數時, 輔助腔內注入原子系綜時更有利于基態冷卻, 因為此時更有利于抑制加熱躍遷, 在時對應的谷 比空腔時更低.ω=?ωmS(?ωm)

圖4 參數影響下空腔和原子腔漲落譜 S (ω) 隨頻率 ω 的變化(左腔和右腔的有效失諧和對應的耗散率分別為?1= ωm,κ1=5ωm ; ? 2= ?ωm,κ2=0.05ωm ; 原 子 的有效失諧和相干衰減率是 ? a= ωm,γa=10ωm ; 原子-場耦合系數 g a=0.62×10?4ωm , 原子數 N =108 )Fig. 4. Optical and atom-optical fluctuation spectrumS(ω)as a function of the frequency ω under the influence of parameters. The effective detunings of the left cavity mode and right cavity mode and the corresponding decay rates are respectively are ? 1= ωm,κ1=5ωm ;?2=?ωm,κ2=0.05ωm. The atomic effective detuning and the coherent decay rates are respectively are ? a= ωm,γa=10ωm .The atom-field coupling strength is g a=0.62×10?4ωm .The atomic number is N =108 .

圖5 衰減率 κ 2=0.05ωm 影響下空腔和原子腔漲落譜 (給定的參數分別為 ? 1= ?ωm,κ1=5ωm ;?2=?ωm,J=2ωm ; ? a= ωm,γa=10ωm ; g a=0.62×10?4ωm, N =108 )Fig. 5. Fluctuation spectrum and atom-optical fluctuation spectrum with given decay rates κ 2=0.05ωm . The given parameters are ? 1= ?ωm,κ1=5ωm , ? 2=?ωm , J =2ωm , ? a=ωm , γ a=10ωm ; g a=0.62×10?4ωm , N =108 .

5 基態冷卻

5.1 空腔基態冷卻

圖6 冷卻速率 γc 在不同衰減率 κ2 影響下隨光腔耦合系數J的函數(給定的參數是 g =0.5ωm,?2= ?ωm,κ1=5ωm ,最優失諧 ? 1 滿足(66)式)Fig. 6. Cooling rate γc as a function of optical coupling coefficient J in the case of different decay rates κ2 . The given parameters are g =0.5ωm,?2= ?ωm,κ1=5ωm ,and the optimal detuning ? 1 satisfied the Eq. (66).

圖7 參數影響下平均聲子數 np 隨最佳光腔耦合系數 J 的變化(給定的參數是 ω m=1.55π ×20 MHz , Qm=ωm/γm=6.2×104,nm=403, g =0.5ωm , κ 1=5ωm , κ 2=0.05ωm ,?2=?ωm , 最優失諧 ? 1 滿足 (66)式)Fig. 7. Mean phonon number np as a function of optical coupling coefficient J. The given parameters are ωm=1.55π×20 MHz,Qm= ωm/γm=6.2×104, n m=403 , g =0.5ωm ,κ1=5ωm,κ2=0.05ωm,?2=?ωm, and the optical detuning?1 satisfied the Eq. (66).

為了考慮機械振子的最佳冷卻, 采取一套實驗可行的參數[30]:ωm=1.55π×20 MHz ,Qm=ωm/γm=6.2×104,g0=1.2×10?4ωm,|ε|=6000ωm(對應于驅動功率P(mW)), 最初的熱態聲子數nm=403(對應環境溫度T=300 mK). 我們選取的其他參數是: 光學失諧滿足(66)式的最佳條件, 光腔耗散系數分別為κ1=5ωm和κ2=0.05ωm. 從圖7 可以看到, 穩態聲子數np可以小于1. 這意味著即使在通常的不可分辨邊帶情況下(即κ1>ωm), 機械振子可以冷卻到接近基態, 原因是第二個光腔與機械振子不發生直接耦合, 操作上容易提高第二個光腔品質因數. 另外輔助右腔與左腔的相互作用改變了所需的光譜: 從洛倫茲峰(其寬度大于機械振子的頻率)(不可分辨邊帶)到具有雙峰的譜(其右峰寬小于機械振子的頻率). 這意味著有效的吸收邊帶條件得到滿足, 因此可以實現機械振子的基態冷卻.

圖8 平均聲子數 np 隨有效初始溫度 T 的變化 (給定的參 數 是 ω m=1.55π ×20 MHz , Q m= ωm/γm=6.2×104 ,J=10ωm , g =0.5ωm , κ 1=5ωm , κ 2=0.05ωm , ?2=?ωm , 最優失諧 ? 1 滿足 (66) 式)Fig. 8. Mean phonon number np as a function of effective initial temperature T. The given parameters are ωm=1.55π×20 MHz , Q m= ωm/γm=6.2×104 , J =10ωm ,g=0.5ωm , κ 1=5ωm,κ2=0.05ωm,?2= ?ωm and the optical detuning ? 1 satisfied the Eq. (66).

5.2 原子腔基態冷卻

圖9 冷卻速率 γc 隨最佳光腔耦合系數 J 的變化 (給定的參 數 是 ω m=1.55π ×20 MHz , Q m= ωm/γm=6.2×104 ,nm=403, g =0.5ωm , κ 1=5ωm , κ 2=0.05ωm , ?1=?2=?ωm , ?a= ωm , γa=10ωm , ga=0.62×10?4ωm , N=108 )Fig. 9. Cooling rate γc as a function of optical coupling coefficient J. The given parameters are ω m=1.55π×20 MHz ,Qm= ωm/γm=6.2×104, n m=403 , g =0.5ωm , κ 1=5ωm ,κ2=0.05ωm , ? 1=?2=?ωm , ? a=ωm , γ a=10ωm ,ga=0.62×10?4ωm , N =108 .

圖10 平均聲子數 隨最佳光腔耦合系數 J 的變化 (給定的參數同圖8)Fig. 10. Mean phonon number as a function of optical coupling coefficient J. The given parameters are same as the ones in Fig. 8.

6 結論

本文研究了雙光腔光力系統中機械振子的冷卻. 首先得到系統的有效哈密頓量(34)式, 然后利用微擾論和維納-辛欽定理建立機械振子的速率方程, 從而得到光壓漲落譜和穩態聲子數表達式(37)式. 機械振子的冷卻結果主要由光壓漲落譜的正頻和負頻部分決定. 需要注意的是: 率方程建立的穩態聲子數公式必須滿足弱耦合條件, 即和遠小于的譜寬度. 為了理解最優冷卻, 圖2給出了光壓漲落譜對系統參數的依賴. 該光壓漲落譜具有類EIT特性,最優冷卻條件是取峰點的值,取谷點(雙光子共振點)的值, 最終得到最優冷卻條件為此外, 為了得到較大的冷卻率, 還需要滿足滿足上述條件即可在邊帶不可分辨條件下實現機械振子的基態冷卻. 當輔助腔內注入原子系綜時, 恰當選擇參數可以一定程度上達到優于雙光腔光力系統時機械振子的冷卻. 此外, 該模型已應用在聲子的激光實驗[23]. 這些研究結果有助于實驗上實現機械振子的量子基態和量子信息過程.