雙穩態結構中的1/2次諧波共振及其對隔振特性的影響*

劉恩彩 方鑫 溫激鴻 郁殿龍

(國防科技大學, 裝備綜合保障技術重點實驗室, 長沙410073)

(2019 年 7 月 15日收到; 2020 年 1 月 4日收到修改稿)

以典型的雙穩態系統—屈曲梁結構為例, 基于等效模型, 結合解析、數值和實驗手段, 研究了雙穩態結構中的1/2次諧波共振特性、演化過程、參數調節規律及其對隔振特性的影響. 研究發現, 當非線性剛度系數或激勵幅值增加到一定程度時, 系統會在一定帶寬下產生顯著的1/2次諧波共振; 隨著激勵幅值增加, 阻尼系統的1/2次諧波遵循“產生-增強-衰退-消失”的過程, 該過程對峰值頻率和峰值傳遞率有重要影響; 適當提高非線性強度能有效改善雙穩態結構隔振特性. 針對雙穩態屈曲梁結構開展的實驗驗證了1/2次諧波特性和隔振特性變化規律.

1 引言

非線性系統的獨特性質, 如跳躍、分叉、混沌等, 為新型功能結構設計提供了新的思路與機理[1?5].雙穩態系統是一種典型的非線性系統, 其具有兩個穩定平衡狀態和一個不穩定平衡狀態, 穩定平衡點之間的剛度為負值. 當能量輸入較大時, 系統產生在兩個穩定平衡狀態之間的跳變躍遷運動, 導致強非線性現象[6]. 應用雙穩態結構設計的隔振系統具有高靜態、低動態剛度特征, 可在保證高承載性能的情況下實現低頻隔振[7], 是雙穩態系統的重要應用場景; 雙穩態振子也可以實現高效的能量捕獲和振動能量采集[8?13]. 雙穩態結構中存在次諧波共振, 次諧波能用于質量檢測[14,15]和拓寬雙穩態能量采集器的工作頻帶[16,17]. 目前, 國內外學者對次諧波行為開展了一系列的研究工作[18?20], 然而, 雙穩態結構中1/2次諧波的產生機理、演化過程及其對隔振特性的影響尚待深入分析.

雙穩態可利用磁鐵、栓鎖、鉸鏈、彈簧、屈曲梁等結構產生[21], 其中, 屈曲梁結構簡單、適應性強,是最具代表性的雙穩態結構[22?26], 大量學者對其隔振特性開展了分析. 研究表明, 雙穩態屈曲梁結構[27]的突彈跳變[28]、混沌響應[29]、驅動力的位置[25]和量值[30]等都會影響其隔振特性. 然而, 其中的次諧波共振及其對隔振特性的影響的研究尚不完善,參數影響規律有待揭示.

本文以典型的雙穩態屈曲梁結構為對象, 基于解析、數值和實驗方法系統研究雙穩態系統中的1/2次諧波共振的產生機理、分岔過程、參數影響規律及其對隔振特性的影響. 研究結果為雙穩態系統的設計與應用提供有益參考.

2 雙穩態屈曲梁結構動力學特性分析方法

本文研究的對象如圖1(a)所示, 主要部分為兩個并列的雙穩態圓弧. 雙穩態圓弧可保證實際實驗中加載配重后樣件的穩定性. 該結構可視作兩個非線性彈簧并聯. 在結構振動的過程中, 兩彈簧位移相同, 共同承受附加在結構上的質量. 所研究對象可簡化為圖1(b)所示的非線性彈簧振子模型,為兩組相同的彈簧振子結構并聯. 屈曲梁幾何參數為: 跨距l= 35 mm, 厚度t= 1 mm, 高度h=5.25 mm, 寬度b= 56 mm. 雙穩態屈曲梁結構試樣使用3D打印的方法制備, 材料為TPU (熱塑性聚氨酯彈性體橡膠), 其材料參數通過壓縮實驗測得:密度r= 916.7 kg/m3, 彈性模量E= 17.9396 MPa,泊松比n= 0.385, 總配重M為 0.93 Kg.

圖1 (a) 雙穩態屈曲梁試樣; (b)彈簧振子模型Fig. 1. (a) Prototype of bistable buckling beam; (b) spring oscillator structure.

如圖1所示, 外力p作用在屈曲梁結構中間位置, 該位置的位移為x. 每根屈曲梁都可等效為一個包含立方剛度非線性的雙穩態系統, 但在理論解析和數值仿真分析過程中僅需取其中一個分析其動力學特性. 系統微分方程為

其中質量m=M/2,c為阻尼系數,k0為結構負剛度,kn為立方剛度系數,u為激勵位移, 則系統運動的絕對位移為x+u. 根據 Jin 等[31]的研究, 屈曲梁所受外力與所發生位移的關系為

求解得到的參數值分別為kn= 0.28 N/mm3,k0=–7.5 N/mm. 在靜態時, 系統處于其中的一個穩態平衡點. 當響應幅值非常微小時, 質點僅在該平衡點附近運動, 響應特性近似為線性的. 該平衡點附近的線性剛度為

本文采用諧波平衡法求解該系統在給定激勵下響應的解析解. 因阻尼對系統動力學特性的定性規律影響較弱, 為簡化分析, 在解析分析中未考慮其影響. 實際試樣中存在阻尼, 后文通過實驗與仿真對比, 通過曲線擬合確定阻尼參數c= 30 kg/s.設系統的激勵為u=Ucos(wt), 其中U為激勵幅值,w= 2πf為激勵頻率. 由于雙穩態系統包含偏離0的響應項, 將系統的解設為x=A0+A1cos(wt).代入方程(1)得

令方程(5)的常數項和coswt項的系數為零, 得

給定U可通過方程組(6)求得A0,A1, 即可求得系統在激勵u下的相對位移x. 因此, 結構的振動傳遞率為

圖2 Simulink 數值仿真模型Fig. 2. Numerical simulation model in Simulink.

本文采用MATLAB軟件的Simulink模塊對系統進行數值仿真分析. 針對系統的微分方程(1)建立系統的數值仿真模型, 如圖2所示. 系統的激勵u為正弦波,y=x+u為系統響應的絕對位移. 利用該模型, 可求解系統在給定激勵下響應的數值解.

3 雙穩態系統的次諧波共振特性及機理

3.1 雙穩態系統的1/2次諧波共振

給定U= 0.01 mm, 該系統的數值仿真結果與解析結果對比如圖3所示. 實數解析結果具有3個分支, 雙穩態系統的非線性使傳遞率曲線彎向左側, 與軟剛度非線性系統類似; 0—29 Hz 頻段,解析解有兩個根, 系統穩定狀態下的響應對應的一般為幅值較低的解. 仿真結果與解析解的分支1和分支2一致性較好, 然而仿真結果中傳遞率在58 Hz處出現奇異峰值, 此頻率恰好為系統主共振頻率f0的2倍, 因此可能產生了1/2次諧波共振現象. 但是根據(5)式得到的解析結果并沒有預測出該奇異峰值, 原因在于以上理論沒有考慮次諧波響應, 所以預測精度較低.

圖3 解析與數值分析結果對比Fig. 3. Comparison between analytical and numerical results.

為了更準確地分析雙穩態系統的響應特性, 在解設定時考慮1/2次諧波成分, 將系統的周期解表示為x=A0+A12cos(wt/2) +A1cos(wt) 的形式, 其中A12cos(wt/2)為1/2次諧波成分. 代入方程(1)得

令方程(8)的常數項、cos(wt/2)項系數、cos(wt)項系數為 0, 得

給定U可通過方程組 (9)求得A0,A12,A1,即可求得系統在激勵位移u下的相對位移x. 因此,考慮1/2次諧波共振時系統傳遞率的表達式變為

此時, 基波與1/2次諧波的解相互耦合.

無阻尼情況下, 依然取U= 0.01 mm, 對比結果如圖4所示. 解析結果除了具有與圖3相似的3個分支外, 還具有另外一條向左彎曲的分支4,且該分支實際上是由兩條曲線構成. 分支3與分支 4在時源于相同的分岔, 當時, 分支4的兩條曲線與分支2重合. 數值分析表明, 在0—57 Hz頻率范圍內, 真實響應對應于幅值較低的解, 與未考慮 1/2次諧波相同; 在 2f0= 58 Hz附近, 系統的響應發生突變對應的是分支2到分支4的跳變; 當激勵頻率遠離2f0時, 解再次從分支4跳變到分支2. 解析分析的主共振峰和1/2次諧波共振導致的奇異峰恰好與數值仿真結果十分符合. 系統在58 Hz正弦激勵下的響應頻譜如圖5所示, 可以看出, 系統頻域響應曲線除在 58 Hz處有尖峰外, 在主共振29 Hz處也有一個明顯的峰值, 甚至主共振的響應大于基波的響應. 這些分析都證明, 圖3中2f0的峰值是1/2次諧波共振引起的, 1/2次諧波共振導致高頻能量向低頻轉移(而不是低頻向高頻轉移), 無阻尼時導致主共振能量急劇增加從而使系統在2f0激勵下的總響應幅值傳遞率增加80 dB以上, 為系統隔振帶來不利影響.因此, 在實際使用雙穩態隔振系統時, 需要設計恰當的結構和參數, 避免系統產生次諧波共振現象.當系統存在強阻尼時, 高頻向低頻轉移的能量能夠被有效耗散.

圖4 考慮 1/2次諧波時的解析-數值結果對比Fig. 4. Comparison between analytical and numerical results with considering 1/2 sub-harmonics.

圖5 次諧波共振發生時的頻譜Fig. 5. Spectra for sub-harmonic resonance.

3.2 幅值變化引起的分岔及次諧波產生過程

上文所分析的傳遞率為總幅值的傳遞率. 為更好地分析基波與1/2次諧波的耦合行為, 定義基波傳遞率為激勵頻率處的響應幅值與激勵幅值之比,即T1=A1/U; 定義 1/2次諧波傳遞率為 1/2激勵頻率處的響應幅值與激勵幅值之比, 即T12=A12/U.

利用(9)式求得幅值變化引起的傳遞率分岔見圖6(a), 圖6(a)中的基波傳遞率曲線1和1/2次諧波傳遞率曲線突出呈現在圖6(b)中, 圖6(a)和圖6(b)的Y軸分別為對數坐標和線性坐標. 圖中粉色虛線所代表的T1值對應的T12= 0, 因實際系統存在次諧波響應, 此虛線值可忽略. 基波傳遞率有兩條連續曲線(曲線1和曲線 2), 但是1/2次諧波的解僅有單個分支.U→ 0時, 曲線 1上的T1→ –50 dB, 但曲線 2上的T1起始于很大的值; 由于激勵幅值很小時系統呈線性規律, 因此曲線1代表了小幅值激勵下系統的真實解. 0

圖6 解析求解的幅值變化對次諧波共振的影響(a)對數坐標; (b) 線性坐標Fig. 6. Analytical results of the influence of amplitude on sub-harmonic resonance: (a) The Y coordinate of panel is logarithmic; (b) the Y coordinate of panel is linear.

圖7 (a)呈現了無阻尼情況下的數值仿真結果,可見基波傳遞率呈現的規律與分岔分析中圖6(b)(即圖6(a)中曲線 1)的規律恰好符合; 當U<0.3 mm時, 圖6(b)解析解與圖7(a)數值解呈現的T12變化規律一致; 但是當U> 0.3 mm 時,1/2次諧波共振的數值解出現波動, 單頻激勵下的響應頻譜為連續譜, 主要的能量并不是集中在單頻的1/2次諧波上, 而是集中在一個較寬的頻帶10—30 Hz內 (圖7(a)內插圖), 因此系統的響應不再是周期或擬周期的, 這是典型的混沌響應特征.

圖7 幅值變化對次諧波共振影響的數值解(a)無阻尼結果; (b) 有阻尼結果Fig. 7. Numerical results of the impact of amplitude on subharmonic resonance: (a) Results without damping; (b) results with damping.

圖7 (b)呈現了阻尼系數c= 30 kg/s時的數值仿真結果. 可見當系統中出現阻尼時, 基波傳遞率在 0

4 參數變化對系統隔振特性的影響

為了研究參數變化對雙穩態系統隔振特性的影響規律, 本節分別闡明: 1)激勵幅值U對頻率偏移量的影響; 2)固定立方剛度系數kn, 研究負剛度系數k0變化對非線性系統隔振特性的影響; 3)固定負剛度系數k0, 研究立方剛度系數kn變化對系統隔振特性的影響. 得到參數變化對系統1/2次諧波共振現象和隔振特性的影響規律, 以此作為系統動力學特性優化的依據.

在以下分析中, 解析分析不考慮阻尼的影響(c=0),在數值分析中,c= 30 kg/s, 分析系統參數變化的影響時, 激勵幅值為0.3 mm.

4.1 幅值變化對頻率偏移量的影響

共振頻率和共振峰峰值是雙穩態系統振動特性的兩個重要指標, 也是隔振應用中十分關注的兩個變量. 前文分析表明, 在分析主共振時解析計算中可以不考慮次諧波的影響, 不同幅值下的數值和解析結果分別如圖8中實線和點線所示. 在共振區域, 數值與解析結果趨勢一致: 隨激勵幅值增加,共振峰峰值降低, 共振點的位置向低頻移動, 峰值傳遞率下降. 數值仿真結果還表明, 在一定帶寬的激勵下 (圖中為 55—58 Hz), 均有1/2次諧波共振產生.

當考慮阻尼效應時, 上文所述共振頻率偏移量會顯著增加. 數值分析表明(圖9), 隨著激勵幅值增加, 其共振頻率從 28 Hz降低到 23 Hz, 頻率前移了17.8%, 峰值傳遞率也隨之下降. 但是激勵幅值增加到一定程度 (此系統為U> 1.05 mm之后), 系統的峰值頻率(不一定是主共振)急劇跳變增大, 峰值傳遞率也跳變升高. 由圖7(b)可知, 這一跳變點恰好對應于T12=T1, 峰值頻率和傳遞率升高的原因在于高幅值的1/2次諧波改變了系統的本質特性.

圖8 無阻尼條件下幅值變化對隔振特性的影響Fig. 8. Influence of amplitude on vibration isolation characteristics without damping.

圖9 有阻尼條件下幅值變化對頻率偏移(a)和共振峰峰值(b)的影響Fig. 9. Influences of amplitude on frequency shifting (a) and the peaks of harmonic resonance (b) with damping.

4.2 負剛度系數k0變化對系統隔振特性的影響

固定立方剛度系數kn= 0.2 N/mm3, 通過改變雙穩態屈曲梁結構的跨距l、厚度t、寬度b, 改變系統的負剛度參數, 變化k0= –0.2—–80 N/mm,結果如圖10所示. 解析和數值仿真結果均表明,隨|k0|的增加, 系統共振點的位置向高頻移動, 系統共振峰升高. 共振頻率的變化規律與公式相近, 但值略大于

圖10 固定 kn = 0.2 N/mm3, 負剛度系數 k0變化對系統隔振特性的影響(a)解析結果; (b)數值仿真結果Fig. 10. When kn = 0.2 N/mm3, influence of k0 on vibration isolation: (a) Analytical results; (b) numerical simulations.

4.3 立方剛度系數kn變化對系統隔振特性的影響

固定負剛度參數k0= –7.5 N/mm, 通過改變雙穩態屈曲梁結構的高度h、跨距l、厚度t、寬度b,改變系統的立方剛度系數, 變化kn= 0.01—4 N/mm3,結果如圖11所示. 解析和數值結果均表明, 隨著kn的增加, 系統共振峰值頻率略向低頻偏移, 共振峰峰值降低. 與參數k0理論分析結果相比, 參數kn變化引起的效果遠小于參數k0變化引起的效果.從圖11(b)還可以看出,kn的大小與1/2次諧波共振是否出現有關, 當kn增大到一定值(此系統參數下約為 2.6 N/mm3)時, 系統出現次諧波共振. 且傳遞率被1/2次諧波共振增強的頻帶在kn=2.6 N/mm3達到 52—56 Hz, 進一步增加kn還會拓展該頻帶, 表明強非線性下產生1/2次諧波共振現象.

綜上可得, 激勵幅值影響系統的主共振頻率;負剛度系數k0的變化主要引起系統共振點位置和共振峰大小的變化; 立方剛度系數kn主要與系統次諧波共振的出現有關.

圖11 固定 k0 = –7.5 N/mm, 立方剛度系數 kn 變化對系統隔振特性的影響(a)解析結果; (b)數值仿真結果Fig. 11. When k0 = –7.5 N/mm, influence of kn on vibration isolation: (a) Analytical results; (b) numerical simulations.

5 實驗驗證

實驗裝置如圖12所示, 通過功率放大器利用電磁激振器在屈曲梁底部施加激勵, 利用激光掃描測振系統拾取結構的激勵和響應, 利用電腦實現控制和數據采集等功能.

5.1 次諧波共振特性驗證

為研究并驗證該結構的1/2次諧波共振現象,本文在實驗中施加頻率為55 Hz的正弦激勵并研究系統的響應特性, 結果如圖13所示. 圖13(a)表明, 系統頻域響應曲線除在 55 Hz處有尖峰外, 在接近27.5 Hz處也有一個明顯的峰值. 由此可知,本文設計的雙穩態結構確實可以產生顯著的1/2次諧波共振響應, 時域響應曲線每2倍周期響應幅值被加強. 此外, 本文實驗還表明, 1/2次諧波共振現象能在基波為40—60 Hz的寬帶范圍內觀察到, 證明了1/2次諧波共振在較寬的帶寬下均可產生.

圖12 (a)實驗示意圖; (b)實驗裝置Fig. 12. (a) Experimental schematic diagram; (b) experimental setups.

圖13 頻率為 55 Hz的正弦激勵信號下系統的響應(a) 頻域響應; (b)時域響應Fig. 13. Response under sinusoidal excitation signal with frequency of 55 Hz: (a) Frequency domain; (b) time domain.

為從實驗中驗證激勵幅值對系統次諧波共振的影響規律, 本文以 40 Hz為例開展實驗研究, 結果如圖14和圖15所示.

圖14呈現了激勵幅值逐漸增加時基波和1/2次諧波的傳遞率. 隨激勵幅值的增加, 系統的基波傳遞率整體呈下降的趨勢, 1/2次諧波傳遞率在激勵幅值較小時為0, 在激勵幅值為1.251 mm時向上跳變, 然后逐漸降低直至消失. 這一規律與圖7呈現的特性完全一致, 證明了1/2次諧波共振的耦合特性以及次諧波的“產生-增強-衰退-消失”過程.

圖15呈現了跳變前后的響應特性. 在跳變發生前 (見圖15(a)激勵幅值U= 1.251 mm), 響應信號中僅包含基波成分. 但只需將激勵幅值進一步增加 (圖15(b)U= 1.351 mm), 響應頻譜 (圖15(c))除在 40 Hz處有峰值外, 在 20和 60 Hz處也有明顯的共振峰, 且 20 Hz的頻譜值更高, 1/2次諧波成分對系統響應的影響最大, 此時, 其時域波形產生2倍周期的顯著畸變, 如圖15(d)所示.

圖14 激勵幅值變化對 1/2次諧波共振的影響Fig. 14. Influence of excitation amplitude on the 1/2 subharmonic resonance.

5.2 隔振特性驗證

為驗證激勵幅值對雙穩態屈曲梁結構隔振特性的影響, 實驗中施加掃頻激勵信號得到結構在不同激勵幅值下的隔振特性, 實驗與數值仿真結果對照如圖16所示, 實驗結果與數值仿真結果符合得較好. 實驗證明, 隨激勵幅值增加,雙穩態屈曲梁結構的共振頻率向低頻移動且共振峰峰值降低. 因此, 適當提高非線性系統的激勵幅值, 能有效改善系統的隔振特性.

圖15 系統 40 Hz 處的次諧波共振現象(a) U = 1.251 mm 時的響應和激勵頻譜; (b), (c)U = 1.351 mm 時的響應和激勵頻譜;(d)U = 1.351 mm 時的時域波形Fig. 15. Sub-harmonic resonance phenomena at 40 Hz: (a) Response and excitation spectrum with U = 1.251 mm; (b), (c) response and excitation spectrum with U = 1.351 mm; (d) time-domain waveform with U = 1.351 mm.

圖16 實驗-數值仿真結果對比Fig. 16. Comparison between numerical and experimental results.

6 結論

本文利用諧波平衡、數值積分和實驗研究了典型雙穩態系統—屈曲梁結構中的1/2次諧波共振、演化過程、參數調節規律及其對隔振的影響,得到如下結論.

非線性強度增加到一定程度時會使系統產生顯著的1/2次諧波共振, 使二倍固有頻率附近的幅值傳遞率增加, 降低隔振效果, 且1/2次諧波共振能在一定帶寬的激勵下產生. 激勵幅值較小時, 無次諧波共振現象; 激勵幅值增加到一定程度時次諧波共振傳遞率急速增加, 但繼續增加激勵幅值會使次諧波傳遞率降低. 在激勵幅值變化的過程中, 次諧波共振條件下基波和次諧波傳遞率產生分岔: 無阻尼時1/2次諧波的產生伴隨著基波傳遞率增強過程, 但1/2次諧波傳遞率達到峰值并不會引起基波傳遞率的突變; 有阻尼時, 隨著幅值增加, 1/2次諧波并不會在產生后一直存在, 而是遵循著“產生-增強-衰退-消失”的過程. 在這一過程中, 系統的峰值頻率和峰值傳遞率先降低, 但是1/2次諧波傳遞率大于基波傳遞率時就引起峰值頻率和峰值傳遞率的跳變增加.

負剛度參數k0對系統主共振特性影響較大,在給定激勵幅值下, 隨著|k0|的增大, 系統共振峰向高頻偏移且傳遞率升高; 非線性系數kn主要影響系統次諧波共振特性, 對系統共振峰的峰值和共振點頻率影響較小. 實驗驗證了理論分析結果.

非線性系統的次諧波共振會影響系統隔振區的隔振效果, 使系統在該頻段的隔振效果變差, 在實際使用中應避開次諧波共振傳遞率增強的幅值區間; 而當需要應用次諧波的幅值增強效應時, 需調節參數使系統運行在“增強”幅值區間. 本文研究所揭示的規律和特性為雙穩態結構的設計和應用提供指導.

附錄A系統(1)的兩個重要參數

利用(2)式求解雙穩態屈曲梁機械結構理論模型的參數, 將其化為普通形式

將零點位置化到原點

取屈曲梁雙穩態結構的幾何、材料參數, 代入(A2)式得x3項系數

x項系數