高考數學題中蘊含的轉化與化歸思想

陳香君　湯強

摘 要：基于轉化與化歸思想是數學中最基本的思想之一，對其范疇中的換元法，數形結合法，構造法，坐標法，反證法，特殊值法，等價轉化法等七種方法在高考中的應用進行了舉例和分析，以此體會高考數學題中蘊含的轉化與化歸思想。

關鍵詞：高考數學;轉化與化歸思想;數學題

一、 轉化與化歸思想簡述

數學中的轉化與化歸思想意為：在解決數學問題時，根據題目中給出的已知條件及要求解的未知問題，按照一定的原則將未知問題向已知條件進行轉化從而解決問題。轉化與化歸思想的實質主要是對數學命題進行變更，將新命題轉化為與原命題價值相當的命題，進而使數學問題得到解決。可以說，數學解題就是轉化問題。下面以近年來一些高考題為例，分析七種常見的方法，體會其中蘊含的轉化與化歸思想。

二、 轉化與化歸思想在高考題中的具體體現

（一）換元法

換元法是常見的轉化方法，通過換元可將式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題。

【例1】 （2016年高考數學上海理科第12題）在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=1-x2上一個動點，則BP·BA的取值范圍是。

解析：由題知，曲線為圓x2+y2=1（y≥0），因為P是曲線上一個動點，所以設P（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，π]，則BP·BA=cosθ+sinθ+1=2sinθ+π4+1∈[0，2+1]，所以BP·BA∈[0，2+1]。

點評：本題采用三角換元法，利用已知條件與三角函數知識的聯系，將一個代數問題轉化為一個三角函數求值域問題，從而簡化解題步驟。

（二）數形結合法

數學名家華羅庚曾說過“數離形時少直觀，形離數時難入微”。數與形的結合可以使抽象的函數、方程等轉化為直觀的圖形，從而巧解難題。

【例2】 （2018年全國卷Ⅰ理科第9題）已知函數f（x）=ex，x≤0lnx，x>0，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）

A. [-1，0）B. [0，+∞]

C. [-1，+∞]D. [1，+∞]

解析：由題，g（x）存在2個零點，即g（x）=0有兩個根，也就是f（x）與y=-x-a有兩個交點，故容易想到本題可用數形結合的方法求解，作圖1。

圖1

由圖可知，當y=-x-a在y1=-x+1下方時，f（x）與y=-x-a有兩個交點，因此-a≤1，即a≥-1，故選C。

點評：本題運用數形結合將函數零點問題轉化為判斷圖像問題，減少了計算量，體現了數形結合轉化的直觀，簡潔。

（三）構造法

數學中的函數、公式等素來享有結構化、簡潔的美譽，構造函數是實現這一目的的重要途徑。

【例3】 （2019年高考數學天津理科第8題）已知a∈R，設函數f（x）=x2-2ax+2a，x≤1x-alnx，x>1，若關于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為（）

A. [0，1]B. [0，2]C. [0，e]D. [1，e]

解析：由題中所給的是分段函數可知，需對x在不同區間內取值進行討論。

①當x=1時，f（1）=1-2a+2a=1>0恒成立;

②當x<1時，f（x）=x2-2ax+2a≥02a≥-x21-x恒成立，令g（x）=-x21-x=-[（1-x）-1]21-x=-[（1-x）-2+11-x]≤-2（1-x）11-x-2=0，即g（x）max=0，所以2a≥0，即a≥0;

③當x>1時，f（x）=x-alnx≥0a≤xlnx，令h（x）=xlnx，h′（x）=lnx-1（lnx）2=0x=e，經判斷，h（e）=e是 h（x）的極小值，也是最小值，所以a≤e。

綜上：a∈[0，e]，故選C。

點評：本題通過構造函數將一個恒成立問題轉化為了一個求最值問題，進而聯系基本不等式、導數等知識進行求解，達到了簡化目的。

（四）坐標法

坐標法以坐標系為工具，將幾何問題轉化為坐標系內的計算問題，它是用計算方法解決幾何問題的一個重要轉化途徑。

【例4】 （2017年全國卷Ⅱ理科第12題）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（）

A. -2B. -32C. -43D. -1

解析：由于△ABC是等邊三角形，邊長和角度都較為特殊，且只知P在平面ABC內，若要求PA·（PB+PC）的最小值，可考慮用坐標的方法。設BC中點為O，連接AO，分別以OC，OA所在方向為x，y軸正半軸，利用向量數量積的坐標運算可得PA·（PB+PC）=2x2+2（y-32）2-32，因此最小值為-32，選B。

點評：本題充分運用了等邊三角形的邊長、角度特殊的性質，通過建系設點，運用坐標的方法將最值問題進行轉化為了二次函數求最值的簡單問題，體現了轉化思想。

（五）反證法

圖2

【例5】 （2016年全國卷Ⅰ理科第22題）如圖2，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°，以O為圓心，12OA為半徑作圓。

（1）證明：直線AB與⊙O相切;

（2）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明AB∥CD。

解析：（1）略。（2）假設AB與CD不平行，且二者相交于F，由切割線定理得FK2=FC·FD①，因為四點共圓，所以由割線定理，所以FC·FD=FA·FB=（FK+AK）（FK-BK），由于AK=BK，所以FC·FD=（FK+AK）（FK-AK）=FK2-AK2②，由①②知矛盾，所以假設不成立，即AB∥CD。

點評：本題運用反證法，假設AB與CD不平行，運用圓的相關定理導出矛盾，進而證明AB∥CD，體現了“正難則反”的轉化思想。

（六）特殊值法

特殊值法是選擇題的常用方法，通過取特殊值，進行運算、分析，將原本很難求解或證明的問題轉化為了簡單的“判斷題”。

【例6】 （2019年高考數學天津文科第8題）已知函數f（x）=2x，0≤x≤11x，x>1，若關于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R），恰有兩個互異的實數解，則a的取值范圍為（）

A. 54，94B. 54，94

C. 54，94∪{1}D. 54，94∪{1}

解析：由于本題是選擇題，觀察四個選項后發現它們的差別在于是否能取到1和54，因此可檢驗這兩個特殊值即可。

當a=1時，若0≤x≤1，則x4+2x-1=0，令t=x∈[0，1]，有t2+8t-4=0，解得t=25-4∈（0，1），則x∈（0，1）;若x>1，則x4+1x-1=0（x>1），解得x=2，排除A，B。同理，當a=54時，若0≤x≤1，解得x∈（0，1）;若x>1，解得x=4，排除C。綜上，選D。

點評：本題通過分析可知兩個特殊值1和54，分別代入方程計算，再將結果與x的取值范圍比較是否符合即可，體現了轉化與化歸的簡潔之美。

（七）等價轉化法

需解決的數學問題若直接求解或證明有難度，可用等價轉化法，將原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到簡化的目的。

【例7】 （2018年高考數學江蘇理科第12題）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，假設直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，那么k的最大值是。

解析：圓C的標準方程為（x-4）2+y2=1，則圓C的圓心為（4，0），半徑r1=1，由題：設直線y=kx-2上至少存在一點A（x0，kx0-2），使得以A為圓心，半徑r2=1的圓與圓C有公共點。要求k的最大值即等價轉化求（AC）min≤r1+r2=2，（AC）min即為點C到直線y=kx-2的距離：4k-2k2+1，所以4k-2k2+1≤2，解得0≤k≤43。綜上，k的最大值是43。

點評：本題與k有關的是一個存在性條件，不好處理，通過分析題干信息得出其等價命題kmax（AC）min≤2后，問題就立刻變得明確易解。

除此之外，近年來還有很多高考數學題的解法蘊含了轉化與化歸思想，如參數法、類比法等，有的試題還同時體現多種轉化與化歸方法，值得我們思考、體會。

參考文獻：

[1]張偉.對化歸思想的幾點思考[J].中學數學教學參考，2015（21）：48-49.

[2]趙靜煒.關于高中數學中轉化與化歸思想的探究[J].科教文匯（下旬刊），2010（6）：104+106.

作者簡介：

陳香君，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院;

湯強，教授，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。