把握概念本質 提升探究教學
——對“函數的極值與導數”一課的思考

浙江省安吉孝豐高級中學 (313300) 汪本旺浙江省安吉縣教育科學研究中心 (313300) 姚文建

高中數學課堂蘊含大量的概念課教學，如何把握概念的探究，提升課堂效率？人教A版選修2-2中函數的極值與導數，是概念課探究教學的好素材．教學設計的共識是：不能直接告訴學生利用導數直接判斷極值，而是在教師的引導下，通過類比及合情推理歸納出結論，獲得函數的極值概念．教學設計的難點是如何突破學生的探究難點——導數的介入(利用導數判斷函數的極值)以及函數極值與函數最值的區別．筆者結合課堂教學實踐，從學生數學學習的認知角度，探討函數的極值與導數探究教學的四個問題：如何引起學生對新知識的共鳴？適合學生探究的起點是什么？如何處理學生探究過程中遇到的難點？關于探究式教學的思考？

一、理解教材意圖，合理創設情境

新課程標準強調：“數學課程應當從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程．”同時建構主義也認為學習并非是對教師所傳授的知識的被動接受，而是學習者以自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構過程．所以，數學教師需要熟練掌握數學概念的引入方法．數學概念的有效引入，可以將學生思維帶到某一概念的相關數學情境中，能有效地加深學生對數學概念理解與掌握．據此，筆者采用游戲引入，以下是教學片段：

師：讓學生觀察廬山連綿起伏的圖片思考“山勢有什么特點？”

學生間激烈地爭論著這個問題，各執一詞，情緒高漲．這時筆者已經將學生從“要我學”被動學習情緒激發到“我要學”的積極主動的學習欲望上來，學生能夠自覺地參與課堂教學的過程中來．

師：結合詩句“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，由此聯想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點”與“谷點”，這就象數學上要研究的函數的極值——引出課題．

美國心理學家布魯納認為教學過程是一種提出問題、解決問題的持續不斷的活動．本節課的探究問題是函數的極值的如何用導數描述，函數的極值與函數的最值區別，其中導數的介入是探究的難點．筆者和同事在教學中分別采用如下兩種設計思路：

設計1 探究的起點是依托學生課前自主預習，然后課堂上直接給出：可導函數y=f(x)，x0是極大值點?f′(x0)=0且x0兩側附近導數左正右負．

圖1

設計2 探究的起點是先復習函數的單調性與其導數的關系，然后讓學生觀察圖1，當運動員距離水面高度最大時，此點的導數值是多少，此點附近的圖像有什么特點，相應的，導數的符號有什么變化規律？并回答下列問題：

(1)當t

(2)當t>a時h(t)的單調性是；

(3)當t=時運動員距水面高度最大，h(t)在此點的導數是;

(4)導數的符號有什么變化規律？

二、基于學生的認知，降低探究起點

導數理論從產生到完備經歷了幾個世紀，凝聚了數學家的心血．如今學生“再創造”學習時，在沒有教師的引導下，導數介入函數的極值中是很難理解的．這樣的“突然一跳”作為學生的探究起點，難度很大，不免給學生造成此內容好像是“帽子里跳出的兔子”．因此，探究的起點應從學生熟悉的公式或概念開始．

上述的兩種教學設計的主要區別是探究的起點不同，但不同的起點都是為了讓學生體會函數的極值是局部最值的概念，基于學生的認知，尋找函數的極值的算法——導數介入是個難點．從教學實踐來看，設計1中通過學生課前自主預習，課堂學生展示，體現了學生主觀能動性．教學過程很流暢，課堂完成例題也較多，給人感覺很符合學生的認知過程．但課后學生就曾經問過：“我感覺求函數的極值很簡單，只要把利用導數求極值的方法記住就可以了，其實我并不是很理解什么是極值，但這并不影響我做題．”知識容易遺忘，并且缺少提示導致學生失去探究的興趣．設計2依托教材設置問題情境，讓學生自主探究，從而生成函數極值的概念及求法．這種設計避免了設計1中的學生類比這個難點，但是學生又有新的疑問：“怎么想到用導數來判斷函數的極值呢？是不是所有的函數都是要先求導數等于0的點，再判斷該點左右兩側的符號呢？如果函數在某一點處導數不存在，那又如何判斷該點是否為極值點呢？”

從學生的反應可以看出，這兩種教學設計起點都能夠符合學生認知觀．但是，在探究過程中學生在合情推理時不是那么容易歸納出函數的極值概念，特別是用導數法判斷函數的極值，覺得“導數的介入”不是那么的“合情”，即使部分同學推理出導數法判斷函數的極值，但是函數的極值概念的理解上又有難點．例如：x=0是函數f(x)=|x|的極值點嗎？如果是，是極大值點還是極小值點呢？那么如何設計探究過程，突破這個難點呢？

三、把握概念的本質突破探究難點

函數的極值本質反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質．筆者思考是否可以讓學生通過觀察圖形直觀形象的得到“局部最值”的初步想法，通過對比函數的最值，引發學生的認知沖突，使學生認識到“局部最值”不同于函數最值，是一個全新的概念，從而生成函數極值的概念．針對上面兩種教學設計，筆者在第二次教學中做了相應修改，下面是筆者的教學片斷：

問題1 觀察圖2和圖3函數圖像，回答以下問題.

函數y=f(x)在a點的函數值與它兩側附近的函數值之間有什么關系？

生：觀察分析后發表自己的見解．

教師點評：函數y=f(x)在a點的函數值f(a)比a點兩側附近其他點的函數值都大，它是一個局部的概念，不同于函數的最值，為了區分函數的最值，我們需要加以新的定義．

概念生成(學生歸納)極大值的定義：函數y=f(x)在a點的函數值f(a)比a點兩側附近其他點的函數值都大，我們把a點叫做函數y=f(x)的極大值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極大值．

師：你能類比極大值的定義，給出極小值得定義嗎？

概念生成(學生歸納)極小值的定義：函數y=f(x)在a點的函數值f(a)比a點兩側附近其他點的函數值都小，我們把a點叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值．

研究數據結果得出數據錄入WPS xls表格中,統計學處理借助軟件SPSS21.0實現,術后疼痛程度評分結果由均數±標準差(±s)形式描述,組間數據結果對比經過t檢驗;治療效果、術后復發率均由數(n)或率(%)形式描述,組間數據結果對比采用χ2檢驗,P<0.05說明差異有統計學意義。

教師點評：極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值、極大值統稱為極值；強調極值點是橫坐標，極值是縱坐標．

圖4

觀察圖4，回答下列問題：

問題2 找出圖中的極值點，并說明哪些點為極大值點，哪些為極小值點？

問題3 極大值一定大于極小值嗎？

問題4 函數在其定義域內的極大值和極小值具有唯一性嗎？

問題5 區間的端點能成為極值點嗎?

教師點評：極值刻畫的是函數的局部性質，而最值刻畫的是函數的整體性質，是兩個不同的概念．

問題6 回到問題1、問題2的圖像，這些函數極值附近兩側的圖像變化如何？

生:這些函數極值點左右兩側圖像變化趨勢是相反的．

師：函數圖像的上升與下降可以用什么來刻畫？

生：單調性．

師：那現在我們知道函數的極值可以用單調性來刻畫，那函數單調性又可以用什么來刻畫呢？

生：函數的導數．

為此，筆者很自然的突破了本節課的難點，導數來刻畫函數的極值．為了解決學生提出的“是不是所有的函數都是要先求導數等于0的點，再判斷該點左右兩側的符號呢？如果函數在某一點處導數不存在，那又如何判斷該點是否為極值點呢？”，筆者進行如下設計：

師：思考如下問題：x=0是函數f(x)=|x|的極值點嗎？如果是，是極大值點還是極小值點呢？該點處的導數存在嗎？

生：x=0是函數f(x)=|x|的極小值點，且該點處導數不存在．

教師點評：導數為零的點不一定是函數的極值點，一般情況下函數的極值點導數都為0，但有時在極值點導數不一定存在．

以上可以看出探究“導數介入”難點的認知困難，在學生已有知識的基礎上以問題的形式引導學生關注概念本質，排除不利概括的“干擾”因素，由此完成探究任務，這是一種教學策略．

四、反思概念的生成，總結教學心得

任何抽象的理論知識或方法的學習都要從學習概念開始，良好的概念引入方法對后續的教學有極大的幫助．數學概念一般用精煉、嚴密、抽象的數學語言來表述，理解起來也就相對較難．這也反映出理解數學概念對于教學的重要性．

1．把握概念的本質，“再創造”式探究

學生在學習時，總會有這樣的疑問，數學家是怎么發現這些知識的．這也給我們一個啟示：數學“再創造”是設計探究教學的一種途徑．教師的任務是在認清概念的本質下，引導和幫助學生進行這種再創造活動，而不是把現成的知識灌輸給學生．讓學生在“再創造”過程中體驗到：如果當時的有幸具備了我們現在的知識，他們是怎樣創造出來的(在現有知識基礎上，如果積極思考，也可以有重大發現和創造.從而培養學生的創新意識和創造能力．)．

2．三個認知層次要環環相扣，符合學生的認知規律

張熊飛教授在《誘思探究學科教學論》提出學生的認知過程：“觀察(探索)——思維(研究)——遷移(運用)”，筆者設計了“設置引例、奠定基礎——思考探究、總結規律——學以致用、提升能力”三個認知層次．在第一個認知層次中，為學習新知識做好準備就行；在第二個認知層次中，更是把“思考探究”作為學生學習的主要方法；在第三個認知層次中，要求學生親身體驗練習，鞏固對定義和性質的理解，達到學有所用．這樣就做到了環環相扣，前一個認知層次為后一個奠定基礎，后一個認知層次是對前一個的深入和升華．在教學活動中，給學生“犯錯誤、逐步成長、獨立自主”的機會，這樣學生就能不斷地“修正自己、展示自己、完善自己”．

3．合理設置導向性信息，創造高效課堂

每個有效的活動都要堅持落實在教師導向性信息誘導下學生真正地學，都要有明確的目標導向．讓學生清楚地知道自己在這一活動中究竟“學什么？怎么學？”．以具體、扼要、明確的學習任務驅動學生的學習活動．筆者深深感受到探究性學習課堂中，學生獨立地發現問題、獲得自主發展的魅力．在學習活動中，學生收獲了知識，培養了能力，增強了信心，這才是真正的高效課堂．