數學反思性教學行為的案例研究
——以求解橢圓離心率問題為例

南京航空航天大學附屬高級中學 (210007) 吳 茹 孔德鵬

本文系南京市教育科學“十三五”規劃2018年度課題“核心素養視角下高中數學主題教學的實踐研究”(L/2018/341)階段成果.

1.引言

反思性教學是指將各種反思性思維方式用于教學活動的教學模式,是教師與學生通過反思性的思維活動進行教與學的過程.反思性數學學習是學習者對自身數學學習活動的過程,以及過程中涉及的有關事物的特征進行反向思考,從而拓寬思路,舉一反三,觸類旁通,推廣引申,擴大視野,深化理解,完善知識結構[1].數學學習內容較為抽象,學生只有在經歷多次練習與反思才能真正把握其數學本質,所以反思性教學是非常重要的教學環節,而在目前的數學教學過程中,反思性教學也正是比較薄弱的環節.

2.案例探究

反思1:在上述計算過程中出現kPM·kPN=

分析:本題所求離心率取值范圍,通過已知條件,尋找a,b,c三者之間的不等關系,切入點是橢圓上存在一點P,使PF1⊥PF2,直線垂直可轉化為向量垂直,用坐標法建立關系.

圖1

分析:本題題意理解起來相對容易,入手簡單,但是在求對稱點Q比較困難,接下來再將復雜的Q點帶入到橢圓方程中運算更大,計算更復雜,學生容易半途而廢或者浪費大量時間而計算錯誤.

解:設Q(m,n),由題意可知,

反思1:通過以上解法,雖然可以得到答案,但是涉及到求點關于線的對稱點,并且需要將復雜的對稱點坐標代入橢圓方程,而且涉及到解高次方程,這里面計算量大,計算過程難復雜、易錯,需要花費很多時間解決此題,用這種方法解決此題有些得不償失,在考試過程中你會使用這種方法嗎?可以換種解法嗎?(反詰)——不會,可以試試看,尋找更好的想法.

圖2 圖3

3.數學反思性教學的幾點思考

3.1 反思起點——對讀題、審題的過程反思

杜威曾說過:理解了題意,問題就解決了一半.很多學生找不到解題思路的根本原因是審題這一環節出現問題.解題的反思性教學是學生正確審題的重要途經.解決一道題目必不可少的一個環節是反思檢驗,首先要反思的就是對題意的理解.引導學生看題,思考是否遺漏了什么重要信息,為什么會遺漏,如何補救;思考其中對于哪一個條件理解不清,為什么會理解不清,怎樣理解會更好;思考題設條件與所求目標之間有哪些聯系沒有發現,聯系的轉化是否有問題,是什么原因導致的;反思自己在審題過程中是否還要其他偏差,原因是什么等等.如經過對例2中條件PF1⊥PF2,再認識,我們這樣理解會更好:因為直徑所對的圓周角為90°,所以點P在以F1、F2為直徑的圓上,直接通過交軌法解決問題.

3.2 反思根本——對相關知識點及方法反思

在數學教學過程中必然要與已學的知識點及方法有聯系,反思與哪些問題有聯系,有什么樣的聯系,是考察知識點有聯系,還是所用基本方法有聯系,還是問題的結論有聯系.所有的聯系能否概括出某種規律或經驗,經過這樣的聯系對原問題是否有新的認識.在例1的解題過程中,發現一條關于橢圓的性質,教師幫助學生將這條性質進行總結,那么在以后遇到類似問題時,學生會迎刃而解.通過對知識點及方法的反思,讓學生學會舉一反三,對前后知識、各類問題、各種方法達到觸類旁通的境界.

3.3 反思關鍵——對推理運算過程反思

對推理運算過程反思的目的是對解題過程的優化,就是在完成了某個數學活動后,對活動思維的合理性、推理的嚴謹性、運動的正確性、表述的簡潔性及書寫的規范性等進行反思、修改、縮減、概括,總結.經過長期訓練,逐步提高學生用簡縮的思維結構進行思考的能力.在例3的處理上,如果直接使用代數法,運算量大,容易出錯,此時筆者利用之前一道類似題目對學生進行正確引導,進而合理優化解題路徑,提升學生簡縮的思維習慣.

總之,學生的反思性數學學習的形成,離不開教師的示范與引導.教師在教學過程中正確運用反思性教學模式,引導學生敢于反思、勤于反思、善于反思,讓學生逐步形成一種反思的意識和習慣,有利于學生學會思考和思維品質的提升.