如何讓學(xué)生獲得“合理的工作量”
——“兩角和與差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計分析

江蘇省海門中學(xué) (226100) 樊陳衛(wèi)

數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在他的名篇《怎樣解題》一書開篇中提到，數(shù)學(xué)教師最重要的任務(wù)——幫助學(xué)生.“學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨立工作的經(jīng)驗.但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高.而如果教師的幫助太多，就沒有什么工作留給學(xué)生了.教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生，但不能太多，也不能太少，這樣才能使學(xué)生有一個合理的工作量.”這個“合理的工作量”在建構(gòu)主義教學(xué)理論中便是學(xué)生知識體系的自主建構(gòu)，在新課程教學(xué)理念中便表現(xiàn)為“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗”，用一線教師的通俗說法就是讓學(xué)生動起來，讓課堂氣氛活起來.這就需要教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)當(dāng)對學(xué)生狀況有充分的了解，對數(shù)學(xué)探索方法充分掌握，然后對教學(xué)內(nèi)容根據(jù)以上兩個“充分”進行精心設(shè)計，從而實現(xiàn)讓學(xué)生獲得合理的工作量，讓課堂活起來的意圖.現(xiàn)以“兩角和與差的余弦公式”這一節(jié)的知識點教學(xué)為例，與讀者一道分享設(shè)計思路演進過程.

一、初始設(shè)計

總體設(shè)計思路為情境創(chuàng)設(shè)與提出問題——猜想與否定——公式探究與推導(dǎo)——公式應(yīng)用——回顧小結(jié).具體過程：

(1)設(shè)置如下問題情境：某圓錐形機械元件，底面半徑為5，母線與地面所成的角為15°，求該圓錐的母線長.從這個實際問題中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題“cos15°如何求”.

(2)猜想：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°，驗證是否成立.

(3)公式探究

兩角差 讓學(xué)生完成如下填空：

圖1

兩角和 你能根據(jù)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式嗎？比較歸納兩個公式的異同特征.

(4)公式應(yīng)用

正用：不用計算器求cos75°和cos105°.

逆用：cos55°cos35°-sin55°sin35°=;

cos87°cos27°+sin87°sin27°=;

cos53°cos8°+sin53°sin8°=;

cos18°cos27°-sin18°sin27°=;

cos(27°+α)cos(33°-α)-sin(27°+α)sin(33°-α)=.

(5)歸納

二、評價與反思

對于初始的教學(xué)設(shè)計，從教學(xué)過程中學(xué)生的思維活動深度與廣度這個角度出發(fā)，分析各個環(huán)節(jié)學(xué)生的工作量，第一個環(huán)節(jié)中需要學(xué)生建立一個數(shù)學(xué)模型，但這個模型比較簡單，思維工作量屬于初等；第二個環(huán)節(jié)有學(xué)生通過計算器計算驗證等式是否成立，如果沒有計算器，需要從數(shù)值的正負角度判斷等式是否成立，存在少量思維量；在第三個環(huán)節(jié)公式探究中，學(xué)生只需沿著已經(jīng)安排好的思維路徑完成系列計算，就能得到兩角差的余弦公式，學(xué)生的思維活動量就是完成基本的代數(shù)運算，仍屬于初等階段；第四環(huán)節(jié)應(yīng)用階段，存在公式的正用、逆用、綜合性正用等，思維量屬于中等。通過以上分析，可以看出作為一個知識點新授課，應(yīng)用環(huán)節(jié)學(xué)生思維的工作量屬正常，但在整個知識點的生成環(huán)節(jié)學(xué)生缺少明顯的思維工作量.這樣的教案設(shè)計屬于常規(guī)設(shè)計，在日常教學(xué)中非常普遍，體現(xiàn)了教學(xué)的實際工作主要以應(yīng)試為目標(biāo)，但從新課程教學(xué)理念，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)角度看，顯然不太到位.如何讓學(xué)生獲得更多的工作量，基于從波利亞的教學(xué)思想(《怎樣解題》)，對初次教學(xué)設(shè)計中缺乏學(xué)生思維活動的環(huán)節(jié)進行再次設(shè)計.

三、再次設(shè)計

(1)情境引入

由于原設(shè)計中的情境問題實質(zhì)僅僅由一個立體幾何問題產(chǎn)生一個“cos15°如何求”的問題，對本課題產(chǎn)生引導(dǎo)、啟迪作用不太明顯，也缺乏一定的新意.所以直接選擇開門見山的方式：判斷下列各式是否成立？

①cos(0°-60°)=cos0°-cos60°；

②cos(60°-30°)=cos60°-cos30°；

③cos(60°-45°)=cos60°-cos45°.

三個等式成立與否的判斷中，等式③中cos15°不容易求得，如何判斷？學(xué)生需要一定的分析，從應(yīng)用計算器和三角函數(shù)值符號兩個角度入手進行判斷.判斷結(jié)果中三個等式成立、不成立兩種情形都存在，在此基礎(chǔ)上判斷命題：如果α,β為兩個任意角，則cos(α-β)=cosα-cosβ是否成立.再順勢提出問題：如何根據(jù)60°,45°兩個角的三角函數(shù)值求cos15°，引出課題“兩角和與差的余弦公式”.

(2)公式猜想與探究

原設(shè)計中，學(xué)生沒有獲得一定的思維工作量，如果直接讓學(xué)生去推導(dǎo)公式，學(xué)生很難有這個能力完成，教師提供恰當(dāng)?shù)膸椭骄恐幸龑?dǎo)學(xué)生先猜再驗證.怎樣讓學(xué)生猜出來？設(shè)計活動如下：

觀察表中的數(shù)據(jù)，你能利用表中前4個數(shù)據(jù)計算出最后一個數(shù)據(jù)嗎？

cos90°cos60°sin90°sin60°cos(90°-60°)01213232cos120°cos60°sin120°sin60°cos(120°-60°)-1212323212

玩過類似游戲嗎？24點游戲怎么算的？根據(jù)學(xué)生的進展?fàn)顩r，教師在合適的時機可以給部分學(xué)生如下提示：

思考：能否對cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ進行檢驗？

意圖：對猜想出來的公式進一步進行檢驗，讓學(xué)生的知識建構(gòu)得以強化，同時培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

(3)公式推導(dǎo)

任務(wù)1:課前提供向量數(shù)量積相關(guān)知識的復(fù)習(xí)任務(wù).

意圖：一方面考慮部分學(xué)生的知識基礎(chǔ)相對薄弱，公式證明過程中所需的向量數(shù)量積有關(guān)知識有所遺忘.另一方面由于兩角差的余弦公式推導(dǎo)方法思考的角度很多，由于角度太多學(xué)生往往無從下手，而利用向量數(shù)量積的方法推導(dǎo)是眾多方法中比較簡捷易掌握的方法。通過知識點的復(fù)習(xí)，為學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)并利用向量方法成功推導(dǎo)公式作了鋪墊.

任務(wù)2:課中提供如圖1單位圓，及角α,β的終邊，對于具體的推導(dǎo)工作，留給學(xué)生探索完成.在探索的過程中，學(xué)生可能會在各個環(huán)節(jié)遇到思維的阻塞，教師給出合適的思維提示：

①盯住目標(biāo)，即要證明的公式，如何將問題與這個圖形對應(yīng)起來？

②能否從圖中尋找角α-β的終邊，在圖中那些幾何對象可以對應(yīng)公式中的量cosα,cosβ,sinα,sinβ？

③回憶曾經(jīng)學(xué)過哪些知識點中用到角的余弦值？

④觀察要求證的公式，向量的數(shù)量積有不同的表示方法嗎？

意圖：教師給學(xué)生的提示性問題，如果指向性弱、普適性強，學(xué)生需要自身的思維活動量就較多，同時解決問題的難度也較大；反之，指向性強而普適性弱，學(xué)生自身思維活動量減少，解決問題的難度也減少.這里設(shè)計的4個提示性問題普適性逐步減弱，指向性逐步增強，通過四個提示性問題的逐步依次呈現(xiàn)，不同層次的學(xué)生再不同提示階段找到了解決問題的方案，最終使得盡可能多的學(xué)生獲得合理的工作量和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

任務(wù)3:課中小組活動，教師提供如下思維視角來擴展學(xué)生思維：嘗試?yán)脠D2推導(dǎo)公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖2

任務(wù)4:課后進一步探究兩角差的余弦公式的其它證明方法.

通過經(jīng)歷層層遞進的公式探究推導(dǎo)過程，讓不同層次的學(xué)生都能實現(xiàn)知識體系的自我建構(gòu)，同時又獲得數(shù)學(xué)思維方法的運用體驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

四、一點啟發(fā)

學(xué)生之間存在知識儲備、數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力等各個方面的差異，教師在教學(xué)中如何能照顧不同層次的學(xué)生，讓所有同學(xué)在自身基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的發(fā)展，這是實際教學(xué)中的一個難點，需要教師對不同層次的學(xué)生給予相應(yīng)恰當(dāng)?shù)膸椭枰處熢诎盐諏W(xué)生具體學(xué)習(xí)狀態(tài)的基礎(chǔ)上，善于借助波利亞教學(xué)思想，設(shè)計不同層次的提示性問題，調(diào)控數(shù)學(xué)活動的廣度與深度，讓學(xué)生真正的數(shù)學(xué)思維活動得到激活，在這個前提下配合適當(dāng)?shù)男〗M活動，從而真正地讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，實現(xiàn)知識點的自主建構(gòu)，學(xué)會自主的思考，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.