弦角依存，圓中生輝
——基于一節(jié)習題評講課的探討

江蘇省盱眙中學 (211700) 王 堯

習題課是高中數(shù)學教學重要的一個環(huán)節(jié)，如何上好一節(jié)習題課，是廣大數(shù)學教師們關注的熱點和難點問題.佛賴登塔爾的教育理論認為：數(shù)學教育的方法的核心是學生的“再創(chuàng)造”，教師不應該把數(shù)學當作一個已經(jīng)完成了的形式理論來教，不應該將各種定義、方法灌輸給學生，而應該創(chuàng)造合適的條件，讓學生在學習數(shù)學的過程中用自己的體驗，用自己的思維方式，重新“創(chuàng)造”數(shù)學知識[1].數(shù)學應該教什么？教知識、教方法、更重要的是在情境中體會知識的生成發(fā)展過程，讓數(shù)學核心素養(yǎng)的提升在平時的課堂教學中生根開花，在課堂中，讓學生運用感知，聯(lián)想，類比，演繹等等數(shù)學方法，去突破重難點，提升學生數(shù)學學習中的分析問題和解決問題的能力，并且能夠在此基礎上發(fā)現(xiàn)問題.為此筆者以一節(jié)直線與圓位置關系中的一節(jié)習題講評課出發(fā)，來探討習題課要講什么，如何講，知識的生長點在哪？知識的新的生成點又如何產生？

圖1

1.問題的提出

如圖1，圓M:(x-2)2+y2=1,點P(-1,t)為直線l:x=-1上一動點，過點P引圓M的兩條切線，切點分別為A,B，求|AB|的最小值.

1.1 師生探討，共謀思路

生1：猜測法，圓M關于x軸對稱，直線l垂直于x軸，所以猜測當P點運動到x軸上時，|AB|最小.

師：這個方法猜的很好，利用圖形的特點，尋找其特殊位置，除此之外，猜測法還具有哪些特點呢？除了從P點的整個動態(tài)過程中發(fā)現(xiàn)結果，那么還能選擇怎樣代數(shù)方法來解決問題呢？

圖2

師：回答的非常好，能夠想到構造函數(shù)，進而表示出AD，利用函數(shù)的性質解決最值問題.

追問1：上述方法選擇構造函數(shù)的變量是什么？還有其他選擇變量的方法嗎？

設計意圖:突出學生解決題目的主線，并對比思考是否還有其它的方法，引發(fā)學生學習的熱情.

師：他選擇了PM作為變量，簡化了過程，很好.

追問2：為什么可以選擇PM變量描述AB？

設計意圖:情境中，追問下，給學生思想以撞擊，為什么選擇這個變量，激發(fā)學生自主探究知識的興趣，在內驅動力下，感悟原因，為下面探討問題的本質做鋪墊.

此時有學生舉手，過程還可以更簡潔.

師：利用圓心角和弦長的關系，問題轉化到角的變化；

師：簡化過程，以角為變量，構建三角函數(shù)關系.

師：非常完美，能夠想到利用圓中弦長的特征三角形，選取d作為變量，去構建AB的函數(shù)關系，進而求取AB的最值；

追問3：觀察大家?guī)追N做法，解題目的是什么？

追問4：為什么能想到設取這么多類型的變量？還可以從哪些角度去刻畫弦長的變化呢？

設計意圖:追本溯源，思考問題的本質，探究動態(tài)模型變化中的數(shù)學問題，引出下面更一般的模型，有助于學生更好的去理解問題，理解模型本質.

1.2 抓住數(shù)學本質，開拓解題視野

圖3

如圖3,定圓O中一條動弦AB，

問1：AB弦長的范圍？

問2：可以從哪些角度刻畫AB的動？

生3：弦長AB所對的圓心角，或者ΔOAB中的角，構建三角函數(shù).

生4：還可以用的ΔOAB面積和周長，還有弦長AB所對的弧長.

(此時有學生突然站起來回答)

生5：還可以用AB所對的圓周角表示，借助圓形作為三角形的外接圓解決；

圖4

(還沒講完，已經(jīng)有學生鼓掌)

師：此種思路脫離弦長的概念束縛，挖掘其定的特點，構建圓中的內接三角形，弦長變?yōu)槿切蔚倪呴L，非常好的想法.

小結:緊扣住題目的解決方式，構建函數(shù)關系，從選擇變量的角度出發(fā)，利用圖形的動態(tài)特點，從動的角度，探究其動的原因，進而牢牢抓住動因選擇合適的變量解決問題，

從文章開頭的題目的背景看，P點、切線PA,PB，切點A、B，直線AB，角度，長度等等均可以決定或者影響弦長的變化，以形馭數(shù)、以數(shù)釋形，頓時豁然開朗.

課堂中的新知識點，在學生的積極思考下產生了，學生在此模型背景中，經(jīng)歷了知識的產生變化的過程，并且能夠創(chuàng)造出新的思路，課堂的活躍，思維的轉動，課堂生態(tài)的自然由此可見一斑.

2.再現(xiàn)經(jīng)典例題，提升數(shù)學素養(yǎng)

例已知圓C:x2+y2=4，過點B(0,1)的直線l與圓C交于M,N兩點，求線段MN長度的最小值.

法1:選k作為參數(shù)表示MN.

(1)k不存在時,MN=4；

圖5

3.變式突破難點，串講提升思維

變式1已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過定點A(1，0),若l1與圓C相交于P,Q兩點，求ΔCPQ面積的最大值？

變式2 已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,相互垂直直線l1,l2,且相交于點A(1，0)，且l1,l2分別交圓于P,Q和M,N，求四邊形PQNM面積的最大值？

變式3 已知圓C：x2+y2=4，圓C上任意一點P點，過點作兩條夾角為60°的直線，分別交圓于A,B兩點，求PA2+PB2的取值范圍？

4.總結方法理論，反思感悟提升

4.1 總結方法理論

(1)題目背后的本質是問題情境的表達，在情境中體驗知識的生成發(fā)展的過程，教師在課堂中，設計恰當?shù)膶W生活動及追問設問，激發(fā)學生主動思考問題的興趣.

(2)以變式的引領，融合學生經(jīng)驗、理解和反思，并且不斷的提高，所以在習題課中，教師不僅僅關注學生知識技能的理解掌握，更要關注他們情感與態(tài)度的形成和發(fā)展，既要關注數(shù)學學習的結果，更要關注他們在學習過程中的變化和發(fā)展，以題目為背景，問題為載體，激發(fā)學生主動學習探究數(shù)學的興趣.

(3)教師在具體的教學中，結合具體的教學過程和問題情境，引導學生思考問題的本質，從而在交流合作質疑中提高對問題本質的認識，引導學生分析問題解決問題，并以此能夠提出新的問題，對舊知的理解，在此基礎上，產生新的知識的生長點，從而形成思維的碰撞，螺旋式提升學生的思維能力，加深學生自己對問題的理解，掌握以及發(fā)展，課堂中為學生搭建邏輯思維的平臺，把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的的教育形態(tài)，在冰冷的美麗與火熱的思考中尋找平衡點[1].

4.2 幾點感悟及建議

(1)問題角度分析：數(shù)學的靈魂是問題，設置有效的問題串，在發(fā)展中對比優(yōu)化方法思路，從而發(fā)散學生的思維，拓寬學生的思維水平，提升思維層次；多種思路方法的背后應解決如何才能想到這些思路，教學生如何去思考問題，能引導學生總結出相關有效通法并且能夠在新的情境中能夠解決類似的問題，從而能夠深刻理解問題的本質，舉一反三，融會貫通.

(2)學生角度分析：在習題講評課中，教師在注重學生的解題能力培養(yǎng)的同時，更應注重學生數(shù)學學科素養(yǎng)的培養(yǎng)養(yǎng)成，以思想方法為靈魂，引導學生不斷探究新知，在師生互動中對于一題多解、一題多思問題，要注意其思維的發(fā)展，不能簡單的扼殺學生提出的想法，要善于保護和激發(fā)，做好學生深度學習的護航員.

(3)教學角度分析：教師要不斷的思考學習研究題目之間的聯(lián)系，加強自身修養(yǎng)，對數(shù)學的方法理論理解深刻，習題課教學需要不斷的深化，題目的背后蘊含著數(shù)學思想方法，以此能夠揭示問題的本質，發(fā)展學生的思維，促進學生在體驗中收獲成長[2].