注重性質拓展，巧解k值問題
——以反比例函數圖像兩條性質應用為例

江蘇省南京市金陵中學西善分校 (210041) 郭源源

近年來，以反比例函數圖像為載體的試題，形式多變，結構多樣，新穎獨特，且蘊藏著豐富的數學思想方法，已然成為了中考的熱點問題之一．這類試題主要呈現兩個特點：一是“易融性”，雙曲線中可以融入各種圖形，三角形、平行四邊形、矩形、菱形、梯形等無一不在其中，考查雙曲線與各種圖形的聯系，并借助它們的聯系求面積或k值；二是“易聯性”，以雙曲線為主線，關聯各種方法，既可用運算較多的解析法求解，也可用思維靈活的面積法求解，兼顧到數和形兩種思維特點，綜合考查學生的分析問題和解決問題的能力．這類試題不僅可以反映出學生扎實的基本功，還可以體現出創造性的思維品質．本文筆者結合自己在教學中的實踐所得，提煉拓展反比例函數圖像的性質，并以近些年的中考題為例，談談這類拓展性質在解題中的應用，與同仁交流、分享．

一、拓展性質

過反比例函數圖像上任意一點，分別向兩坐標軸作垂線，則其與坐標軸圍成的矩形面積為|k|．這是反比例函數中k幾何意義，是最基本的圖像性質．與此同時，筆者通過此類題型的研究，還歸納了反比例函數圖像中兩條拓展的性質．

圖1

性質1 如圖1，點A、B是雙曲線上不同的兩點，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足為點C、D，則S△AOB=

S梯形ABDC．

圖2

證明：過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線，垂足分別是點C、F，AC、BF交于點H，延長EA、DB交于點G．

由相似知識還可以得到AB∥ED．

二、性質應用

圖3

點評:平面直角坐標系中求類似于△OAB這樣的三角形面積，通常用的是間接求法，以割補法為主．但在雙曲線中，這樣的三角形可以借助轉化，變成直角梯形快速求解．

圖4

點評:本題可借助點和點之間的關系，利用參數理出所有點的坐標，再通過面積列方程求解．但若能熟練兩個拓展的性質，可直接推理出圖形幾部分面積的關系，劃歸面積，求出|k|．

圖5

點評:本題條件繁多，圖形復雜，然而通過轉化劃歸后，可變成例2的問題模型．△ADE借助平行轉化,等積成△ADO，再借助性質1，等積成梯形AFGD，而AC=3DC借助性質2可推理圖形幾部分的面積比，不需設任何參數就能直接算出k．

圖6

點評:本題的分析有兩個著眼點，一是點M為矩形對角線的交點，即暗示了點M為GN中點，借助性質2可得到面積比；二是四邊形ODBE面積的處理，借助性質1，轉化成等積的矩形EFAB．抓住這兩點，題目易解．

三、寫在最后

反比例函數的k值和面積問題，涉及的知識面廣、跨度大、聯系緊、綜合性強，試題結構新穎且多變，解題方法靈活且多樣．要求學生有扎實的數學基本功，能靈活運用所學知識，會多角度思考分析問題.[1]在反比例函數性質的教學中，應抓住最基本最重要的性質，即|k|的幾何意義，它是所有k值和面積問題的根本．筆者認為，在探究課本性質的同時，可以帶領學生嘗試探究反比例函數圖像的拓展性質．因為這些性質都是一脈相承，運用拓展性質，掌握好圖形面積劃歸的方法，可以加深對反比例函數本質的理解，從而感悟轉化劃歸、數形結合的數學思想．

一個好的解題方法，應以學生的理解為基礎，以解題的高效為動力，以幫助學生全面深刻地看透此類問題為根本，達到“練一題，學一法，通一類”的目標.[2]如本文中的面積轉化法，是源于對|k|幾何意義的理解，是各項知識的綜合運用，可以通解所有此類問題．教學中，題只是知識方法的一個素材，通過解題的過程，理解知識的原理，提煉方法的本質，對比解法的優劣，感悟問題的通性通法．只有這樣，解題才能擺脫題海，走向高效．