高中數學教學中數形結合思想的應用探討

高中數學作為我國高中生必須學習的一門學科，其重要程度可想而知。高中數學在某些方面具有極強的規律性，例如一元二次方程固定的求解公式、等比數列與等差數列的通項公式等，這些數學問題可以通過固有公式和計算方法進行求解。但相應地，高中數學也存在某些無法用公式來表達規律的數學問題，如線性規劃、空間幾何等，這些數學問題需要通過輔助線、數軸、函數圖像等圖形來進一步分析。因此，運用數形結合的方法來進行教學，不僅順應數學本身的特點，還有助于教學質量的提升。

一、數形結合在數學教育中的意義

數形結合將代數問題轉化為幾何形式，把數學符號用圖像的方式解構又重組，在數學教育中具有以下幾方面意義。1.在教學中，數形結合能使數學概念更加直觀，便于教師授課與學生理解。例如在講解概率問題(高中數學必修三，人教版)時，教師可以通過畫“樹狀圖”的方式，讓學生直觀地看到事件“發生”的途徑，從而計算出相應的概率。2.對于學生來說，在數學學習過程中，通過將圖形與數學聯合的方式來思考，有助于轉變思維和提升空間想象能力。例如在講解“正弦函數y=sinx(對稱軸：x=kπ+π/2(k∈z) 對稱中心：(kπ，0)(k∈z))”(高中數學必修四，人教版)時，可以結合函數圖像和坐標軸，將y=sinx的關系通過圖形來呈現。3.數形結合開辟了看待數學問題的新角度，為解題提供了新的方向，有效地擴充了解題方法，提升解題速率。

二、數形結合在高中數學教學中的應用

1.數、集合與數軸

數學是研究由數字構成的一系列式子的規律的科學，可以說“數”是數學的基礎。在高中數學教學過程中，在數與集合(高中數學必修一，人教版)的問題中，總是需要結合數軸來分析集合的意義，將集合與集合的“交”“并”“包含”等關系通過在數軸上繪圖的方式展現出來。這不僅使集合與集合間的關系一目了然，還使得在分析該數學問題時思路更加有層次。

2.函數圖像與方程

在高中數學的課程內容中，函數問題占有非常大的比例，是數學教學中非常重要的一個版塊，也是最具有多樣性的一個部分。而在概念上，函數與方程也具有緊密聯系：方程體現了兩個式子的關系，而函數體現了兩個變量(自變量與因變量)的關系。基于方程與函數的關聯性，在面對復雜的方程時，教師可以利用函數圖像來幫助學生理解方程的意義。例如：在“二次函數與一元二次方程”(高中數學必修一，人教版)的問題中，就可以用函數與坐標軸的“交點”和函數圖像的“開口”方向來確定一元二次方程“根”的數量。

3.等式、不等式與線性規劃

在講解“線性規劃”(高中數學必修五，人教版)問題時，面對多個不等式或等式組成的條件，如果用解等式和不等式的方式來解答線性規劃問題，是非常耗費時間且不明智的方法。如：設變量x，y滿足以下條件，x-y≦10；0≦x+y≦20；0≦y≦15，則2x+3y的最大值為多少？在解決這個問題時，先將各項式子化為函數形式得到：y≧x-10；y≦20-x；y≧-x；y≧0；y≦15，然后畫出以上幾個式子的圖像，根據不等式的要求找到幾個集合的交匯，從而找出正確的答案。

4.解析幾何

(1)平面幾何

數形結合思想是解析幾何發展的基礎，例如在“解三角形”(高中數學必修五，人教版)的過程中，需要用到正弦定理、余弦定理等知識，但是在純文字的敘述下，學生很難找到角與角的關系和角與邊的關系。因此，可以利用數形結合的方法，結合題目要素，畫出三角形并標明角與邊，然后結合圖形，找到三角形角與角的關系、角與邊的關系和邊與邊的關系，最后通過輔助線和運算公式計算出正確的答案。或者，還可以構建平面直角坐標系，通過向量法來求解三角形。

(2)立體幾何

立體幾何對于學生的空間感知能力要求比較高，學生需要在復雜的線與交錯的面之間來尋找線與線的關系、面與面的關系、線與面的關系等。在這個過程中，可以選取適合的點為基礎，構建空間直角坐標系，然后用坐標結合向量來進行計算。

三、結束語

綜上所述，在高中數學教學過程中，教會學生利用圖像表達數學式子和數學問題，是非常重要的。數形結合非常巧妙地將數字世界與圖形世界連接起來，以新的角度來詮釋數學問題，展現數學規律，這不僅有利于教學質量的提升，將復雜的數學問題抽絲剝繭，更有助于培養學生的數學素養，開發學生的大腦與思維。