利用基本不等式求函數最值

基本不等式的應用是高中數學教學的重點和難點之一，自然也成為高考數學命題的熱點。縱觀近幾年的高考試卷，基本不等式都是必考考點，并且涉及基本不等式的內容都側重于對考生能力的考查，這就要求考生不僅能夠直接運用基本不等式求解，還需要掌握運用消元、換元以及配湊等方法將式子進行適當變形，構造出利用基本不等式的條件，然后運用基本不等式來求解。

運用基本不等式求函數最值的三個必要條件是“一正、二定、三相等”。在具體的題目中，“正數”條件大多可以從題干中找到，“相等”條件同樣比較容易確定，而往往是“定值”條件難以解決。它需要解題者有熟練的解題能力和變形技巧。通常，當積為定值時，和有最小值；當和為定值時，積有最大值。因此，在求和的最小值時，就要想到把積湊成定值，在求積的最大值時，要想到把和湊成定值。筆者根據自身的數學解題和教學經驗，從一元函數求最值、二元函數求最值和多元函數求最值的角度，將基本不等式在函數最值中的應用舉例如下。

一、一元函數求最值

一元函數的最值問題作為高中數學最值問題的基礎，一般出現在填空和選擇題中。求解一元函數的最值問題，通常需要運用簡單的消元、換元等方法，構造基本不等式的條件，從而求解函數的最值。

例1.已知正實數x,y滿足xy+2x+y=4，則x+y的最小值為_________.

分析：本道題不能直接使用基本不等式進行求解，而只能通過系列的轉化方法，如消元、換元等，將其轉變為只有一個自變量x的一元函數最值問題，然后通過配湊的方法，將目標式子構造成能夠利用基本不等式求最值的條件，最后運用基本不等式求最值的方法來求解。

解：由正實數x,y滿足xy+2x+y=4，有，且0

令x+1=t∈(1,3)，則x+y=t-1+.

當且僅當t=，即x=-1 時取等號.

∴x+y的最小值為-3.

二、二元函數求最值

二元函數指的是含有兩個自變量的函數，類似于z=f(x,y)。二元函數的最值問題是高中數學經常考的熱門問題。根據兩個自變量之間的相關關系可以將二元函數分成兩類，第一類是兩個自變量之間沒有聯系的二元函數，第二類是兩個自變量之間存在方程或者不等式的關系。求解二元函數較難的最值問題時，核心思想在于通過換元和配湊等方法，將二元函數轉換為一元函數求解。

例2.已知正實數x,y滿足x+3y+=10，則xy的最大值是_________.

分析：此題關鍵是通過換元以及適當變形，構造出滿足基本不等式的條件，然后運用基本不等式求解。

解：設xy=t>0，則y=.

∴x+=10,

整理得，3t2-11t+8≤0.

∴1≤t≤,當且僅當, 即x=1,y=1 或x=2,y=時取等號.

∴1≤xy≤，即xy的最大值是.

例3.設x,y為實數，若6x2+3y2+6xy=1,則2x+y的最大值為_________.

分析：本題可通過配方等變形方式，構造出利用基本不等式的變形條件a2+b2≥來解決。

解：由6x2+3y2+6xy=1,得x2+(x+y)2=,

三、多元函數求最值

多元函數是高中數學函數中的重要概念之一。由于其涉及多元的函數成分，因此其具有難度大、靈活性強以及方法眾多等特點，成為基本不等式中求函數最值的重難點。與此同時，多元函數求最值的問題中具有多種不同的數學邏輯和解題方法，有助于鍛煉學生靈活解題的能力。因此，如何順利地解答多元函數求最值的問題，成為高中數學教師以及學生所應該重點關注和解決的問題，也應該成為即將參加高考學生的必備技能。

例4.已知x,y,z均為實數，且滿足x2+2y2+z2=1，則的最大值為_________.

分析：本題需要將已知條件拆湊成利用基本不等式的條件進而求解，變形要求較高，不容易想到。

解：由題意可知，1=x2+2y2+z2=x2+.

高考復習的時候需要訓練考生掌握和靈活運用基本方法，這樣才可以順利地將復雜的函數問題轉化為較為簡單的函數問題。同時，教師還應該培養學生從陌生的數學問題中分離出熟悉的函數最值問題，能夠做到舉一反三、觸類旁通，這樣才可以幫助學生快速找到解決的辦法，使學生對該類數學問題有更深入的認識。