一道以圓為基礎的綜合題的解題思考

摘?要：本文以2019年云南省學業水平考試第23題為背景，從試題分析、解題展示引發解后反思，提出了以中考題為依托開展課堂教學，在數學教學中，教師要引導學生不斷總結與反思，加強元認知的開發，使學生真正領悟數學的思想和方法，提升數學思維層次，提升數學解題能力。

關鍵詞：原題呈現;解題展示;解后反思

一、 原題呈現

（2019年云南23題）如圖，AB是⊙C的直徑，M、D兩點在AB的延長線上，E是⊙C上的點，且DE2=DB·DA。延長AE至F，使AE=EF，設BF=10，cos∠BED=45。

（1）求證：△DEB∽△DAE;

（2）求DA、DE的長;

（3）若點F在B、E、M三點確定的圓上，求MD的長。

二、 試題分析

試題是2019年云南省學業水平考試第23題壓軸題，設有3個小問，主要考查三角形相似的判定及性質、圓的性質、等腰三角形的判定、勾股定理、銳角三角函數及共圓問題。第（1）問證三角形相似是考查相似三角形的判定：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。第（2）問求線段DA、DE的長包含在DE2=DB·DA，只需求出AB的長，找到DE、DB的關系即可求解，實際上是考查相似三角形的性質、銳角三角函數及勾股定理。（3）求DM的長，結合（2）只需求出AM的長即可求解，考查的是共圓、圓的性質及相似三角形的判定及性質，對學生的應用能力要求較高。三個小問緊密聯系，第（2）問要用到第（1）問的結論，第（3）問要用到第（2）問中求出的線段長來解題，故學生做題是需要整體把握性質和特征。

三、 解題展示

本題是以圓為背景的綜合體，涉及三角形的相似、銳角三角函數。常應用兩角對應相等，兩三角形相似和兩邊對應成比例且夾角相等證三角形相似，然后利用相似三角形的性質解題。

解第（1）問：

看見等積式就聯想到對應線段成比例，所以證三角形相似只需找夾角相等即可。

∵DE2=DB·DA，

∴DBDE=DEDA。

∵∠D=∠D，

∴△DEB∽△DAE。

解第（2）問：

所求線段DA、DE的長包含在DE2=DB·DA中，而DA=DB+AB，故只需求出AB的長，找到DE、DB的關系即可求解。

∵AB是直徑，∴BE⊥AF。

∵AE=FE，BF=10，∴AB=BF=10。

∵由（1）中△DEB∽△DAE，∴∠A=∠BED，

∴cosA=cos∠BED=45，

∴在Rt△ABE中，AE=ABcosA=10×45=8，

∴BE=AB2-AE2=6。

∵△DEB∽△DAE，∴DBDE=BEAE=68=34，

∴設DB=3k，DE=4k，則DA=DB+AB=3k+10，則（4k）2=3k（3k+10），

∴k=307，∴DE=1207，DA=1607。

解第（3）問：

由點F在B、E、M三點確定的圓上推出F、B、E、M四點共圓。由（2）知∠BEF=90°，由此推出BF是直徑，從而推出∠BMF=90°，進而推出△ABE∽△AFM，從而利用相似求出AM，即可得DM的長。

連接FM。

∵點F在B、E、M三點確定的圓上，∴F、B、E、M四點共圓。

∵由（2）知∠BEF=90°，

∴BF是直徑，∴∠BMF=90°，∴∠BMF=∠AEB。

∵∠A=∠A，∴△ABE∽△AFM，

∴ABAF=AEAM1016=8AMAM=645，

∴MD=AD-AM=1607-645=35235。

四、 解后反思

中考真題凝結了命題者的智慧，體現了新課標的要求與理念，好的中考題不僅有選拔功能，而且有很好的教學導向，每一道題都值得學習與探究，以中考題為依托開展課堂教學具有較好的現實意義。

1. 要在平時的教學中回歸課本加強基礎知識的教學，學生只有掌握了基礎知識，才能對知識更深層次的認識，才能達到提高解題能力的效果。

2. 要在平時教學中，教師要關注解題過程。數學學習本身就是一個過程，平時教學中要立足課標，注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的聯系。

3. 要在平時的教學中培養學生解題的反思。一是培養解題前思路的反思。在求解某一道題前，要認真審題，通過聯想和反思找到求解的思路。二是培養解題中的目標反思。要訓練學生將復雜的問題轉化成若干小問題進行分析，一一完成。分析后留給學生思考的時間，這樣才能提高學生幾何分析的能力，才能訓練和培養學生的解題能力。三是解題后思維剖析反思。學生完成解題后，要將題目中涉及的知識點進行鞏固，領悟數學思想方法。

4. 要教會學生學習數學的方法。教學時應該引導學生發現規律，由規律發現方法，同時讓學生展示自己的發現，從而激發學生學習的興趣，這樣既教會學生學習數學的方法，又讓學生產生了學習數學的原動力。

5. 要在教學中培養學生對學習進行反思。一是課前回顧前節課知識的反思，看看自己前節課知識的掌握鞏固情況;二是課堂中讓學生做好重點內容的摘記，從摘記中體驗課堂學習的內容;三是一節課結束時讓學生進行反思，想想自己本節課有什么收獲、疑問;四是讓學生養成睡前在頭腦中回顧一天的學習內容，對一天的學習情況進行反思，從而及時鞏固當天的學習內容。

五、 結束語

總之，在數學教學中，教師要引導學生不斷總結與反思，加強元認知的開發，使學生真正領悟數學的思想和方法，提升數學思維層次，提升數學解題能力。

參考文獻：

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作者簡介：

查書平，云南省曲靖市，云南省曲靖市馬龍區第一中學。