注重解題過程分析 揭示數學探究途徑
——以一道不等式題的探究為例

重慶市潼南中學 (402660) 彭思銳

數學探究是高中數學課程標準中要求的內容之一，在中學數學教學中如何進行數學探究，是每一位數學教師都值得思考的問題，本文通過對一道不等式題的探究過程的揭示，對數學探究的途徑作一探討.

(數學通訊2018第7期問題征解364題)

不等式(1)結構對稱，證明方法多樣[1]，對不等式的探究除證明方法的多樣外，還需關注與不等式(1)相關的一些問題.為此利用柯西不等式和基本不等式給出不等式(1)的一種簡捷的證明，并通過對證明過程的分析，來探究與不等式(1)結構類似的不等式和(1)的推廣.

1.不等式(1)的證明

記不等式(1)的左端為M，整理得

分析:從證明過程可以看出，利用柯西不等式變形整理后的(2)式的左端的分子，分母分別為不等式(1)的左端的分子分母相應的項的和構成，顯然，只要(2)式右端的分子，分母的結構不變，其證明過程也完全相同，因此，如果將不等式(1)的分子或分母的項進行適當的重組，擴充，或變式，將會得到許多與(1)結構類似的不等式.

2.不等式(1)的類似不等式

2.1 交換分子或分母的順序

若注意到(2)式右端的分子與分母分別是(1)式左端各分式的分子與分母的和，因此，只要(1)式左端分子，分母的和不變，其結論都是成立的，因此，將(1)式各分子或分母的順序交換可得新的不等式.

2.2 若將(1)各分式的分母的項擴充.相應的不等式(2)的分母的和發生變化，但其證明思路不變，從而可得結構與(1)類似的不等式.

不等式2 已知正數ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，滿足：a1a2…an=1，求證：

不等式3 已知正數ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，滿足：a1a2…an=1，求證：

2.3 若將(1)式左端分母中的根式里面的項擴充，可得結構與(1)類似的不等式.

2.4 若將(1)式左端分母中的根式里面的項添加系數，可得結構與(1)類似的不等式.

2.5 若將(1)式左端分子疊加，可得結構與(1)類似的不等式.

不等式13 已知正數ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，滿足：a1a2…an=1，λ,μ>0，求證：

顯然，不等式(1)的左端的分子，分母的項的變式以及相應項的系數的搭配不止上述幾種，因此還可以得到許多新的不等式.

3.不等式(1)的推廣

與不等式(1)的證明類似，可以將不等式(1)左端分子的次數進行推廣，有：

記不等式(3)的左端為N，整理得

特別地，當T=1時有：

同不等式(1)的討論一樣，對不等式(3)和(4)的進行變式，可得到許多結構與(3)和(4)類似的不等式，在此不再贅述，有興趣的讀者不妨一試.